浙江大学历年微积分(1)试卷解答(3)-积分(定积分应用).pdf

浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类解答 积分 1 浙江大学 微积分浙江大学 微积分 1 历年期末考试试题 历年期末考试试题 三三 不定积分不定积分 1 2 21 22 x dx xx 求 222 2 22 1221 2222 1 1 ln 22 arctan 1 xx Idxdxdx xxxxx xxxC 2 2 1 1 1 dx xx 求 2 2 111111 ln1ln 1 arctan 211242 x IdxxxxC xx 3 2 1 1 dx xx 求 2 111 ln1ln 1 x IdxxxC xxx 4 35 1 dx xx 求 2 151415 14115 432 532 5432 282422 3155151515 15 15151 15151 12121 15 ln1 25432 3155151515 ln 1 282422 ut xuxudxu du uut Idududtttttdt uuutt tttt ttC xxxxxxC 令 则 5 2 2 1 ln 1 xx xdx x x 求 2 22 22 2 1111 ln lnlnlnln 1 1 1 1ln11ln11 lnln 21 1 211 1ln lnln1ln 21 xx xdxxdxxdxxd x xxxx xx xdxxdx xx xxxx x xxxC x 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类解答 积分 2 6 arcsin x x e dx e 求 2 2 cos arcsinsinlnsin sin arcsincos11 sinsinsinsin ln csccotarcsinln1 sin 1 ln 0 arcsin xx x x xxxxx x x t etetxtdxdt t ettt dxdttddt etttt t ttCeeeeeC t etxtdxdtt t e e 方法一 令 则 方法二 令 则 2 2 2 2 2 2 arcsin1arcsin arcsin 1 arcsinarcsin11 ln1 1 1 arcsinln 11 x xxx ttdt dxdttd ttt tt tdtt C tttt t t eexeC 7 2 arctan x x e dx e 求 232222 2222 2 1 ln arctanarctan111 arctan1 arctan 22 1 1 arctan111 arctan1 arctan 212 1 arctan arctan 2 ar x x x x xx x etxtdxdt t ett dxdttddt ettttt tt dtdttC ttttt e eeC e 方法一 令 则 方法二 令 2 2 2 2 222 2 sec ctanlntan tan sec1 csc csc cot csc csc csc tantan2 11 csccsccsccot 22 1 arctan 1 2 x xxx u euxudxdu u uu Iduuuuu duuuduudu uu uuuduuuuC eeeC 则 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类解答 积分 3 8 2 cos sin xx dx x 求 2 cos1 csc sinsinsin ln csccot sin xxx dxxdxdx xxx x xxC x 9 2 3 ln 1 x dx x 求 2 222 3222 22 2222 22 2 ln 1 11111 ln 1 ln 1 ln 1 222 1111 ln 1 ln 1 2 1 21 11 ln 1 lnln 1 22 x dxx dxdx xxxx x xdxxdx xxxxxx xxxC x 10 已知 sin x x 是 f x 的一个原函数 求 3 dx fxx 333232 322 2 2 sinsin 3 3 cossinsin 3 cossin3 sin2sin cos4 sin6cos xx x fx dxx df xx f xx f x dxxxdx xx xxxx xx dxxxxxxxdx xx xxxxxC 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类解答 积分 4 四四 定积分 广义积分及其应用定积分 广义积分及其应用 1 3 1 22 21 1 1 x xx dx x 求 33 111 22222 22111 sin 1 222222 22 000 11d1d 11 212sincos2sin 1sin 13 1 2 2 24 2 28 xt xx xx dxxxxxx xx xx dxttdxtt dx 2 1 322 1 1 xxx dx 求 11 3222222 2 110 22 2 0 112sincos sin 13 1 2sin 1sin 2 2 24 2 28 xxx dxxx dxttdtxt tt dt 令 3 1 22 1 2 1 xxx dx 求 11 2 2222 11 sin 1 222222 22 000 2 1 24 1 10110sincos10sin 1sin 13 15 10 2 24 2 28 xt xxx dxxx xxx dx xx dxttdtxx dx 4 2 32 2 2 4 xxx dx 求 22 322 20 22 22 00 2 444 sin 232 32sin cos32sin 1sin 32 11 33 xxx dxxx dxxt ttdttt dt 令 5 2 0 sin2 1cos x xdx x 求 22 22 000 1 222 0 00 1 11 22 2 00 11 1 sin2 cos ln 1cos 1cos1cos 1 ln 1cos ln 1cos ln2cos 1 1 ln2cosln22cos 1 ln2 n n n nn nn nn n xx xdxdxxdx xx xxx dxxdx n xdxxdx nn n 1 11 21 1 21 2ln2 2 2 2 n nn nn nnn 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类解答 积分 5 6 6 2 0 6 xxx dx 求 66 22 00 6 2 0 2 22 0 2 69 69 9 3 33sin 127 27 1sin cos cos54cos54 2 22 xxx dxxxxdx xxdxxt tttdttdt 令 7 22 1 dx x x 求 222 2 2 2 3 111 arcsin 61 1 1 secsec tan sec tan sec tan236 dx d xx x x x xudxuudu uu Idu uu 方法一 方法二 令 则 8 1 1 dx x x 求 2 20 10 112 2 2 11 xtxtdxtdt dxdt arctant tx x 令 则 9 2 3 0 x x edx 求 22 322 000 000 11 22 111 222 xxt ttt x edxx edxte dt tee dte 10 0 1 dx x x 求 2 20 00 2 2 2arctan 1 1 xtxtdxtdt dx dtt tx x 令 则 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类解答 积分 6 11 2 300 1 2 x x e edxdx x 已知 求 2 3000 0 00 111 2 1 2 242 xxx x x x u u eee dxeddx xxx x e dxedu x 12 设 1 2 sin x f xt dt 计算 1 0 f x dx 及 1 lim 1 x f x x 1 11111 222 000 0 11 222 00 1 2 2 111 1 sin sinsin 111 sincos 1cos1 222 sind sin 2 limlimlimsin1 111 xx x xxx f x dxt dt dxxt dtxx dx x dxx tt f xx xx 13 已知 0 fafb 且 fx 连续 求 0 sin f xfxxdx 000 00 0 00 0 00 sin sin sin sinsin sinsin cos sincos sin f xfxxdxf xxdxfxxdx f xxdxxdfx f xxdxxfxfxxdx f xxdxxf xf xxdxab 14 设b为常数 且积分 2 1 1 1 2 xbx dx x x 收敛 并求b的值及该积分的值 2 1111 11 2 11 1 2 1 2 121 1 1 2 2 2 2 22 2 220 22 111111 ddlnlnln3 2 1 122232 1 2 xbxbxb dxdxdxdx x xx xxx x bb bdxbdx xx x xx x xxx xbx b x 当时 广义积分发散 当时 因此 当时 1 11 1 d0ln3ln3 2 22 x x 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类解答 积分 7 15 0 sin x S xt dt 设 1 求 S 及 S n 2 求 lim x S x x 00 00 1 sinsin2 sinsin2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 lim n x St dttdt S nt dtnt dtn nxnS nS xS n S nS xS nnS xn nxnnxn S x x x 积分 2 1 0 cos 1 x Idx x 与 2 2 0 sin 1 x Idx x 试比较 1 I 与 2 I 的大小 是 12 II 12 II 还是 12 II 或者要由 而定 应说明推理过程 242 12 00 4 0 4 0 4 44 00 cossincossincossin 111 cossinsincos 122 1 2 cossincossin 1 1 2 11 cossin 1 1 2 xxxxxx IIdxdxdx xxx xxtt dxdtxt x t xxxx dxdx x x xx x x 令 4 0 4 0 1212 2 cossin 1 1 2 0cossin00 42 dx xx xxdx xx xxxxxIIII 当时 因此 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类解答 积分 8 17 设 yy x 是由 32 210yxyxx 及 1 0y 所确定 求 1 3 1 lim 1 x x y t dt x 32 2 2 1 2 22 1 1 3 11 1 210 22 3220 lim 0 3 3 2 22 61 lim 2 3 2 d limlim 1 x x x xx yxyxxx xy y yxyyxy xy x yx yxyxyyy y xy x yx L Hosptial y tt y x x 方程两边同时对求导 且 从而 由法则可得 2 11 1 limlim 3 1 6 1 63 xx y xy x xx 18 求曲线sin 0 yxx 与 x轴围成的平面图形分别绕 x轴和 y 轴旋转一周 所得的旋转体体积 x V 和 y V 2 2 0 2 0 00 1 sind 2 2 2sin d2cos2cos d2 x y Vx x Vxx xxxx x 19 在曲线段 2 0 8 yxx 上 求一点 2 P aa 使得过 P 点的切线与直线 0y 8x 所围成的三角形的面积最大 22 2 22 2 1 2 0816 2 1 2 8 16 8 222 13 8 2 8 8 8 0 22222 16 16 3 1333 8 8 16 22222 P aayaa xa a yxxyaa aa S aaaa aaaa S aa aa aa S aa 过点 的切线方程 令 则 令 则 所围三角形面积 令 则 或舍去 而 则 163 16 1680 323 1616 256 339 80 S aP xy 分为面积相等的两部分 试求常数a的值 0 0 2 0 2 3 1 1 2 12 0 0 223 1 0 0 12 11 1 1 2 1 d 33 121 2 1 d 331 211 2 3 32 31 x x yx x ayax x SSxxx a Sxaxxxx a SSa a 由可得交点 则 而 则 21 设0a 曲线 2 yaxbx 当01x 时0y 又已知该抛物线与 x 轴及直线 1x 所围成的图形的面积 1 3 D 试确定常数a与b使该图形绕 x轴旋转一周 而成的旋转体体积V最小 1 2 0 222 1 22 0 2 3 2 2 11 1 0010 323 1 2 52351030 13 3 0 10152 3 0 152 53 42 b b axyaxbx dxa aabbbb Vaxbx dx dVb b db d Vb bV db abx 由于 且时 则 令 则 而 因此 为唯一极小值点 故 为最小值 故 当 时 该区域绕轴旋转所得旋转体的 体积最小 22 求由曲线 2 yx 与2yx 围成的图形绕直线4y 旋转一周所生成的旋转体 体积V 2 22 22224 11 235 2 1 1 11 2 4 2 2 4 4 2 1249 1108 1223 55 yx AB yx Vxxdxxxx dx xxxx 由可得交点 浙江大学微积分 浙江大学微积分 1 历年试题分类解答 积分 历年试题分类