电动力学中的数学知识.pdf

1 引言 一 什么是物理学 一 什么是物理学 物理学主要研究物质的基本结构 相互作用和物质最基本 最普遍的运动 形式 机械运动 热运动 电磁运动 微观粒子运动等 及其相互转化的规律 的科学 2 二 研究物理问题的方法 1 通过观察 实验 计算机模拟得到事实和 数据 2 用已知的可用的原理分析事实和数据 3 形成假说和理论解释事实 4 预言新的事实和结果 5 修正更新旧的理论 形成新的理论 物理学已经形成实验物理 理论物理 计 算物理三足鼎立的科学 3 三 物理学习中应该注意的几 点 三 物理学习中应该注意的几 点 1 除学习物理规律和解题技巧外 还必须从整体上掌 握物理学 了解各分支间的联系 从整体上逻辑的 协调的把握物理学 2 对于基本物理定律的优美 简洁 和谐以及辉煌应 有所体会 了解其普适程度和适用范围 3 学会区别理论和应用 物理思想和数学工具 一般 规律和特殊事实 主要和次要矛盾 传统和现代的推 理方式等 4 物理学是辨证唯物主义的坚实的自然科学基础 学 习物理必须以辨证唯物主义为指导 同时也有助于树 立辨证唯物主义的世界观 4 电动力学概述 一 电动力学的研究对象 电磁场 电磁场是电荷和电流激发的场 场 是物质存在的一种重要形式 研究的具体内容 1 电磁场的基本属性 2 电磁场的运动规律 3 电磁场与物质的相互作用 5 二 电动力学的任务 阐述电磁场及其与物质相互作用的 各个特殊范围内的实验定律 并在此基 础上阐明电磁现象的本质和它的一般规 律 以及运用这些规律定量地处理各种 电磁问题 研究各种电磁过程 6 三 电磁理论的发展历史 1785年发现库仑定律 Coulomb 1820年发现电流的磁效应 Oersted 1831年发现电磁感应定律 Faraday 1865年建立电磁场理论 Maxwell 1905年建立狭义相对论 Einstein 进入二十世纪后 建立了量子电动力学 7 四 学习电动力学的目的 1 掌握电磁场的基本规律 加深探索 对电磁场性质和时空概念的理解 2 学习分析和处理一些基本问题的初 步能力 3 通过电磁场运动规律 更深刻的领 会电磁场的性质 帮助我们加深辩证唯 物主义的世界观 8 电动力学中的数学知识 一 矢量代数 二 任意矢量的点积和叉积 三 四 场的微分算符 五 矢量微分算子 六 常用定理与公式 符号和 符号的几个公式 9 一 矢量代数 1 1 2 3 0 1 0 1 i ij ij ijijijji e i ij e e ij ij ij e e 坐标基矢 单位矢量用表示 成为坐标基矢 定义二阶对称 符号为 克罗内克尔 函数 符号是一个二元函数 得名于德国数学家利奥波德 克罗内克尔 所以 可知 10 一 矢量代数 续 12213 23321 31132 123312231213132321 0 Levi Civita 0 1 ij ij ijk i ee eeij eeeee eeeee eeeee i j k 当 引入三阶完全反对称 符号 称之为置换符号 也叫做 符号 其中任意两个相等时 注 3 1 12 31 12 31 jk ijijkk k i j k i j k eee 当为 的偶排列时等于 当为 的奇排列时等于 所以 11 一 矢量代数 续 3 1 1 2 3 ijij ijijk k k i e e eee e i 表达了坐标基矢的基本性质 12 二 任意矢量的点积和叉积 3 1 12 23 3 1 3 1 12 23 3 1 3333 1111 3333 1111 i i i i i i ij ijijij ijij ij ijijkijk ijij aa ea ea ea e bbeb eb ebe a bab e eab abab eeab e r r r r r r 13 1 23 112233 3 4 5 ee ijij ii ij jmim AA ijji AA ijjmim vv 三 符号和 符号的几个公式 性质 14 111 222 333 6 7 8 92 106 ijk ijijkk ijk ipiqir pqr jpjqjrijk kpkqkr jqjr iqrjqjrijkkrkq kqkr ijrijkkr ijk ijk 三 符号和 符号的几个公式 续 15 1 2 ijkijkijkijk aba b ee a b abca c ba b c rr rrrr r rr r r 应用举例 证明 四 场的微分算符 16 1 场的概念场的概念场的概念场的概念 x y z tx t A x y z tA x t r rr r 标量场 矢量场 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理 量 或说 若在一定空间中的每一点 都对应着某 个物理量的确定值 就说在这空间中确定了该物理 的场 如 强度场 速度场 引力场 电磁场 场用一个空间和时间 坐标的函数来描述 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理 量 或说 若在一定空间中的每一点 都对应着某 个物理量的确定值 就说在这空间中确定了该物理 的场 如 强度场 速度场 引力场 电磁场 场用一个空间和时间 坐标的函数来描述 稳恒场 稳定场 静场 场与时间无关稳恒场 稳定场 静场 场与时间无关 变化场 时变场 场函数与时间有关变化场 时变场 场函数与时间有关 四 场的微分算符 续 17 2 梯度 在空间某点的任意方向上 导数有无穷多个 其中一 个值最大 这个方向导数的最大值定义为梯度 gradn n 梯度的意义 空间某点标量场函数的最大变化率 描 述了标量场的空间分布特征 x r 等值面 常数的曲面成为等值面 梯度与等值面垂直 四 场的微分算符 续 18 3 散度 设封闭曲面s所包围的体积为则就是矢 量场在中单位体积的平均通量 或者平 均发散量 0 lim 0 0 0 s V A dS divA xAA V A A A rrrrrr r r r 高斯公式 斯托克斯公式 格林公式 第一公式 第二公式 积分变换的一般规则 SL VSSL VSSL VS dSdl dVdSdSdl dVAdSAdSAdlA dVTdS T rr rrr rrrrrrr rtt 体积分变面积分面积分变线积分 SL dSTdl T rrtt 一般变换规则证明一般变换规则证明一般变换规则证明一般变换规则证明 29 证 任取常矢量点乘上式两端证 任取常矢量点乘上式两端C r VS dVAdSA rrr 1 VV dVCAdVAC rrrr 左 SS dSACCdSA rrrrrr SL dSAdlA rrrr 2 证 任取常矢量点乘上式两端证 任取常矢量点乘上式两端 SS CdSAdSA C rrrrrr 左 LL ACdlCdlA rrrrrr 六 常用定理与公式 30 6 不同坐标系下的矢量微分算子 1 11 sin xyz rz r eee xyz eee rrz eee rrr rrr rrr rrr 31 2 1 2 3 4 5 6 7 1 8 2 9 AAA AAA A BABBA ABA BAB A BB ABAA BAB A BABABBABA AAAAA rrr rrr rrrrrr rrrrrr rrrrrrrrrr rrrrrrrrrr rrrr 2 2 10 AAA ff rrr 32 AAA rrr 证明证明证明证明 xyz AAAA xyz r 证 证 证 证 y xz xyz A AA AAA xyzxyz AA rr 33 特殊方程 函数 函数 一维一维 0 d1 d b a b a xx xx xx xxxaxb f xxxxf xaxb 函数函数 f x 在在 x x 连续连续 34 三维三维 0 d1 d V V xx xx xx xxVxV f xxxVf xxV vv vv vv vvv vvvvv vv vv vv vvv vvvvv 函数函数 f x 在在 x x 连续连续 位于位于x 的点电荷的点电荷q可表示为 可表示为 q xx x v vvvvv 35 勒让德多项式 轴对称下 勒让德多项式 轴对称下Laplace方程 球坐标 的通解 其中 勒让德多项式 方程 球坐标 的通解 其中 勒让德多项式 1 0 cos nn nnn n b a rP r 22 22 11