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琼州大学数学系数学实验与建模 数学实验与数学建模 班级 04授课教师 张承平Email godloved MATLAB语言基础 第一节MATLAB的简单介绍一 MATLAB语言的特点1 具有强大的矩阵运算能力 MatrixLaboratory 矩阵实验室 使得矩阵运算非常简单 2 是一种演算式语言MATLAB的基本数据单元是既不需要指定维数 也不需要说明数据类型的矩阵 向量和标量为矩阵的特例 而且数学表达式和运算规则与通常的习惯相同 因此MATLAB语言编程简单 使用方便 使用帮助1 help命令 在命令窗口中显示MATLBA的所有函数都是以逻辑群组方式进行组织的 而MATLAB的目录结构就是以这些群组方式来编排的 helpmatfun 矩阵函数 数值线性代数helpgeneral 通用命令helpgraphics 通用图形函数helpelfun 基本的数学函数 二 MATLAB命令窗口启动MATLAB命令窗口计算机安装好MATLAB之后 双击MATLAB图标就可以进入命令窗口 可以在命令窗口中直接输入命令语句 helpelmat 基本矩阵和矩阵操作helpdatafun 数据分析和傅立叶变换函数helpops 操作符和特殊字符helppolyfun 多项式和内插函数helplang 语言结构和调试helpstrfun 字符串函数helpcontrol 控制系统工具箱函数2 helpwin 帮助窗口3 helpdesk 帮助桌面 浏览器模式4 Help命令 返回包含指定函数的说明以及例子5 lookfor命令 返回包含指定关键词的那些项6 demo 打开示例窗口 MATLAB语句形式 变量 表达式 通过等于符号将表达式的值赋予变量 当键入回车键时 该语句被执行 语句执行之后 窗口自动显示出语句执行的结果 如果希望结果不被显示 则只要在语句之后加上一个分号 即可 此时尽管结果没有显示 但它依然被赋值并在MATLAB工作空间中分配了内存 三 变量和数值显示格式1 变量 1 变量的命名 变量的名字必须以字母开头 不能超过31个字符 之后可以是任意字母 数字或下划线 变量名称区分字母的大小写 变量中不能包含有标点符号 2 一些特殊的变量ans 用于结果的缺省变量名i j 虚数单位pi 圆周率inf 无穷大NaN 不定量realmin 最小可用正实数realmax 最大可用正实数eps 计算机的最小数nargin 函数的输入变量个数nargout 函数的输出变量个数 3 变量操作在命令窗口中 同时存储着输入的命令和创建的所有变量值 它们可以在任何需要的时候被调用 如要察看变量a的值 只需要在命令窗口中输入变量的名称即可 a2 数值显示格式数据的显示格式由format命令控制 format只是影响结果的显示 不影响其计算与存储 MATLAB总是以双字长浮点数 双精度 来执行所有的运算 四 MATLAB的工作空间1 MATLAB的工作空间包含了一组可以在命令窗口中调整 调用 的参数who 显示当前工作空间中所有变量的一个简单列表whos 则列出变量的大小 数据格式等详细信息clear 清除工作空间中所有的变量clear 变量名 清除指定的变量clc 清除显示屏幕2 退出工作空间quit或exit 五 文件管理文件管理的命令 包括列文件名 显示或删除文件 显示或改变当前目录等 what dir type delete cd which what 显示当前目录下所有与matlab相关的文件及它们的路径 dir 显示当前目录下所有的文件which 显示某个文件的路径cdpath 由当前目录进入path目录cd 返回上一级目录cd 显示当前目录typefilename 在命令窗口中显示文件filenamedeletefilename 删除文件filename 六 常用函数1 常用数学函数三角函数 正弦sin x 余弦cos x 双曲正弦sinh x 双曲余弦cosh x 正切tan x 余切cot x 反正弦asin x 反余弦acos x 反正切atan x 正割sec x 余割csc x 运算函数 sqrt x abs x 指数函数 exp x log x log10 x 复数函数 imag x real x conj x 整值函数 朝零取整数fix x 朝负无穷方向取整floor x 朝正无穷方向取整ceil x 符号函数sign x 四舍五入到最近的整数 round x 2 数组操作size a 返回数组的行数和列数size a 1 返回数组的行数size a 2 返回数组的列数length a 返回max size a 数组的行数和列数最大值flipud a 矩阵作上下翻转fliplr a 矩阵作左右翻转diag a 提取a的对角元素 返回列向量diag v 以向量v作对角元素创建对角矩阵 3 其他函数最大值max 最小值min 求和sum和平均值mean等函数 一般作用于向量也作用于矩阵 作用于矩阵时 是函数用于矩阵响应的列响亮的结果 返回行向量 程序设计与M文件 在运算式中 MATLAB通常不需要考虑空格 多条命令可以放在一行中 它们之间需要用分号隔开 逗号告诉MATLAB显示结果 而分号则禁止结果显示 关系运算 判断 小于 小于或等于 等于 不等于 逻辑运算 与and 或or 非not 1 简单的数学运算 乘 右除 左除 幂 一 运算 二 MATLAB的控制流程 循环结构forwhile分支结构ifswitch 1 for循环结构 forx 表达式1 表达式2 表达式3 语体end 例建立向量x使x 12 10 fori 1 1 10 x i i endx 开始值 等差距 终始值 break跳出本级循环结构 continue运行下个循环语体 while循环 while表达式语体end Fibonacci数组的元素满足Fibonacci规则 ak 1 ak ak 1 k 1 2 且a1 a2 1 现要求该数组中第一个大于10000的元素 程序如下 a 1 1 a 2 1 i 2 whilea i 10000a i 1 a i 1 a i i i 1 endi a i 表达式为真运行循环 否则结束循环 if表达式1语体1elseif表达式2语体2 elseif表达式n语体nend if else end分支结构 sums 0 cost 10 number 12 Ifnumber 8sums number cost endsums n 100 a 1 1 a 2 1 fori 3 na i a i 1 a i 2 ifa i 10000a i breakendendi Break跳出所在的循环 if else end分支结构 switch分支结构 switch表达式case值1语体1case 值2 1 值2 1 语体2 Otherwise语体n method input Themethodtouse n s switchlower method case liner bilinear disp Methodisliner case cubic disp Methodiscubic case nearest disp Methodisnearest otherwisedisp Unknownmethod end M文件的编写 命令文件和函数文件 从File菜单中选择New下的M file命令 1 命令M文件的编写及其运行 特点 命令文件没有输入参数和输出参数 见程序examplem1 m 特点 像库函数一样地调用 2 函数M文件的编写及其调用 Function 输出变量列表 函数名 输入变量列表 函数体语句 注意 a 当输出变量多于一个时 应该用 变量之间用逗号隔开 b当输入变量多于一个时应该用逗号隔开 c 编写完了以后必须以函数名存盘 d 函数M文件一般不能独立运行 除非无输入参数 e 不能访问工作区的变量 见程序 examplem2examplem2 Matlab的数值计算 一 矩阵和向量以及运算 1 矩阵与向量的输入 a Matlab的基本数据单元是无须指定维数b 数量可以看成是1 1的矩阵 n维行向量或列向量可看成1 n或n 1c 用 表示矩阵 同行元素间用空格或逗号分隔 不同行之间用分号或回车分隔 a 1 2 3 4 5 6 789 a 1 2 34 5 6789 注意 Matlab中不需要预先知道矩阵和向量的维数 但是要经常使用维数 测量维数大小的函数 n length a m n size a 测量矩阵a的行数和列数最大值 测量矩阵a的行数和列数 2 向量的快捷生成 1 利用冒号 生成等差数列 a i k j 步长 缺省为1 终值 初始值 例 x 1 5生成x 12345 例 x 0 2 6生成x 0246 2 利用linspace函数生成向量 等差数列 a linspace i j n 初始值 终值 元素个数 缺省为100 3 利用logspace函数生成向量 等比数列 a linspace i j n 初始值为10等i次方 初始值为10等j次方 元素个数 缺省为50 1 矩阵函数 3 向量的快捷生成 det A 计算行列式A 矩阵的转置 复矩阵的复共轭转置inv A 矩阵的逆orth A 正交化polt A 特征多项式rank A 矩阵的秩trace A 矩阵的迹zeros m n m行n列的零矩阵ones m n m行n列的全1矩阵eye n n阶单位矩阵d eig A v d eig A 特征值与特征向量rand m n m行n列均匀分布随机数矩阵Randn m n m行n列正态分布随机数矩阵 2 矩阵的调用 A m m行元素构成的行向量 A n n行元素构成的行向量 A m1 m2 n1 n2 m1到m2行的n1到n2元素构成的矩阵 A m n m行n列元素 A m 删除第m行所有元素 2 矩阵的运算 矩阵的加与减用 与 矩阵相乘用 矩阵相除A B inv A B矩阵相除A B A inv B 方阵的乘方用 表示 A p表示的A的p次方 多项式的运算 1 多项式的表示方法及其运算 采用行向量表示多项式的系数 行向量中的元素按照多项式的次数从高到低所对应的系数排列 求此多项式当x 5时的值P 5 可以用函数polyval P 5 其中x取数值也可以取方阵 注意 二次系数为零 零不可少 Polyvalm P X X为方阵 求以方阵为自变量的多项式 poly r 可以找出由列向量r的元素作为根的一个多项式的 roots P 可以找出多项式P的根 2 常见的多项式函数 1 函数conv支持多项式乘法conv a b 表示两个多项式相乘 2 多项式加法 维数相同直接相加 维数不同 维数小的前面补零再相加 3 多项式相除 函数用deconv 格式 g r deconv a b a b表示被除数和除数 g r表示商和余数 注意 维数小的前面要补零 4 多项式的求导 函数用polyder 格式 三 求函数的极值和零点 在指定区域内求一元函数的最小值 求解使用的函数fminbnd 1 求解一元函数的最小值 求解y f x 在指定的区间 a b 上的函数局部极小值 函数返回f x 在极小点时x的值 调用格式 x fminbnd f x a b 2 求解多元函数的最小值 注意 为子函数或内联函数表达式 函数fminsearch用于求多元函数在向量x0附近的最小值 功能函数返回多元函数局部最小函数值对应的自变量的取值 x fminbnd humps 0 3 1 f inline sin x x fminbnd f 0 3 1 humps为y 1 x 0 3 2 0 01 1 x 0 9 2 0 04 6 3 求函数的零点 用功能函数fzero求解函数在某点x0附近的零点对应的x的值格式x fzero fun x0 例如 o humps 12 fzer 1 5MATLAT图形功能 1 二维图形的绘制 MATLAB提供了大量的用于绘图 标注图形以及输出图形命令 plot 在 x y 坐标下绘制二维图形fplot 二维数值函数曲线的专用命令plot3 在 x y z 坐标下绘制二维图形loglog 在 x y 对数坐标下绘制二维图形semilogx 在x为对数坐标 y为线性坐标的二维坐标中绘图semilogx 在x为线性坐标 y为对数坐标的二维坐标中绘图plotyy 在有左右两个y轴的坐标下绘图 1 基本的绘图命令 1 plot y 当y为向量时 是以y的分量为纵坐标 以元素序号为横坐标 用直线依次连接数据绘制曲线 若y为实矩阵则按列绘制每列对应的曲线 图中曲线数等于矩阵的列数 2 plot x y 以向量x作为x坐标 以y的分量为纵坐标 若x是矩阵 则沿x矩阵的列方向将矩阵看做每个的向量 以各向量为基准 作出以y中对应列向量的图形 3 plot x1 y1 x2 y2 此格式中 对每对x y必须符合plot x y 的要求 不同对之间没有影响 画出每对x y在绘图 1 基本的绘图控制 调用命令为plot x y color linestyle maker 字符串 颜色 线性和数据点 查看helpplot axis xmin xmaxyminymax axisequalx轴和y轴的单位长度相同 axissquare图框呈方形 axisoff取消坐标轴 3图形的标注 xlabel x坐标加标注 取名称 ylabel y坐标加标注zlabel z坐标加标注title 给整个图形加标题text gtext 用于在图形中特定位置加字符串grind grindon表示加网格线grindoff取消网格线 3多幅图形 所有的命令可以采用图形直接操作 Subplot m n p 可在同一个图形窗口中 画出多幅不同图形 例如见 P28或程序dft m 有m行图 有n列图 第p个图形 二 三维图形 1 空间曲线plot3 x y z 螺旋曲线见p28和kjqx m 2 带网格的曲面 X Y meshgrid x y mesh X Y Z 或surf X Y Z 产生网格点 形成曲面 见p29或kjqm m 3 等高线 contour和contour分别是二维和三维等高线的函数 见p30和dgx m 第二章线性代数方法 常用线性代数命令 d eig A v d eig A 特征值和特征向量det A 行列式计算inv A 矩阵的逆orth A 正交化poly A 特征多项式rank A 矩阵的秩trace A 矩阵的迹zero m n m行n列零矩阵ones m n m行n列全1矩阵eye m n阶单位矩阵rand m n m行n列均匀分布随机数矩阵randn m n m行n列标准正态分布随机数矩阵rref A 化矩阵为最简阶梯形矩阵 2 1矩阵的初等变换 一 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换包含 行变换 列变换 运算将原矩阵化为另一矩阵 通过初等变换求矩阵的秩和逆矩阵 1 通过行初等变换求矩阵的秩例1 p32和cdbh m A 1 2 102 2426 6 2 1023 33334 A 2 A 2 2 A 1 将第一行乘2加到第二行A 3 A 3 2 A 1 将第一行乘 2加到第三行A 4 A 4 3 A 1 将第一行乘 3加到第四行A 23 A 32 交换第二行和第三行A 34 A 43 交换第三行和第四行A 3 A 3 3 A 2 将第二行乘 3加到第三行A 4 A 4 2 A 3 将第三行乘2加到第四行A 采用rank A 求秩 2 1矩阵的初等变换 例2求矩阵的逆见p34和ni m A 344 221 122 E eye 3 C A E C 13 C 31 C 2 C 2 2 C 1 C 3 C 3 3 C 1 C 1 C 1 C 2 C 3 C 3 C 2 C 1 C 1 C 3 C 2 C 2 3 C 3 C 2 1 2 C 2 formatrat 分数显示CC 456 也可以直接用invA 344 221 122 formatratinv A 可用命令rref将矩阵化为最简阶梯形 二 矩阵化为最简阶梯形的命令 A 1 2 102 2426 6 2 1023 33334 formatrat 分数显示rref A 2 1矩阵的初等变换 2 2向量组的线性相关性分析 例1 p36和xg1 m 1 向量组的线性相关性判别 A 1332 2695 1 330 A A formatratrref A 例2 p37和xg2 m A 1201 130 1 1 110 A A formatratrref A 2 向量组的最大无关组 求最大线性无关以及线性表出例6 p37和zdwgxxbc m A 2 135 4 313 3 234 4 11517 7 6 70 A A formatratrref A 运行结果 ans 10021010 350014500000 第4个向量线性表出系数 第5个向量线性表出系数 2 3线性方程组的解结构 一 齐次线性方程组的解结构 例1判别方程组 A 12 1 252 147 133 rref A k为任意值 10 9014000000 运行结果 R A 2 3 一 齐次线性方程组的解结构 1 求线性齐次方程组的通解 在Matlab中 函数null用来求解零空间 即满足A X 0的解空间 实际上是求出解空间的一组基 基础解系 函数格式z null A z的列向量为方程组的正交规范基 满足z z Iz null A r z的列向量是方程AX 0的有理基 例2见p39和fqcjgj m A 11111 3211 3 01226 5433 1 formatratB null A r symsk1k2k3x k1 B 1 k2 B 2 k3 B 3 二 非齐次线性方程组的解结构 例3求解方程组 A 211 312 1 10 b 33 1 det A x A b 行列式值为2 表示矩阵可逆 fqcjgj1 m A 11 3 1 3 1 34 15 9 8 b 140 C null A r l u lu A x0 u l b symsk1k2x k1 C 1 k2 C 2 x0 fqcjgj2 m LU分解 即上三角 下三角分解 2 4矩阵的特征值与特征向量 一 矩阵的特征值与特征向量 求特征值和特征向量用eig 格式1 d eig A 求特征值d 格式2 v d eig A 求特征值d和对应的特征向量v A 460 3 50 3 61 v d eig A 二 矩阵的相似对角化 A 460 3 50 3 61 v d eig A v 1 A v 证实分解 由f得到二次型为 A 3 3 3 31 1 3 11 v eig A U T schur A Schur是正交分解U是正交阵T是对角阵 机器M每星期可使用80h 而机器N最多可使用60h 生产者不想让昂贵的机器有空闲时间 因此想知道在一周内每一产品必须生产多少才能使机器被充分利用 例1生产计划安排一制造厂商生产三种不同的化学产品A B C 每一产品必须经过两部机器M N的制作 而生产每一吨不同的产品需要使用两部机器不同的时间 如下表 2 5实验例题 2 5实验例题求解 解 设x1 x2 x3分别表示每周内制造产品A B C的吨数 于是机器M N一周内使用的实际时间为2x1 3x2 4x3和2x1 2x2 3x3 要充分利用机器 即得到下列方程组 该方程组的非负解即为该题的解 该方程的增广矩阵为 通过编写程序 A 23480 22360 formatratrref A 运行程序得到结果为 101 21001120 故原方程组等价为 原方程组通解为 即产品A B C每周生产的吨数可用上式确定 例2常染色体的隐性病遗传 根据遗传病对应的基因可以分为三类 AA基因型的正常人 Aa基因型的隐性患者 aa基因型的显性患者 转移概率表 那么得到 A 11 40 01 20 01 41 X0 0 85 0 15 0 XA20 A 20 X0 B 11 20 01 20 000 XB20 B 20 X0 C 111 n 0 whileX0 CC X0 n n 1 X0 A X0 endformatlongXA20 XB20 X0 n XA20表示第一种结合方法20代后分布 XB20表示第二种结合方法20代后分布 表示否定 表示不等于 此处表示如果X0稳定就结束循环 用高精度显示结果 最后结果表明第一种方法疾病基因51代后稳定 第三章微积分方法 本章需要掌握的基本符号函数 sym创建一个符号变量syms创建多个符号变量expand符号计算中的展开collect符号计算中的同类项合并char把数值转换成字符对象simplify符号计算中进行简化vpa任意精度 符号类 数值digits定义精度位数factor符号计算中的因式分解eval串演算指令 3 1函数的微积分运算 一 极限运算 limit f x a 求表达式f当x趋近a时的极限limit f a 对系统默认变量且该默认变量时表达式f的极限limit f 对系统默认变量且该变量趋近0时表达式的极限limit f x a right 求从x右侧趋近a时表达式f的极限limit f x a left 求从x左侧趋近a时表达式f的极限 程序见qjx m 二 求导运算 求导或微分由diff完成 diff A 对表达式A进行一次求微分diff A x n 对表达式A进行n次求微分 symsx A 3 x 2 2 x 1 B diff A x 1 eval B 1 函数的求导 2 微分运算 symsxdx A asin sqrt 1 x 2 diff A dx 3 多元函数的偏导数 symsxy z x 2 sin 2 y B diff z x diff z y 4 全微分运算 symsxydxdy z log x 2 y 2 simplify diff z x dx diff z y dy 三 积分运算 1 梯形积分法函数trapz可用于进行梯形积分 精度低 适合于数值函数和光滑性不好的函数 调用格式z trapz x y 其中x表示积分区间的离散化变量 y是与x同维的向量 z返回积分的近似值 x 1 0 1 2 y x exp x trapz x y 2 变步长数值积分两个求积分函数quad和quadl quad使用自适应Simpson法 比quadl的精度低 调用格式为z quad fun a b tol 和z quadl fun a b tol trapz quad和quadl只能用于定积分 1 定积分 f x 1 3 quadl f 2 0 3 重积分 1 1 数学软件给出计算内积分为上下限的二重积分的dblquad 功能 矩形区域上的二重积分的数值计算格式q dblquad fun xmin xmax ymin ymax tol 调用函数quad在区域 xmin xmax ymin ymax 上计算二元函数z f x y 二重积分 输入向量x 标量y 则f x y 必须返回一用于积分的向量 用指定的精度tol代替缺省精度10 6 再进行计算 f y sin x x cos y dblquad f pi 2 pi 0 pi 1 2 计算内积分为函数的二重积分的利用两次quad8 见书上 symsxyI int int x 2 y 2 x sqrt y 2 y 1 4 vpa I 这里采用int符号积分调用格式 int f x x1 x2 4 计算曲线的长度 例13用函数计算曲线的长度 参数方程为 x t sin 2t y t cos t z t t 0 t 3 f sqrt 4 cos 2 t 2 sin t 2 1 quad f 0 3 pi 2 符号积分 调用格式 int f x x1 x2 symsx A 1 1 x 2 int A symsr s r 1 r 2 int int s r 0 1 0 2 pi 3 2常微分方程的求解 求微分方程组的解析解函数命令dsolve调用格式 dsolve eqn1 eqn2 x 一 解析解 第1个方程与初始条件等式 自变量 默认的是t symsxy dsolve Dy 1 y 2 x dsolve Dy 1 y 2 y 0 1 x 注意 D要大写 symstxy x y dsolve Dx x y Dy x y x 0 1 y 0 2 t symsxydsolve D2y 1 x Dy 1 1 2 2 x 2 y 0 y pi 2 2 Dy pi 2 2 pi x 二 微分方程数值解法 t x solver f ts x0 options 注意 1 在解n个未知函数的方程组时 x0和x均为n维向量 m 文件中的待解方程组应以x的分量形式写成 2 使用Matlab软件求数值解时 高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组 functionf jie4 x y f y 2 y 2 x 1 2 2 x 2 1 y 1 x y ode23 jie4 pi 2 pi 2 2 pi 3 3Taylor级数 Taylor级数的展开调用命令格式 taylor f 求f默认变量的默认五阶Taylor展开taylor f n 求f默认变量的 n 1 阶Taylor展开taylor f a 求f默认变量在a点的默认五阶Taylor展开taylor f x 用指定变量x代替findsym所确定的变量 symsxtaylor exp x taylor log x 8 1 symsttaylor x t 3 t 第四章综合实验 4 1变形虫 水稻叶及其他生物物种的Richards弹性生长模型 二 关于Richards模型 1959年Richards提出生物生长模型 其中 y t 为t时刻的生物总生长量 参数a为总生长量 b为初始参数 k为生长速率参数 m为曲线形状参数 图形是以y a为渐进线的S形曲线 形状参数m的变化可演变为三个著名的生长模型 计算机模拟图 2 生长过程的特征分析 生长过程的特征分析时 通常需要确定生长速率和速率变化的极大点 生长速率的极大点即为曲线的拐点 二阶导数等于0的点 该模型描述的生长过程的最速生长点的到来随参数m的增大而延后 因此m的增大 模型越来越适合描述早期生长期长的生长过程 3 变形虫 水稻叶的实验数据分析见zh4 04 m 从Richards模型的计算机模拟和生长过程的分析可以看出 随着参数m的滑动 该模型不仅包括了Mitscherlich Gompertz Logistic等模型 而且还包括了它们的中间过度类型和更为广义的形状 因而对众多生物物种的多样性生长过程 在细胞 器官 个体与群体等不同层次具有广泛的适合性和较强的可塑性 四 推广 4 2棉蚜等具有季节性生物种群消长的实验 一 问题 逻辑斯蒂方程在总的增长趋势上很好地描述了种群的增长规律 但有一定局限性 不能十分准确地描述自然界中实际生物种群增长过程的波动性以及消亡等现象 例如棉蚜与稻田中华按蚊幼虫具有季节性生长特点的生物 因而对起生长过程的模拟需要考虑季节性的周期性变换的影响 下面在逻辑斯蒂模型的基础上我们建立如下的描述季节性生物生长的模型 基本模型 逻辑斯蒂模型 其中 N t 为t时刻种群密度 K为环境最大容量 r为种群内增长率 a是由K和种群初始密度决定的常数 各种生态因子的影响最终归结为对环境最的影响 从而影响种群的增长过程 在数学上 这种总的影响可以用一定的时间函数f t 来表示 因而种群的实际增长过程可表示为普遍合适公式 对于季节性生物来说 起生长过程主要受季节性生态因子周期变化的 因此影响因素f t 的具体形式可近似地表示为单一的正弦或余弦函数 即 三 对棉蚜种群数量变化的计算机模拟实验 见程序zh4 05 四 结论由拟合结果可以看出 模型很好地描述了季节性生物种群的增长规律 拟合数据与实验数据之间的相关系数为0 9647大于0 90 模型中参数h 分别反映了生态因子对种群增长影响幅度和角频率 而且h 可以为时间t的函数 因此对于周期性生态因子的影响 可以用正弦或余弦函数来描述 4 3混沌初探实验 一 问题与模型 种群的数量问题是生态学中普遍关注的问题 其中Logistic阻滞增长模型是其中一个应用相当广泛的模型 其微分方程模型如下 模型4 1中r表示种群内禀增长率 xm表示种群的环境容纳量 对于生物种群 用繁殖周期作为时段来研究起增长规律比用连续时间更符合实际 因而常用如下的差分形式表示 其中a 1 r b r xm 通常 为了便于从数学角度来研究这个模型 对差分方程 4 2 进行变换 y bx a 得到以下形式 yk 1 ayk 1 yk 4 3 由于r 0 故a 1 生物学家罗伯特 梅对模型中的不同a值的序列作了认真研究 发现这一简单的模型具有极其复杂的动力学行为 也就是今天所知道的混沌现象 3 当3 449 a 3 544时 具有4个平衡点 出现4倍周期的现象 二 混沌实验 1 当1 a 3时 差分方程4 3具有稳定的平衡点y 1 1 a 此时从一个繁殖周期来看没 其数量的增长是稳定的 2 当3 a 3 449时 出现2倍周期的现象 此时从一个繁殖周期来看没 其数量的增长是不稳定的 但是从两个繁殖周期来看 增长是稳定 4 当a 3 57时 便不存在任何2n倍周期的现象 xn 的趋势是一片混乱 这便是我们常说的混沌现象 各种情形图像 zhhdt4 31 m 数学模型分类 数学方法 随机性模型 确定性模型 模糊性模型 了解程度 白箱模型 灰箱模型 黑箱模型 第三篇数学建模初步 什么是数学模型 原始的人类从具体的一只羊 一头牛等事物中抽象出自然数1的概念 而直线也就是光线 直木棍等的数学模型 因为每一个数学概念都是从客观世界中抽象出来的 所以每一种数学概念 每个数学分支都是客观世界中某些具体事物的数学模型 一般来说 数学模型是指通过抽象和简化 使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画 以便于人们深刻地认识所研究的对象 更简洁地 也可以认为数学模型就是用数学术语对现实问题的具体描述 数学模型分类 变量特性 连续 离散 对象领域 工程 人工 交通 线性 非线性 静态 动态 单变量 多变量 生理 经济 社会 生态 数学建模的方法 建立数学模型的过程称为数学建模 建立数学模型的方法大体上可分为两类 一类是机理分析 即根据对现实对象特性的认识以及已知的知识 分析因果关系 找出反映内部机理的规律 这样建立的模型通常具有明确的物理或现实的意义 另一类是测试分析 即将研究对象视为一个 黑箱 系统 这时难以寻找内部机理 而只能依靠测量系统的输入输出数据 利用统计分析方法来构造数学模型 当然 实际问题往往需要把两种方法结合起来 数学建模的步骤 步骤 1 模型准备 了解实际背景 明确要求 搜集各种必要的信息 在这个阶段要深入调查研究 虚心向实际工作者请教 尽量掌握第一手资料 2 模型假设 为了利用数学方法 通常要对问题作出必要的 合理的简化 使问题的主要特征凸现出来 忽略问题的次要方面 3 模型构成 根据所作的假设以及事物之间的联系 构造各种量之间的关系把问题化为数学问题 尽量采取简单的数学工具 因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质 而且也容易使更多的人掌握和使用 4 模型求解 使用各种数学方法 数学软件和计算机技术 5 模型分析 对求解结果进行数学上的分析 如结果的误差分析 模型对数据的稳定性或灵敏性分析等 6 模型检验 把求解和分析结果 与实际情况进行比较 看是否符合实际 如果结果与实际不符 应该修改 补充假设 重新建模 有些模型需要经过几次反复 不断完善 7 模型应用 所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益 在应用中不断改进和完善 模型准备 模型假设 模型构成 模型求解 模型分析 模型应用 模型检验 未通过检验 通过检验 数学建模的步骤示意图 模型1森林救火问题 一 问题的提出当森林失火时 消防站要派多少消防队员去救火呢 派的队员越多 火灾损失越小 但救援开支越大 要问 派出多少队员救火 能使总费用 即火灾损失加上救援开支最小呢 模型2动物繁殖问题 一 问题的提出某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁 将其分三个年龄组 第一组0 5岁 第二组6 10岁 第三组11 15岁 动物从第二年龄组起开始繁殖后代 经过长期统计 第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代 第三年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代 第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一年龄组的存活率分别为1 2和1 4 假设农场有三个年龄段的动物各1000头 问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头 二 模型假设1 生育和死亡对该种动物个体来说都是随机发生 2 某场饲养的某动物应该是在一定的空间范围内封闭的 也就是说在所研究的时间范围不存在有迁移 迁入或迁出 的现象发生 3 因年龄分组为5岁一段 故将时间周期也取为5年 15年后就经过了3个时间周期 设 i k 表示第k个时间周期第i组年龄阶段的动物的数量 k 1 2 3 i 1 2 3 三 模型构成与求解 三 模型构成与求解 四 结果分析15年后 农场饲养的动物总数达到16625头 其中0 5岁的有14375头 占86 47 6 10岁的有1375头 8 27 11 15岁的有875头 占5 226 15年间 动物总增长16625 3000 13625头 总增长率为13625 3000 454 16 一 问题的提出报童每天清晨从报站批发报纸零售 晚上将没有卖完的报纸