从数学的本质探东西方数学教育的差异.pdf

从数学的本质探东西方数学教育的差异 江苏省海安高级中学 吴道春 东西方对数学本质的认知差异 数学家们一般认为 数学的本质是经验性和演 绎性的辩证统一 数学源于生活 如计算时间 分配物 品 丈量土地和容积等 所以 世纪之前 人们一般 认为数学是一门经验科学 世纪以来 随着近现代 数学的不断发展 特别是欧式几何 非欧几何 抽象代 数和集合论等的产生 现代数学向抽象 多元 高维发 展 人们的注意力集中到这些抽象对象上 数学与现 实之间的距离渐渐远去 数学在数学研究中占据了重 要地位 人们越来越认为数学是一门演绎科学 年 歌德尔不完全性定理的证明宣告公理化逻辑演绎 系统存在缺憾 匈牙利著名数学哲学家拉卡托斯对数 学的经验性和演绎性作出概括 认为数学具有拟经验 性 当代计算机技术的高速发展 人们可以用计算机 进行数值计算 数学实验和机器证明 实现了经验性 和演绎性的新的融合和统一 近现代 数学在西方科技 经济等领域的发展中 得到广泛应用 数学的应用价值逐渐被人们重视 形 成和发展了一个新的数学分支 应用数学 西方的 数学教育也走向了重实用和经验的道路 中国的数学 教育受苏联的影响很大 在八九十年代走上了与中国 数学传统相反 追求严密化 形式化的道路 侧重数学 的演绎性 对数学本质的不同侧重 是东西方在数学 教育理念 数学课程目标 数学课程内容 教材结构体 系 课堂教学方式 概念理解 技能训练 问题解决 数 学探究和综合难度等方面存在差异的根源 东西方数学教育的差异 数学教育理念 我国的数学教育侧重数学的演绎性 所以 一直 以来我们特别强调 双基 教学 只有学生的 双基 扎实了 他们才能够发展较高水平的演绎推理能力 教材 教辅和考试试卷中有很多题难度水平比较高 设置这些难题的主要目的就是要培养和考查学生的 演绎推理能力 美英等国的数学教育侧重数学的经验 性 鼓励学生试验 观察 操作 发现 探究 交流 创 造 重视培养学生的动手和创造能力 因此 我国学生 的数学基础知识较扎实 解题水平较高 而动手和创 造能力就不如美英国家 数学课程目标 我国普通高中数学课程标准 实验 确定的数学 课程目标是 获得必要的数学基础知识和基本技 能 理解基本的数学概念 数学结论的本质 了解概 念 结论等产生的背景 应用 体会其中所蕴涵的数学 思想和方法 以及它们在后续学习中的作用 通过不 同形式的自主学习 探究活动 体验数学发现和创造 的历程 提高空间想像 抽象概括 推理论证 运算 求解 数据处理等基本能力 提高数学地提出 分 析和解决问题 包括简单的实际问题 的能力 数学表 达和交流的能力 发展独立获取数学知识的能力 发展数学应用意识和创新意识 力求对现实世界中蕴 涵的一些数学模式进行思考和作出判断 提高学 习数学的兴趣 树立学好数学的信心 形成锲而不舍 的钻研精神和科学态度 具有一定的数学视野 逐 步认识数学的科学价值 应用价值和文化价值 形成 批判性的思维习惯 崇尚数学的理性精神 体会数学 的美学意义 从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯 物主义世界观 美国课程标准 版 中这样叙述 我们的数 学课程必须联系我们的学生的兴趣 聚焦数学的逻辑 与实验特征 为数学学习创设丰富的环境 了解学生 的数学体验 英国 年国家数学课程的三大目标 让大多数人掌握 基本技能 为少数人传授一定的符 号操作和运算的知识 培养 现实生活 应用所需的技 能 可以看出 我国数学课程的目标首先是使学生获 得必需的基本知识和基本技能 在此基础上培养学生 的数学思维能力 让学生体验数学的价值 具有数学 应用意识 美国数学课程强调联系学生的兴趣 为学 生的实验 操作和体验创设环境 我们的课程目标倾 向于 建立在双基和思维基础上的体验和应用 而美 国的课程目标倾向于 建立在实验和操作基础上的双 基和思维 英国的课程目标强调数学的实用性 数学课程内容 我国的数学课程 以苏教版教材为例 必修部分 包括 集合 函数概念与基本初等函数 指数函数 对数函数 幂函数 立体几何初步 平面解析几何初 步 算法初步 统计 概率 基本初等函数 三角函 数 平面上的向量 三角恒等变换 解三角形 数列 中学数学杂志 年第 期 不等式 选修部分包括 常用逻辑用语 圆锥曲线与方 程 导数及其应用 推理与证明 数系扩充与复数的引 入 框图 空间中的向量与立体几何 计数原理 统计 案例 概率 美国在 标准 中为每个学段设立的数学 课程内容包括 数与运算 代数 几何 测量 数据分析 与概率 问题解决 推理与证明 交流 关联 表达 年英国国家数学课程的教学内容包括 数与 代数 使用和应用数与代数 数与数系 计算 解数的 问题 处理 表示和解释数据 方程 公式和恒等式 数 列 函数和图像 形状 空间和测量 使用和应用形 状 空间和测量 理解形状的模式和性质 理解位置和 运动的性质 理解测量 几何推理 变换与坐标 测量 与作图 数据处理 使用和应用数据 明确问题和制 定计划 收集数据 处理表示和解释数据 解释和讨论 结果 我国的数学课程内容集中在数学的基础知识 基 本技能和逻辑推理上 讲究学科内容覆盖的全面 层 层递进和知识体系的完备 这是培养学生的演绎推理 能力的内在要求 美国和英国的数学课程内容联系实 际生活经验 注重实用性 建立在学生的实验与操作 的基础之上 要求学生进行数学表征 数学交流 数学 应用和问题解决 教材结构体系 我们以中英两国的数学教材的结构体系 见上 图 为例 我国的数学教材 苏教版 每个课题的课时 较多 前后联系 由定理 公理构成演绎体系 综合难 度高 英国的数学教材 大学 数学教学改革 中心 的 试验教材 侧重数学的实用性和经验 性 每个课题的课时较少 联系不强 不深挖掘 综合 难度低 课堂教学方式 在一节典型的中国数学课堂上 教师根据自己对 课堂的精心设计有条不紊地讲解概念和例题 学生全 神贯注地听讲 理解概念 根据教师的示范和要求进 行解题训练 讲究一题多变 一题多解 即我们通常所 说的 变式教学 学生在 变与不变 中加深对概念 的理解 强化对知识点之间的联系的认识以及对方 法 技巧的掌握等 从而他们的演绎推理能力不断提 高 在一节典型的日本数学课堂上 教师通常出示一 个复杂的问题 要求学生独立地寻求各种不同的解 法 然后进行小组讨论 接着由教师和学生一起对各 种解法的优缺点进行分析 这样做的目的提高学生的 演绎推理和问题解决能力 在一节典型的美国数学课堂上 常常由教师先给 出实验和操作的要求 然后学生进行操作 实验 探究 和交流 或者教师给出某类问题的解法 然后学生练 习一批类似的问题 整个课堂集中于学生通过实验达 到对事实和程序的掌握 关于概念理解 我国的数学课程力求从原理的角度来描述和分 析数学概念 证明相关定理 性质 公式和结论 使学 生在理解的基础上获得概念 英国的学生在老师的指 导下完成操作 观察模式 归纳出相关概念 但这只是 归纳 学生并不知道为什么 英国学生的概念理解侧 重于对事实和程序的记忆 而我国学生一般需要理解 概念的内涵和外延 这一差异也是由两国对数学的经 验性和演绎性的不同侧重决定的 关于技能训练 看一个关于教师对数学教学目标的看法的国际 性的调查问卷 问题是 你希望学生在这堂课主要学 到什么东西 统计结果见下表 国家技能思维社会性准备考试其他 德国 日本 美国 美国和德国教师重视数学技能 而日本教师重视 数学思维 有理由相信如果将中国教师纳入调查对 象 结果也会与日本相似 这与东西方对数学本质的 不同侧重有着直接的关系 一般认为数学技能包含两种 操作性技能和认知 性技能 操作性数学技能是指在头脑外部通过肌体活 动来实现的动作 其活动对象是物质化的客体 是一 种外显活动 认知性数学技能是指头脑中的数学智力 活动 其活动对象不是具有一定物质形式的客体 而 是这种客体在头脑中的映象 因而是一种观念性的活 动 西方侧重数学的经验性 聚焦操作性数学技能 如 使用计算工具 计算机等 统计 测量 作图等 我国 比较侧重数学的演绎性 聚焦认知性数学技能 如运 算 式的恒等变换 解不等式 推理论证等 关于问题解决 中学数学杂志 年第 期 中国数学课程中的问题解决具有以下特征 一般 没有实际背景 涉及连续的 环环相扣的数学推理 需 要学生主动地挖掘隐含的信息 知识的综合程度高 要求学生主动建立概念 命题之间的联系 可以分解 为一系列的基本命题的组合 也可以通过局部调整产 生各种新的变式题 因此题型的积累与相应的解题经 验非常重要 技巧性高 要求解题者熟练掌握双基 从 而把注意力集中在寻找解题策略上 需要较长的解题 时间 高度集中的注意力 较强的意志力和较高的自 信心 对智力是一个挑战 绝大多数解题者都会遇到 各种困难 许多人会遭受失败 一旦获解 则会产生极 大的满足感 背景简单 清晰 一般不需要运用日常生 活的实际经验 英国数学课程中的问题解决具有以下特征 通常 具有实际或具体的背景 一般不涉及推理 或者只要 求一步推理 题目中一般都包含有解题所需的全部信 息 很少要求学生自己去挖掘除基本概念以外的隐含 条件 一道题目一般只涉及单个知识点 较少要求学 生去建立不同概念之间的联系 不必担心会因为信息 的繁杂而顾此失彼 不同的题目之间缺少联系 很少 出现相互组合 或者相互化归的情形 题型的积累与 解题的经验并不重要 解题进程通常是单一方向的 即从条件到结论 一般都有现成的解题程序 学生很 少面临解题思路的抉择与调整 一般只需要几分钟就 能解决问题 不同水平的学生通常有不同的要求 因 此 绝大多数学生都不会遇到太多的解题障碍 背景 的复杂性常常超过数学本身的复杂性 总的来说 数学本身正以前所未有的 纯数学与 应用数学 逻辑演绎与实验归纳 相统一的方向发展 这表明 数学教育改革也应顺应时代的发展 在 两 极 之间寻求最佳的动态平衡 从一个直观疏忽到一个认识深化 陕西师范大学数学系 罗增儒 本文谈笔者的一段解题经历 从一道山东高考题 的直观疏忽出发 导致一个认识的深化 首先看题目 图 例 年高考数学 山东卷理科第 题 如图 在平面直角坐标系 中 一 单位圆的圆心的初始位置在 此时圆上一点 的位 置在 圆在 轴上沿正 向滚动 当圆滚动到圆心位于 时 的坐标为 一个直观疏忽 解法的呈现 笔者曾把这道题目作为解答题来研究 得出 个 答案 图 解法 依题意 圆心位于 点 时圆滚动了 个单