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第六章勒让德多项式 1 勒让德方程的引出勒让德方程的求解勒让德多项式函数展开成勒让德多项式的级数 2 6 1勒让德方程的引出 3 6 1勒让德方程的引出 在球坐标系下 Laplace方程的表达式为 4 6 1勒让德方程的引出 5 欧拉型方程 球函数方程 欧拉方程通解 为任意常数 6 1勒让德方程的引出 6 6 1勒让德方程的引出 7 6 1勒让德方程的引出 解之可确定本征值 和相应的本征函数 8 6 1勒让德方程的引出 第二个方程为 连带的勒让德方程 9 勒让德方程 m 0时 6 1勒让德方程的引出 10 6 2勒让德方程的求解 11 6 2勒让德方程的求解 考虑勒让德方程 将其代入勒让德方程 得 令 整理 比较可得 12 c 0时 6 2勒让德方程的求解 依此可得 递推公式 13 6 2勒让德方程的求解 14 其中 6 2勒让德方程的求解 15 6 3勒让德多项式 16 6 3勒让德多项式 可以将其它系数一一推算出来 即 取 将6 2中的递推公式写成 有 17 6 3勒让德多项式 18 6 3勒让德多项式 n为正奇数时 将这些系数代入到 中得到 这两个多项式可以统一写成 n阶勒让德多项式 19 6 3勒让德多项式 0 4阶Legendre多项式为 20 勒让德多项式的微分表达式 多项式的Rodrigues表达式 6 3勒让德多项式 21 此时Legendre方程的通解为 6 3勒让德多项式 22 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 23 1勒让德多项式的正交性 称为勒让德多项式的模值 是一个正交的函数系 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 24 展开定理设f x 为 1 1 上具有一阶连续导数 及分段连续的二阶导数 且f 1 1 f 1 1 则f x 可展开成 上式称为f x 的傅立叶 勒让德级数 简称F L级数 其中 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 25 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 例1将函数f x x 在区间 1 1 内展成勒让德多项式的级数 下面计算 26 从而 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 27 例2求证勒让德多项式的递推公式 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 28 例3球形域内的电位分布在半径为1的球内求调和函数u 使其在球面上满足 解 在球面坐标系 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 所提问题可化为下列边值问题 29 代入方程得 化简并引入参数 分解得到两个常微分方程 用分离变量法求解 令 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 30 在第二个方程中 令 则有 勒让德方程 6 4函数展开成勒让德多项式的级数 31 R的方程 利用叠加原理 原问题的解可以表示为 为待定系数 需由边界条件确定 代入边界条件 的通解为 6 4函数展开
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