数学物理方程Ch1.pdf

第一章 波动方程 第一章波动方程 1 1学习要求 1 理解弦振动方程的物理意义 定解条件的物理意义 2 理解波的左右传播 理解依赖区间 决定区域和影响区域的概念 掌握齐次化原理 3 理解波动方程分离变量法解的物理意义 掌握非齐次边界条件的齐次化方法 4 理解膜振动方程的物理意义 掌握球平均法和降维法 5 熟练掌握达郎贝尔公式和分离变量法的推导过程 会应用这两种方法求解定解问题 6 熟练和非齐次边界条件的齐次化方法 1 2习题选讲 1 方程的导出 定解条件 1 细杆 或弹簧 受某种外界原因而产生纵向振动 以u x t 表示静止时在x处的点在时刻t离开 原来位置的偏移 假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律 试证明u x t 满足方程 t x u t x E u x 其中 为杆的密度 E为杨氏模量 证明 如图建立坐标系 选取杆上一段微元 x x x 则微元两端的相对伸长分别为 u x x t 和 u x x x t 假设杆的横截面面积为S 则微元两端所受拉力分别为E x u x x t S x 和E x x u x x x t S x x 因此所受合力为E x x u x x x t S x x E x u x x t S x 且正向与坐标轴相同 图图图 1 1图示 设 x为微元重心 则重心处加速度为 2u t2 x t 由牛顿第二定律得 x S x x 2u t2 x t E x x S x x u x x x t E x S x u x x t x E x S x u x x t x 1 1 2 习题选讲 其中x x x x 约去 x并令 x 0 即得 t x S x u t x E x S x u x 当S x 为常数时 即为 t x u t x E u x 2 在杆纵向振动时 假设 1 端点固定 2 端点自由 3 端点固定在弹性支承上 试分别导出这三种 情况下所对应的边界条件 解 设杆的两个端点坐标分别为0和l 1 端点固定 此时两个端点无位移 即u 0 t u l t 0 2 端点自由 此时两个端点无约束 根据上题 拉力E x u x x t S 0 即 u x 0 t u x l t 0 3 端点固定在弹性支承上 此时端点所受外力与弹性支承的变形成比例 若支承的弹性系数为k 则支承对杆的左端点x 0处的作用力为E 0 u x 0 t S 且其正向与x轴方向相反 因此有 E 0 u x 0 t S ku 0 t 或写为 u x u fl fl fl fl x 0 0 其中 k ES 类似的 对x l端 有 u x u fl fl fl fl x l 0 3 试证 圆锥形枢轴的纵振动方程为 E x 1 x h 2 u x 1 x h 2 2u t2 其中h为圆锥的高 证明 此时S x S0 1 x h 2 其中S0为圆锥枢轴的底面积 根据第1题的推导 即得所证 图图图 1 2图示 4 绝对柔软而均匀的弦线有一端固定 在它自身重力的作用下 此线处于铅垂的平衡位置 试导出 此线的微小横振动方程 2 第一章 波动方程 解 根据弦的微小横振动方程 有 2u t2 x T x u x 其中T x 为弦的内部张力 在本题中 T x g l x 故有 2u t2 g x l x u x 5 一柔软均匀的细弦 一端固定 另一端是弹性支承 设该弦在阻力与速度成正比的介质中作微小 的横振动 试写出弦的位移所满足的定解问题 解 此时所受外力为阻力F x k u t 因而有 T 2u t2 2u x2 k u t 假设固定端为x 0 有u 0 t 0 对于弹性支承端x l 有 u x u fl fl fl fl x l 0 6 若F G 均为其变元的二次连续可导函数 验证F x at G x at 均满足弦振动方程 1 11 解 参见第二节 7 验证u x y t 1 pt2 x2 y2 在锥t2 x2 y2 0中满足波动方程 2u t2 2u x2 2u y2 解 显然 u t t t2 x2 y2 3 2 2u t2 3t2 t2 x2 y2 5 2 t2 x2 y2 3 2 类似的 2u x2 3x2 t2 x2 y2 5 2 t2 x2 y2 3 2 2u y2 3y2 t2 x2 y2 5 2 t2 x2 y2 3 2 代入即得所证 2 达朗贝尔公式 波的传播 1 证明方程 x 1 x h 2 u x 1 a2 1 x h 2 2u t2 的通解可以写成 u x t F x at G x at h x 其中h 0为常数 F G为任意的具有二阶连续导数的单变量函数 并由此求解它的初值问题 t 0 v h x x v t h x x 解 1 令v x t h x u x t 则v x t 满足方程 2v t2 a2 2v x2 3 1 2 习题选讲 因此 根据达朗贝尔公式 v x t 的通解可写为v x t F x at G x at 从而 u x t F x at G x at h x 2 根据上述变换 v x t 所满足的初始条件为 t 0 v h x x v t h x x 因此 v x t 1 2 h x at x at h x at x at 1 2a Z x at x at h d 从而 u x t 1 2 h x h x at x at h x at x at 1 a Z x at x at h d 2 问初始条件 x 与 x 满足怎样的条件时 齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成 解 由达朗贝尔公式的推导可知 G x x 2 1 2a Z x x0 d C 而左传播波由G x at 构成 要使只有右传播波 则应有G x 常数 即G0 x 0 所以所满足的 约束条件为 a 0 x x 0 3 利用传播波法 求解波动方程的古沙 Goursat 问题 2u t2 a2 2u x2 u x at 0 x u x at 0 x 0 0 解 方程的通解为u x t F x at G x at 利用定解条件 可得 u x at 0 F 0 G 2x x u x at 0 F 2x G 0 x 从而F x x 2 G 0 G x x 2 F 0 又因为u 0 0 0 0 于是F 0 G 0 0 0 因此 u x t F x at G x at x at 2 x at 2 0 4 对非齐次波动方程的初值问题 2 5 2 6 证明 当f x t 不变时 1 如果初始条件在x轴的区间 x1 x2 上发生变化 那么对应的解在区间 x1 x2 的影响区域以外 不发生变化 2 在x轴区间 x1 x2 上所给的初始条件唯一地确定区间 x1 x2 的决定区域中解的数值 证明 1 根据非齐次问题解的表达式可知 影响区域为 x t t 0 x1 at 6 x 6 x2 at 如图所示 影响区域外的任何一点 x t 必满足x x2 at 其依赖区间与 x1 x2 完 全无关 因此 x1 x2 上初始条件的变化不会引起影响区域以外的任何一点的解的变化 4 第一章 波动方程 2 类似的 只要证明齐次方程若在 x1 x2 中给出 x 0 x 0 则在 x1 x2 的决定区域中任 一点 x t 上有u x t 0 事实上 对决定区域中任一点 x t 成立x1 at x x1以及x at 0 t 0 u t 0 x ut t 0 0 ux kut x 0 0 其中k为正常数 解 方程的通解为 u x t F x at G x at 当x at 0时 有 u x t 1 2 x at x at x at 当x at 0时 根据边界条件 有 ux kut x 0 1 ak F0 at 1 ak G0 at 0 从而可得 u x t 1 2 x at 1 ak 2 1 ak at x ak 1 ak 0 0 x at 6 求解初边值问题 utt uxx 0 0 t 1 u t 0 0 x x 0 ut t 0 1 x x 0 ut t kx x 其中 0 0 0 解 方程的通解为 u x t F x t G x t 5 1 2 习题选讲 当x t 0时 根据达朗贝尔公式的推导有 u x t 1 2 0 x t 0 x t 1 2 Z x t x t 1 d 当t x时 它应与达朗贝尔公式一致 即 F 0 G 2x 1 2 0 2x 0 0 1 2 Z 2x 0 1 d 当t kx时 根据边界条件 有 F 1 k x G 1 k x x 根据上是可以求得F和G 从而可得 u x t x t 1 k 1 2 0 x t 0 1 k 1 k x t 1 2 Z x t 1 k 1 k x t 1 d x t kx 7 求解下述边值问题 utt uxx 0 0 t f x u t x x u t f x x 其中 0 0 t f x 为由原点出发的 介于特征线x t与x t之间的光滑曲线 且对一 切x f0 x 6 1 解 方程的通解为 u x t F x t G x t 根据条件有 u t x F 0 G 2x x 解得 G x x 2 F 0 从而 u t f x F x f x G x f x F x f x x f x 2 F 0 x 令y x f x 由于f0 x 6 1 可以解得x h y 由此可得 F y h y h y y 2 F 0 代入通解可得 u x t x t 2 h x t x t 2 h x t 8 求解波动方程的初值问题 2u t2 2u x2 tsinx u t 0 0 u t fl fl fl fl t 0 sinx 解 根据非齐次初值问题解的表达式 有a 1 0 sinx f tsinx 代入可得 u x t 1 2 Z x t x t sin d 1 2 Z t 0 Z x t x t sin d d tsinx 6 第一章 波动方程 9 求解波动方程的初值问题 utt a2uxx tx 1 x2 2 u t 0 0 ut t 0 1 1 x2 解 根据非齐次初值问题解的表达式 有 0 1 1 x2 f 1 1 x2 代入可得 u x t 1 2a Z x at x at 1 1 2 d 1 2a Z t 0 Z x a t x a t 1 2 2 d d 1 8a3 4at arctan x ln 1 x t 2 1 x t 2 2 x at 2a2 arctan x t 2 x at 2a2 arctan x t 3 初边值问题的分离变量法 1 用分离变量法求下列问题的解 1 2u t2 a2 2u x2 u t 0 sin 3 x l u t fl fl fl fl t 0 x l x 0 x l u 0 t u l t 0 2 2u t2 a2 2u x2 0 u 0 t 0 u x 0 t 0 u x 0 h l x u t x 0 0 解 1 根据解的表达式有 Ak 2 l Z l 0 sin 3 l sin k l d 1 k 3 0 k 6 3 Bk 2 k a Z l 0 l sin k l d 8l3 2n 1 4 4a k 2n 1 0 k 2n n 1 2 3 从而 u x t cos 3 at l sin 3 x l 8l2 4a X n 1 1 2n 1 4 sin 2n 1 at l sin 2n 1 x l 2 此时有通解 u x t X n 1 Ancos n 1 2 at l Bnsin n 1 2 at l sin n 1 2 x l 7 1 2 习题选讲 其中 An 2 l Z l 0 h l sin n 1 2 l d 1 n 2h n 1 2 2 2 Bn 0 n 1 2 3 2 设弹簧一端固定 一端在外力作用下作周期振动 此时定解问题归结为 2u t2 a2 2u x2 u 0 t 0 u l t Asin t u x 0 u t x 0 0 求解此问题 解 令v u Ax l sin t 则v满足 2v t2 a2 2v x2 Ax l 2sin t v 0 t v l t 0 v x 0 0 vt x 0 A l x 设v1是对应于上述问题的齐次方程非齐次初始条件的解 v2是相应的非齐次方程齐次初始条件 的解 则v v1 v2 显然 v1 X n 1 Bnsin n at l sin n x l 其中 Bn 2A n 2 Z l 0 l sin n x l d 1 n 2A l n 2a 又有 v2 X n 1 Z t 0 Bn sin n a t l d sin n x l 其中 Bn 2 n a A 2 l sin Z l 0 sin n x l d 1 n 1 2A 2l n 2a 因此 Z t 0 Bn sin n a t l d 1 n2A 2l 2l2 n2 2a2 n2 2a n asin t lsin n at l n 6 l a 1 n 1 A 2l n2 2a 1 sin t tcos t n l a 最后得 u x t v1 v2 Ax l sin t 3 求弦振动方程 utt a2uxx 0 0 x 0 满足以下定解条件的解 1 u x 0 ux x l 0 u t 0 sin 3 2l x ut t 0 sin 5 2l x 8 第一章 波动方程 2 ux x 0 ux x l 0 u t 0 x ut t 0 0 解 1 此时有通解 u x t X n 1 Ancos n 1 2 at l Bnsin n 1 2 at l sin n 1 2 x l 其中 An 2 l Z l 0 sin 3 2l sin n 1 2 l d 1 n 1 0 n 6 1 Bn l n 1 2 a 2 l Z l 0 sin 5 2l sin n 1 2 l d 2l 5 a n 2 0 n 6 2 从而有 u x t cos 3 at 2l sin 3 x 2l 2l 5 a sin 5 at 2l sin 5 x 2l 2 此时有通解 u x t X n 0 Ancos n at l Bnsin n at l cos n x l 其中 A0 1 l Z l 0 d 1 l Z l 0 d l 2 An 2 l Z l 0 cos n l d 2 l Z l 0 cos n l d 2l 1 n 1 n2 2 n 6 0 Bn 0 4 用分离变量法求解初边值问题 utt a2uxx g 0 x 0 u x 0 ux x l 0 u t 0 0 ut t 0 sin x 2l 其中g为常数 解 令u v g 2a2x x 2l 则v满足方程 vtt a2vxx 0 0 x 0 v x 0 vx x l 0 v t 0 g 2a2x x 2l vt t 0 sin x 2l 方程的通解为 v x t X n 0 Ancos 2n 1 2l at Bnsin 2n 1 2l at sin 2n 1 2l x 其中 An 2 l Rl 0 sin 2n 1 2l d Bn 4 2n 1 a Rl 0 sin 2n 1 2l d 9 1 2 习题选讲 代入可得 An 16l2g 2n 1 3a2 3 B0 2l a Bn 0 因此 u x t 2l a sin at 2l sin x 2l g 2a2 x x 2l 16l2g a2 3 X n 0 1 2n 1 3 cos 2n 1 2l atsin 2n 1 2l x 5 用分离变量法求下面问题的解 2u t2 a2 2u x2 bsinhx u t 0 u t fl fl fl fl t 0 0 u x 0 u x l 0 解 根据非齐次方程的齐次化原理 可得 u x t X n 1 Z t 0 Bn sin n a t l d sin n x l 其中 Bn 2 n a Z l 0 bsinh sin n x l d 1 n 1 2blsinhl a l2 n2 2 与 无关而 Z t 0 sin n a t l d l n a 1 cos n at l 因此 u x t 2bl2sinhl a2 X n 1 1 n 1 n l2 n2 2 1 cos n at l sin n x l 6 用分离变量法求下面问题的解 2u t2 2b u t a2 2u x2 b 0 u x 0 u x l 0 u t 0 h l x u t fl fl fl fl t 0 0 解 设u x t X x T t 代入方程得 XT00 2bXT0 a2X00T 有 T00 a2T 2bT0 a2T X00 X 进一步得到特征值问题 X00 X 0 X 0 X l 0 以及 T00 2bT0 a2 T 0 10 第一章 波动方程 可得 Xn x Cnsin p nx n n l 2 以及 Tn t e bt Ancosh p b2 na2t Bnsinh p b2 na2t n bl a 根据初始条件 可以求得 An 2 l Z l 0 h l sin n x l d 1 n 1 2h n 以及 bAn p b2 na2Bn 0 n bl a 最后可得 u x t X n 1 Tn t Xn x 4 高维波动方程的柯西问题 1 利用泊松公式求解波动方程的柯西问题 1 utt a2 uxx uyy uzz u t 0 0 ut t 0 x2 yz 2 utt a2 uxx uyy uzz u t 0 x3 y2z ut t 0 0 解 1 根据泊松公式 利用球面坐标系可得 u x y z t 1 4 a2t Z 2 0 Z 0 x atsin cos 2 y atsin sin z atcos a2t2sin d d 化简得到 u x y z t 1 3 t 3yz a2t2 3x2 2 根据泊松公式 利用球面坐标系可得 u x y z t t 1 4 a2t Z 2 0 Z 0 x atsin cos 3 y atsin sin 2 z atcos a2t2sin d d 化简得到 u x y t a2t2z 3a2t2x x3 y2z 2 试用降维法导出弦振动方程的达朗贝尔公式 11 1 2 习题选讲 解 将u x t x x 视为三维空间中与y z无关的函数 由泊松公式可得 u x t t 1 4 a2t Z 2 0 Z 0 x atsin cos a2t2sin d d 1 4 a2t Z 2 0 Z 0 x atsin cos a2t2sin d d 化简即得所证 3 求解平面波动方程的柯西问题 utt a2 uxx uyy u t 0 x2 x y ut t 0 0 解 根据二维波动方程的泊松公式 可得 u r t 1 2 a t Z at 0 Z 2 0 x rcos 2 x rcos y rsin q at 2 r2 rd dr 化简得到 u x y t x2 x y a2t2 3x y 4 求二维波动方程的轴对称解 即二维波动方程的形如u u r t 的解 其中r px2 y2 解 二维轴对称波动方程可写为 utt a2 1 r r r u r 0 u t 0 r ut t 0 r 根据二维波动方程的泊松公式 可得轴对称解为 u r t 1 2 a t Z 2 0 Z at 0 p r2 2 2r cos q at 2 2 d d 1 2 a Z 2 0 Z at 0 p r2 2 2r cos q at 2 2 d d 5 求解下列柯西问题 utt a2 uxx uyy c2u u t 0 x y ut t 0 x y 解 令v x y z t u x y t ecz a 则v满足方程 vtt a2 v v t 0 x y ecz a vt t 0 x y ecz a 利用泊松公式即可求解 12 第一章 波动方程 6 试用齐次化原理导出平面非齐次波动方程 utt a2 uxx uyy f x y t 在齐次初始条件 u t 0 0 ut t 0 0 下的求解公式 解 根据齐次化原理 求解方程 vtt a2 vxx vyy v t 0 vt t f x y 根据泊松公式可得 v x y t 1 2 a Z a t 0 Z 2 0 f x rcos y rsin q a t 2 2 d d 从而 u x y t Z t 0 v x y t d 7 用降维法来求解上面的问题 略 8 解非齐次方程的柯西问题 utt uxx uyy uzz 2 y t u t 0 0 ut t 0 x2 yz 解 根据三维非齐次波动方程的泊松公式 可以得到 u 1 4 ZZ SM t 2 t dSM 1 4 ZZZ r6t 2 t r r dV 从而 u t x2 yz yt2 5 波的传播与衰减 1 试说明 对一维波动方程所描述的波的传播过程一般具有后效现象 解 根据达朗贝尔公式 由于初始速度作用 位移项包括 Z x at x at d 显然具有后效 2 试说明 对一维波动方程 即使初始资料具有紧支集 当t 时其柯西问题的解没有衰减性 解 根据达朗贝尔公式 由于初始位移向左右传播 不会产生衰减 13 1 2 习题选讲 3 设u为初始资料 及 具有紧支集的二维波动方程的解 试证明 对任意固定的 x0 y0 R2 成立 lim t u x0 y0 t 0 证明 6 能量不等式 波动方程解的唯一性和稳定性 1 对受摩擦力作用且具有固定端点的有界弦振动 满足方程 utt a2uxx cut 其中常数c 0 证明其能量是减少的 并由此证明方程 utt a2uxx cut f 的初边值问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性 证明 1 弦的能量是 E t 1 2 Z l 0 u2 t Tu2 x dx 2 Z l 0 u2 t a2u2 x dx 有 E0 t Z l 0 u tutt a2uxuxt dx Z l 0 ut u tt a2uxx dx Z l 0 a2 x uxut dx 因此 E0 t c Z l 0 u2 tdx 6 0 所以能量是减少的 2 唯一性 假设u1 u2为方程的解 则v u1 u2满足方程 vtt a2vxx cvt 从而能量减少 由于E 0 0 故E t 0 因此v 0 即u1 u2 稳定性 记 E0 t Z l 0 u2dx 则有能量不等式 E0 t etE0 0 AE 0 et 1 进一步可证关于初始条件及自由项的稳定性 2 证明函数f x t 在G 0 6 x 6 l 0 6 t 6 T作微小改变时 方程 2u t2 x k x u x q x u f x t 其中k x 0 q x 0和f x t 都是一些充分光滑的函数 具固定端点边界条件的初边值问题的 解在G内的改变也是微小的 证明 记 E t Z l 0 u