2000-数学二真题、标准答案及解析.pdf

2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学二试题详解及评析理工数学二试题详解及评析 一 填空题一 填空题 1 3 0 arctan lim ln 12 x xx x 答 1 6 详解 2 32 3 000 1 1 arctanarctan 1 limlimlim 26ln 12 xxx xxxx x xxx 2 22 0 lim 61 1 6 x x xx 2 设函数 yy x 由方程2xyxy 所确定 则 0 x dy 答 ln2 1dx 详解 方法一 根据微分形式不变性 在已知等式两边同时求微分 得 2ln2 xy ydxxdydxdy 由原方程知 当0 x 时 1y 将其代入上式 得 ln2 dxdxdy 即有 0 ln2 1 x dydx 方法二 在方程2xyxy 两边对x求导 得 2ln21 xy dydy yx dxdx 将0 x 代入原方程得1y 将0 x 1y 代入上式有 ln2 1 01 dy dx 即有 ln2 1 dy dx 所以 0 ln2 1 x dydx 3 2 72 dx xx 答 3 详解 令2 xt 则 2 2 2 xtdxtdt 于是 2 2 200 0 22 lim 9972 2 limarctan 33 3 b b b b dxtdtdt tttxx t 4 曲线 1 21 x yxe 的斜渐近线方程为 答 21yx 详解 因为 1 11 1 1 1 limlim 22 lim2lim 21 21 lim1 1 x xx xx xx x x x y ae xx byxx ee e e x 故渐近线方程为 21yx 5 设 1000 2300 0450 0067 AE 为 4 阶单位矩阵 且 1 BEAEA 则 1 BE 答 1000 1200 0230 0034 详解 由 1 BEAEA 有 EA BEA 即 2 2 ABABEE EAEBE 也即 1 2 EAEBE 故 1 1000 1200 1 02302 0034 BEEA 二 选择题二 选择题 1 设函数 bx x f x ae 在 内连续 且 lim0 x f x 则常数 a b满足 A 0 0ab C 0 0ab D 0 0ab 答 应选 D 详解 由题设 f x在 内连续 因此对任意的 x 有 这只需0a 即可 另外 由 lim0 x f x 知 lim bx x ae 所以必有0b 故正确答案为 D 2 设函数 f x满足关系式 2 fxfxx 且 00f 则 A 0f是 f x的极大值 B 0f是 f x的极小值 C 点 0 0f是曲线 yf x 的拐点 D 0f不是 f x的极值 点 0 0f不是曲线 yf x 的拐点 答 应选 C 详解 因为 00f 由原关系式 2 fxfxx 知 00 f 因此点 0 0f可能为拐点 由 2 fxfxx 知 f x的三阶导数存在 且 21fxfx fx 可见 01f 因此在0 x 的左侧 0fx 对应曲线是上凹 上凸 的 故点 0 0f是曲线 yf x 的拐点 3 设函数 f xg x是大于零的可导函数 且 0 fx g xf x gx 则当 axb B f x g af a g x C f x g xf b g b C f x g xf a g a 答 应选 A 详解 由题设知 2 0 f xfx g xf x g x g xgx 因此当axb 即 f x g bf b g x 可见 A 为正确选选项 4 若 3 0 sin6 lim0 x xxf x x 则 2 0 6 lim x f x x 为 A 0 B 6 C 36 D 答 应选 C 详解 方法一 因为 3 3 1 sin666 3 xxxo x 所以有 33 33 00 2 0 636 sin6 limlim 6 lim36 0 xx x xxo xxf x xxf x xx f x x 可见 2 0 6 lim x f x x 36 方法二 因为 33 00 32 0 sin6sin666 limlim 6sin66 lim 0 xx x xxf xxxxxy x xx f xxx xx 所以 232 000 0 6sin666cos66 limlimlim 3 12sin6 lim36 2 xxx x f xxxx xxx x x 5 具有特解 123 2 3 xxx yeyxeye 的 3 阶常系数齐次微分方程是 A 0yyyy B 0yyyy C 61160yyyy D 220yyyy 答 应选 B 详解 由特解知 对应特征方程的根为 123 1 1 于是特征方程为 2 32 1110 故所求线性微分方程为 0yyyy 可见正确选项为 B 三 三 设 ln 1 ln x fx x 计算 f x dx 详解 设ln xt 则 t xe 于是 ln 1 t t e f t e 从而 ln 1 ln 1 1 ln 1ln 11 11 ln 1ln 1 1ln 1 x xx x x xxxx xx xxx xx e f x dxdxede e e eedxeedx ee eexeC xeeC 四 四 设xOy平面上有正方形 01 01Dx yxy 及直线 0l xyt t 若 S t表示正方形D位于直线l的左下方部分的面积 试求 0 0 x S t dt x 详解 根据题设 有 2 2 1 01 2 1 21 12 2 1 2 tt S tttt t 可见 当01x 时 23 00 11 26 xx S t dtt dtx 当12x时 2 002 1 xx S t dtS t dtS t dtx 因此 3 32 0 1 01 6 11 12 63 1 2 x xx S t dtxxxx xx 五 五 求函数 2 ln 1f xxx 在0 x 处的n阶导数 03 n fn 详解 方法一 由麦克劳林公式 2 00 00 2 n n ff f xffxxx n 及 232 1 22 42 1 3 ln 11 232 1 42 n n n n xxx xxxx n xx x n 比较 n x的系数得 1 01 2 n n f nn 所以 1 1 0 2 n n n f n 方法二 由莱布尼茨公式 01201 2 n nnnn nn uvuvC uvC uvuv 及 1 11 ln 1 1 k k k k x x k为正整数 得 123 2 12 11 12 13 21 111 nnn n nnn nnn fxxnxn n xxx 于是可得 1 3 1 0113 2 n n n n fnn n 六 六 设函数 0 cos x S xtdt 1 当n为正整数 且 1nxn 时 证明 221 nS xn 2 求 lim x S x x 详解 1 当 1nxn 时 主义到被积函数是非负得 于是有 1 00 coscos nn xdxS xxdx 又因为cosx是以 为周期的函数 在每一个周期上积分值相等 所以 00 coscos2 n xdxnxdxn 1 00 cos1cos21 nn xdxnxdxn 因此当 1nxn 时 有 221 nS xn 2 由 1 知 当 1nxn 时 有 212 1 S xnn nxn 于是再由 00 0 cos0 f x dxf xxdx 及cosx在 0 上的单调性知 1 1 1 0 11 0 0coscos coscoscoscos0 f xxdx f xxdxf xxdx 矛盾 从而推知 在 0 内除 1 外 0f x 至少还有另一实数根 2 故知存在两个不同的点 12 使 12 0 ff 九 九 已知 f x是周期为 5 的连续函数 它在0 x 的某个邻域内满足关系式 1 sin31 sin8fxfxxa x 其中 a x是当0 x 时比x高阶的无穷小 且 f x在1x 处可导 求曲线 yf x 在点 6 6f处的切线方程 详解 由 1 sin31 sin8fxfxxa x 两边取极限 得 00 lim1 sin31 sinlim 8 xx fxfxxa x 即有 1310 ff 于是得 10 f 又因为 00 1 sin31 sin8 limlim8 sinsinsin xx fxfxa xxx xxxx 可见 0 0 1 sin31 sin lim sin 1 sin11 sin1 lim3 sinsin 131 418 x x fxfx x fxffxf xx ff f 故 12f 由于 5 f xf x 所以 610ff 又 1f存在 所以 6f也存在 且 612ff 故所求得切线方程为 26yx 即 2120 xy 十 十 设曲线 2 0 0yaxax 与 2 1yx 交于点 A过坐标原点O和点A的直线与曲线 2 yax 围成一平面图形 问a为何值时 该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最大 详解 当0 x 时 由 2 2 1 yax yx 解得 1 11 a xy aa 故直线OA的方程为 1 ax y a 于是旋转体的体积为 122 24 1 0 1222 35 1 5 0 2 1 2 3 1515 1 a a a x Va xdx a aaa xx a a 从而有 53 2 22 5 2 7 2 5 211 2 2 15 1 4 0 15 1 aaaa dV da a aa a a 令0 dV da 并由0a 得唯一驻点4a 由题意知 此旋转体在4a 时取最大值 其最大体积为 5 2 21632 5 151875 5 V 十一 十一 函数 f x在 0 上可导 01f 且满足等式 0 1 0 1 x fxf xf t dt x 1 求导数 fx 2 证明 当0 x 时 不等式 1 x ef x 成立 详解 1 由题设知 0 110 x xfxxf xf t dt 上式两边对x求导 得 12 xfxxfx 即 2 1 dfxx dx fxx 两边积分 得 lnln1lnfxxxC 在题设等式中令0 x 得 000ff 又 01f 于是 01f 代入 fx的表达式 得1 C 故有 1 x e fx x 2 方法一 当0 x 时 0 fx 即 f x单调减少 又 01f 所以 01 f xf 设 x xf xe 则 00 1 xx x xfxee x 当0 x 时 0 x 即 x 单调增加 因而 00 x 即有 x f xe 综上所述 当0 x 时 不等式有 1 x ef x 方法二 因 0 01 x ft dtf xff x 将 fx代入 得 0 1 1 x xe f xdt t 又0 x 时 00 01 1 t xx tx e dte dte t 所以 1 x ef x 十二 十二 设 1 10 1 2 0 2 18 0 TT ABB 其中 T 是 的转置 求解方程 2244 2 B A xA xB x 详解 由题设 有 1 10 1 2 1 21 0210 2 11 10 2 T A 1 1 1 022 2 1 B 进一步有 2 4 2 8 TTTT AA AA 代入原方程化简 得 16816AxAxx 即 82AE x 令 123 T xx x x 代入上式 得到非齐次线性方程组 12 12 123 1 0 2 20 1 21 2 xx xx xxx 其对应的齐次方程组的通解为 1 2 1 k k为任意常数 非齐次方程组的一个特解为 1 0 0 2 T 于是所求方程的通解为 x 即 10 20 11 2 xk k为任意常数 十三 十三 已知向量组 123 0 1 2 1 110 ab 与向量组 123 139 2 0 6 317 具有相同的秩 且 3 可由 123 线性表示 求 a b的值 详解 方法一 因为 1 和 2 线性无关 312 32 所以向量组 123 线性无关 且秩为 2 1 2 为它的一个极大线性无关组 由于向量组 123 与 123 具有相同的秩 故 123 线性相关 从而行列式 123 0 1210 110 ab 由此解得3 ab 又 3 可由 123 线性表示 从而可由 1 2 线性表示 于是 1 2 3 线性相关 因此有 123 13 2010 310 b 化简得2