R中矩阵的相关运算.doc

目录：1_矩阵的申城2_矩阵的四则运算3_矩阵的矩阵运算4_矩阵的分解1_1将向量定义成数组向量只有定义了维数向量（dim属性）才能被看做是数组，比如z-1:12dim(z)-c(3,4)z ,1 ,2 ,3 ,41, 1 4 7 102, 2 5 8 113, 3 6 9 12注意：生成的矩阵时按列排列的2_2用array（）函数构造多维数组用法array(data=Na,dim=lenth(data),dimnames=NULL)参数描述：data：是一个向量数据 dim：是数组各维的长度，缺省值为原向量的长度 dimname：是数组维的名字，缺省值为空。Example：x A=matrix(1:15,nrow=3,ncol=5) A ,1 ,2 ,3 ,4 ,51, 1 4 7 10 132, 2 5 8 11 143, 3 6 9 12 152_矩阵的四则运算可以对数组直接进行四则运算（加减乘除），这时进行的数组对应元素的四则运算。一般情况下参加运算的矩阵或者数组的维数是相通的，但也可以计算不同维的，这时要将对应的元素补足。3_1转置运算对于矩阵A，函数t（A）表示矩阵A的转置，如： A A ,1 ,2 ,3 ,4 ,51, 1 4 7 10 132, 2 5 8 11 143, 3 6 9 12 15 t(A) ,1 ,2 ,31, 1 2 32, 4 5 63, 7 8 94, 10 11 125, 13 14 153_2求方阵的行列式函数det（）是求矩阵行列式的值，如det(matrix(1:4,nrowx=1:5; Y=2*1:5x%*%y ，11，110 函数crossprod()是内积运算函数(表示交叉乘积)，crossprod(x,y)计算向量x与y的内积，即t(x) %*% y。crossprod(x)表示x与x的内积. 类似地，tcrossprod(x,y)表示x%*%t(Y)，即x与y的外积，也称为叉积。tcrossprod(x)表示x与x作外积.如： x=1:5; y=2*1:5; crossprod(x); ,11, 55 crossprod(x,y); ,11, 110 tcrossprod(x); ,1 ,2 ,3 ,4 ,51, 1 2 3 4 52, 2 4 6 8 103, 3 6 9 12 154, 4 8 12 16 205, 5 10 15 20 25 tcrossprod(x,y); ,1 ,2 ,3 ,4 ,51, 2 4 6 8 102, 4 8 12 16 203, 6 12 18 24 304, 8 16 24 32 405, 10 20 30 40 504.向量的外积(叉积)设x和y是n维向量，则x%o%y表示x与y作外积.例如 x%o%y; ,1 ,2 ,3 ,4 ,51, 2 4 6 8 102, 4 8 12 16 203, 6 12 18 24 304, 8 16 24 32 405, 10 20 30 40 50 outer()是更为强大的外积运算函数，outer(x,y)计算向量二与y的外积，它等价于x %o%y函数。outer()的一般调用格式为 outer(x，y，fun=”*”) 其中x, y矩阵(或向量)，fun是作外积运算函数，缺省值为乘法运算。函数outer()在绘制三维曲面时非常有用，它可生成一个x和y的网格。5.矩阵的乘法 设A和B为两个矩阵，通常意义下的矩阵乘法是通过A%*%B来完成，crossprod(A,B)表示的是t(A)%*%B，而tcrossprod(A,B)表示的是A%*%t(B)。最后我们通过运算知道x%*%A%*%x为二次型。例子： A=array(1:9,dim=(c(3,3) B=array(9:1,dim=(c(3,3) A%*%B; ,1 ,2 ,31, 90 54 182, 114 69 243, 138 84 30 crossprod(A,B)=t(A)%*%B; ,1 ,2 ,31, TRUE TRUE TRUE2, TRUE TRUE TRUE3, TRUE TRUE TRUE tcrossprod(A,B)=A%*%t(B); ,1 ,2 ,31, TRUE TRUE TRUE2, TRUE TRUE TRUE3, TRUE TRUE TRUE6.生成对角阵和矩阵取对角运算 函数diag()依赖于它的变量，当v是一个向量时，diag(v)表示以v的元素为对角线元素的对角阵.当M是一个矩阵时，则diag(M)表示的是取M对角线上的元素的向量.如 v=c(1,4,5); diag(v); ,1 ,2 ,31, 1 0 02, 0 4 03, 0 0 5 M=array(1:9,dim=c(3,3); diag(M);1 1 5 97.解线性方程组和求矩阵的逆矩阵 若求解线性方程组Ax=b，其命令形式为solve(A,b)，求矩阵A的逆，其命令形式为solve(A).设矩阵A=t(array(c(1:8,10),dim=c(3,3),b A=t(array(c(1:8,10),dim=c(3,3); b=c(1,1,1); x=solve(A,b); x;1 -1.000000e+00 1.000000e+00 3.806634e-16 solve(A); ,1 ,2 ,31, -0.6666667 -1.333333 12, -0.6666667 3.666667 -23, 1.0000000 -2.000000 18.求矩阵的特征值与特征向量 函数eigen(Sm)是求对称矩阵Sm的特征值与特征向量，其命令形式为:ev=eigen(Sm),则ev存放着对称矩阵Sm特征值和特征向量，是由列表形式给出的，其中ev$values是Sm的特征值构成的向量，ev$vectors是Sm的特征向量构成的矩阵.如 Sm=crossprod(A,A); ev=eigen(Sm); ev;$values1 303.19533618 0.76590739 0.03875643$vectors ,1 ,2 ,31, -0.4646675 0.833286355 0.29952952, -0.5537546 -0.009499485 -0.83262583, -0.6909703 -0.552759994 0.4658502(补充：函数eigen（Sm) 计算矩阵A的特征值和特征向量，函数的结果包括两个成分，特征值和特征向量，表达式ev-eigen(A)结果会返回特征值和特征向量，ev$values是矩阵A的特征值，ev$vectors是矩阵A的对应特征值的特征向量，如果我们仅仅需要计算特征值，只需要用,evals-eigen(A)$values, 这时仅仅显示特征值而忽略了特征向量的显示，对于维数比较高的矩阵，如果不需要特征向量，则可采用下面的表达式evals A=array(c(1,1,1,4,2,1,1,9,3),dim A ,1 ,2 ,31, 1 4 12, 1 2 93, 1 1 3 det(A)1 20 D=eigen(A) D$values1 6.861946+0.000000i -0.430973+1.651934i -0.430973-1.651934i$vectors ,1 ,2 ,31, 0.5688541+0i 0.8556153+0.0000000i 0.8556153+0.0000000i2, 0.7483780+0i -0.2834343+0.3928919i -0.2834343-0.3928919i3, 0.3410799+0i -0.0906251-0.1581472i -0.0906251+0.1581472i（3） ，特征值分解的性质：我们知道当所求的特征向量构成的矩阵可逆时，会满足，J的对角线即为上述Values的值，我们验证一下： solve(D$vectors)%*%A%*%D$vectors ,1 ,2 ,31,6.861946e+00+0.000000e+00i 0.000000e+00+4.440892e-16i 0.000000e+00-4.440892e-16i2, -7.771561e-16-3.386180e-15i -4.309729e-01+1.651934e+00i 2.775558e-16-3.330669e-16i3, -3.330669e-16+2.720046e-15i 2.775558e-16+5.828671e-16i -4.309729e-01-1.651934e+00i计算的精度还是比较高的。4_2矩阵的奇异值分解函数svd（A）是对矩阵A奇异值分解，即A=U%*%D%*%t（V），其中U,V是正交矩阵，D为对角阵，也就是矩阵A的奇异值。svd（A）的返回值也是列表，svd（A）$d表示矩阵A的奇异值，即矩阵D的对角线上的元素，svd（A）$u对应的是正交矩阵U，svd（A）$V是对应的正交矩阵V，例如： A-t(array(c(1:8,10),dim A ,1 ,2 ,31, 1 2 32, 4 5 63, 7 8 10 SVD SVD$d1 17.4125052 0.8751614 0.1968665$u ,1 ,2 ,31, -0.2093373 0.96438514 0.16167622, -0.5038485 0.03532145 -0.86306963, -0.8380421 -0.26213299 0.4785099$v ,1 ,2 ,31, -0.4646675 -0.833286355 0.29952952, -0.5537546 0.009499485 -0.83262583, -0.6909703 0.552759994 0.4658502 attach(SVD) d1 17.4125052 0.8751614 0.1968665 u ,1 ,2 ,31, -0.2093373 0.96438514 0.16167622, -0.5038485 0.03532145 -0.86306963, -0.8380421 -0.26213299 0.4785099 v ,1 ,2 ,31, -0.4646675 -0.833286355 0.29952952, -0.5537546 0.009499485 -0.83262583, -0.6909703 0.552759994 0.4658502 u%*%diag(d)%*%t(v) #diag(d)表示由d向量为对角线生成的矩阵 ,1 ,2 ,31, 1 2 32, 4 5 63, 7 8 104_3 qr分解设A为m*n矩阵，如果存在m*m矩阵酉矩阵Q（方阵U的共轭转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。）和m*n阶阶梯形矩阵R，使得A=QR，那么次分解成为QR分解，QR分解在解决最小二乘问题，特征值计算等方面有着十分重要的作用。#建立矩阵 A-array(c(1:12),dim A ,1 ,2 ,31, 1 5 92, 2 6 103, 3 7 114, 4 8 12 QR QR$qr ,1 ,2 ,31, -5.4772256 -12.7801930 -2.008316e+012, 0.3651484 -3.2659863 -6.531973e+003, 0.5477226 -0.3781696 1.601186e-154, 0.7302967 -0.9124744 -5.547002e-01$rank1 2$qraux1 1.182574 1.156135 1.832050$pivot1 1 2 3attr(,class)1 qr #提取Q,R并验证分解的正确性 Q=qr.Q(QR) R=qr.R(QR) Q ,1 ,2 ,31, -0.1825742 -8.164966e-01 -0.40008742, -0.3651484 -4.082483e-01 0.25463293, -0.5477226 -1.665335e-16 0.69099654, -0.7302967 4.082483e-01 -0.5455419 R ,1 ,2 ,31, -5.477226 -12.780193 -2.008316e+012, 0.000000 -3.265986 -6.531973e+003, 0.000000 0.000000 1.601186e-15 Q%*%R ,1 ,2 ,31, 1 5 92, 2 6 103, 3 7 114, 4 8 12 4_4Schur分解引言从特征值的分解中可以看出，特征值的分解是有条件的，如果特征向量不是线性无关的，那么对于一个矩阵来说便不能采用特征值分解的方法对矩阵进行分解。例如对于矩阵 A=t(array(c(6,12,19,-9,-20,-33,4,9,15),dim A ,1 ,2 ,31, 6 12 192, -9 -20 -333, 4 9 15 det(A)1 -1 W=eigen(A) W$values1 1 -1 1$vectors ,1 ,2 ,31, 0.4082483