信号与系统分析——宗伟 8.ppt

第8章数字滤波器 重点 1 模拟滤波器的设计2 IIR数字滤波器的设计3 FIR数字滤波器的设计4 数字滤波器的结构 8 1模拟滤波器 AF 的设计 实际滤波器与理想滤波器之间有一定偏差 图8 1实际滤波器与理想滤波器的幅频特性 滤波器的技术指标 工作衰耗 工作衰耗取决于系统功率增益的幅度平方或称模方函数定义为 对于理想滤波器 通带衰耗为零 阻带衰耗为无限大 对于实际低通滤波器 通带衰耗记为 阻带衰耗记为 越小越大则越逼近理想滤波器 1 巴特沃兹滤波器的定义与性质 巴特沃兹低通滤波器的幅频特性定义为 巴特沃兹滤波器的几个基本特点 1 对于任意阶数n 总有 2 故滤波器特性愈逼近理想滤波器 3 n愈大 滤波器愈逼近理想特性 2 巴特沃兹滤波器参数的设计 滤波器阶数的确定 采用归一化频率 2 巴特沃兹滤波器的物理实现 由于巴特沃兹滤波器 通常取 则 由 得 可见有2n个极点 求得 极点为 三阶巴特沃斯滤波器极点分布 极点具有以下特点 1 极点分布在半径为的圆周上 2 极点以原点对称成对出现 以横轴为对称共轭出现 3 当n为奇数时 必有极点在横轴上 4 对于稳定系统 虚轴上不可能有极点 根据以上特点 可以得出巴特沃兹滤波器的系统函数的极点在s平面的左平面 得出巴特沃兹滤波器的系统函数为 思考 1 系统函数及归一化的系统函数是多少 2 图示低通滤波器的系统函数 8 2数字滤波器的基本概念和类型 若滤波器的输入 输出都是离散时间信号 而离散信号经过量化后成为数字信号 那么 该滤波器的冲激响应也必然是离散的 则称这种滤波器为数字滤波器 数字滤波器从功能上分为四种 即低通 LP 高通 HP 带通 BP 和带阻 BS 滤波器 虚线为实际的AF 实线部分是四种类型的理想数字滤波器DF 对于数字滤波器 从单位响应的长度上来分 又分为无限脉冲数字滤波器IIRDF和有限脉冲数字滤波器FIRDF两类 单位响应分别为 8 3IIR数字滤波器的设计 1 概述 为了保证转换后的H z 稳定且满足技术要求 对转换关系提出两点要求 1 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器 仍是因果稳定的 2 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响 s平面的虚轴映射z平面的单位圆 相应的频率之间成线性关系 用直接的方法进行模拟滤波器到数字滤波器的转换 由S平面到Z平面的映射关系为将H s 转换为H z 的直接方法为 2 脉冲响应不变法 设模拟滤波器的传输函数为Ha s 相应的单位冲激响应是ha t 设模拟滤波器Ha s 只有单阶极点 且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次 将Ha s 用部分分式表示 式中si为Ha s 的单阶极点 将Ha s 进行逆拉氏变换得到ha t 对ha t 进行等间隔采样 采样间隔为T 得到 对上式进行Z变换 得到数字滤波器的系统函数H z 已知模拟滤波器的传输函数Ha s 为用脉冲响应不变法将Ha s 转换成数字滤波器的系统函数H z 解首先将Ha s 写成部分分式 极点为 按照 6 3 4 式 并经过整理 得到设T 1s时用H1 z 表示 T 0 1s时用H2 z 表示 则 转换时 也可以直接按照 6 3 13 6 3 14 式进行转换 首先将Ha s 写成 6 3 13 式的形式 如极点 那么H z 的极点为 再按照 6 3 14 式 H z 为 s1 2 1 j 1 则 3 双线性变换法 正切变换实现频率压缩 式中T仍是采样间隔 当w1从 T经过0变化到 T时 则由 经过0变化到 实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的 T之间的转换 这样便有 再通过转换到z平面上 得到 下面分析模拟频率 和数字频率 之间的关系 图双线性变换法的映射关系 令s j z ej 并代入 6 4 3 式中 有 图6 4 2双线性变换法的频率变换关系 图6 4 3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 设 例6 4 1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6 4 4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器 解首先按照图6 4 4写出该滤波器的传输函数Ha s 为 利用脉冲响应不变法转换 数字滤波器的系统函数H1 z 为 利用双线性变换法转换 数字滤波器的系统函数H2 z 为 H1 z 和H2 z 的网络结构分别如图6 4 5 a b 所示 图6 4 5例6 4 1图 H1 z 和H2 z 的网络结构 a H1 z b H2 z 下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤 1 确定数字低通滤波器的技术指标 通带截止频率 p 通带衰减 p 阻带截止频率 s 阻带衰减 s 2 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 如果采用双线性变换法 边界频率的转换关系为 3 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 4 将模拟滤波器Ha s 从s平面转换到z平面 得到数字低通滤波器系统函数H z 8 4FIR数字滤波器的设计 1 FIR数字滤波器的性质 FIRDF系统单位响应为 FIR数字滤波器的系统函数 对于模拟理想低通滤波器 其频率特性具有线性性质 若FIR滤波器的满足对称条件 则其具有严格线性的相频特性 即相位特性是频率的线性函数 FIR数字滤波器在一定的条件下 具有严格线性的相频特性 系数表示任意频率信号通过该系统产生相同的时间延迟 FIR数字滤波器具有线性相位的充分必要条件是单位响应的序列必须以为对称中心 时间延迟为长度的一半 即 FIR数字滤波器的系统函数 判断某数字滤波器频率响应是否具有线性相位的方法 1 直接求出频率响应判断 2 利用FIRDF具有线性相位的充要条件判断 FIR数字滤波器还有另外一个重要的性质 即由于系统函数只有零极点 系统必然稳定且是因果系统 2 窗函数法 设希望设计的滤波器传输函数为 是与其对应的单位脉冲响应 因此 1 由 时延 设计过程为 2 截断 窗函数的长度为 即单位响应的长度 则 3 时延 矩形窗对理想低通幅度特性的影响 通过以上分析可知 对加矩形窗处理后 和原理想低通差别有以下两点 1 在理想特性不连续点 c附近形成过渡带 过渡带的宽度 近似等于主瓣宽度 即4 N 2 通带内增加了波动 最大的峰值在 c 2 N处 阻带内产生了余振 最大的负峰在 c 2 N处 在主瓣附近 可近似为 下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤 1 根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应 如果给出待求滤波器的频响为 那么单位取样响应用下式求出 根据频率采样定理 hM k 与hd k 应满足如下关系 例如 理想低通滤波器如 7 2 1 式所示 求出单位取样响应hd n 如 7 2 2 式 重写如下 2 根据对过渡带及阻带衰减的要求 选择窗函数的形式 并估计窗口长度N 设待求滤波器的过渡带用 表示 它近似等于窗函数主瓣宽度 3 计算滤波器的单位取样响应 4 验算技术指标是否满足要求 设计出的滤波器频率响应用下式计算 3 频域取样法 窗函数法设计滤波器是从时域出发 频域取样法时从频域出发 直接对理想滤波器的频域特性进行等间隔采样 然后求出相应的数字滤波器的系统函数 即为给定的系统频率特性的设计指标样本 在一个周期内对理想滤波器的频率特性作N点均匀抽样 得 对进行可得到相应得系统单位响应 实际滤波器得系统函数和频率特性为 所设计得滤波器得频率特性为 式中 式中 为内插函数 为权 且 由此 在采样点上 与理想值严格相等 在非采样点上 为N个以相应插值函数为权得采样值之和 内插函数具有线性相位特性 也具有线性相位 为使具有线性相位 关于中心为偶对称 即 线性相位表示系统得相频特性与频率成正比 设比例系数为 例7 3 1利用频率采样法设计线性相位低通滤波器 要求截止频率 c 2rad 采样点数N 33 选用h n h N 1 n 情况 解用理想低通作为逼近滤波器 对理想低通幅度特性采样情况如图7 3 2所示 将采样得到的 图7 3 2对理想低通进行采样 图7 3 3例7 3 1的幅度特性 图7 3 4例7 3 1 N 65 有两个过渡点幅度特性 8 5数字滤波器的结构 数字滤波器通常有硬件实现和软件实现两种 硬件实现是利用数字器件 如加法器 乘法器和延迟器等做成专用数字信号处理装置 软件实现通过计算机编程实现 从运算结构而言 软件实现和硬件实现一样 1 IIR数字滤波器的结构 N阶IIR数字滤波器的系统函数 IIRDF的结构 直接 型 2 FIR数字滤波器的结构 FIR数字滤波器的系统函数 3 IIR和FIR数字滤波器的比较 1 从性能上来说 IIR滤波器传输函数的极