高数 定积分与NL公式.ppt

1 6定积分 教学要求掌握定积分的概念 性质及定积分与不定积分的关系 会用N L公式计算定积分 较熟练地运用换元法与分部积分公式计算定积分 小学数学中的定积分的思想 1 6 1 实例1 求曲边梯形的面积 一 问题的提出 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 播放 曲边梯形如图所示 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 求变速直线运动的路程 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变 取该小段上某一点的速度为该f i 小段的速度 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 1 分割 2 求和 3 取极限 路程的精确值 二 定积分的定义 定义 记为 积分上限 积分下限 黎曼和 积分和 注意 定理1 定理2 5 存在定理 教材只给出了定理1的结论 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 四 定积分的几何意义 几何意义 由定积分的定义可知 例利用定义计算定积分 解 五 小结 定积分的实质 特殊和式的极限 定积分的思想和方法 求近似以直 不变 代曲 变 取极限 1 6 2定积分的基本性质 后两条是定积分的线性运算性质 这些性质重要而简单 在此不证 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例若 定积分对于积分区间具有可加性 则 性质 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 定积分中值定理 积分中值公式 积分中值公式的几何解释 1 6 3微积分基本定理 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 一 问题的提出 这个判断是正确的 今后我们计算定积分就是应用公式来做的 这个公式是微积分基本定理的结论 称其为微积分基本定理是因为它揭示了 导 函数f x 与其原函数之间的关系 把求定积分的问题转化为求原函数 也就是求不定积分的问题 下面我们简单介绍一下公式的根据 考察定积分 记 积分上限函数 二 积分上限函数及其导数 如果从定积分的几何意义来看 积分上限函数就是变面积函数 积分上限函数的性质 证 由积分中值定理得 定理2 原函数存在定理 定理的重要意义 1 肯定了连续函数的原函数是存在的 2 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 定理3 微积分基本定理 证 三 牛顿 莱布尼茨公式 令 令 牛顿 莱布尼茨公式 微积分基本公式表明 注意 求定积分问题转化为求原函数的问题 这公式左为积分 右求增量为微分 两种运算从概念及背景完全不同 现在联系到了一起 故公式具有 基本 的重要性 称之为微积分基本定理 例1 6 1求 原式 例1 6 2设 求 解 解 要去掉绝对值符号 因此要利用定积分的区间可加性 例1 6 3求 3 微积分基本公式 1 积分上限函数 2 积分上限函数的导数 四 小结 牛顿 莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系 作业 P981 6 1 3 5 9 10 1 6 31 6 7 3 思考题 将和式极限 表示成定积分 思考题解答 原式 练习题 练习题答案 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注