对传染病数学模型(Kermack.Mckendrick模型).pdf

生 物 数 学 学 报 2 0 0 4 1 9 2 1 8 0 1 8 4 J o ur na l o f Bi o ma t h e ma t i c s 对传染病数学模型 K e r ma c k Mc k e n d r i c k模型 施加控制的阈值分析 杨 光 东北大学 信息学院 张庆灵 辽宁 沈阳 1 1 0 0 0 4 摘 要 对传染病数学 模型 K e r m a c k Mc k e n d r i c k 模型 施加控制的闽值进行了 分析 得 出了传染病最终消除的隔离率条件 关键词 传染病 控制 阔值 中图分类号 0 1 7 5 1 0 2 9 MR 分类号 9 2 B 0 5 3 4 D 2 0 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 1 9 6 2 6 2 0 0 4 0 2 0 1 8 0 0 5 0 引 言 目 前全球爆发的非典型肺炎作为一种传染性极强的疫病 给人类带来了恐慌 危害 甚至 灾难 因此 如何对传染病实施有效控制倍受关注 在这种特定背景下 对传染病数学模型施 加有效控制的研究就显得尤为重要 1 对 S I R传染病数学模型的控制 我们知道K e r m a c k M c k e n d r i c k 模型的建立是基于以下三个基本假设 假设 A 假设所研究地区的人口的总数量是常数 不因时间变化而改变 我们把所研究地区的人口 分成三类 s类为易 感者类 类为染病者类 R类为消除者类 我们以s s t 和 R t 分别代表在时刻t 时在s类 类和R类中的 人数 这样假设A即 s t s t R t N c o n s t 假设B 设易感者由于受传染病的影响 其人数随时间而变化的变化率与当时易感者的 人数和当时染病者的人数之积成正比 假设 C 设从染病者类到消除者类的速度与当时染病者类的人数成正比 再假设 在所研究的时间区间内没有人口的自 然出生与死亡率 则我们即可得传染病的数 学模型 K e r m a c k Mc k e n d r i c k 模型 I 一 臼 1t 一 一 U I r s 一7 I 2 收稿日 期 2 0 0 3 0 5 1 4 作 者 简介 杨 光 1 9 6 4 一 收修改稿日 期 2 0 0 3 1 1 1 9 女 辽宁抚顺人 副教授 维普资讯 第2 期 杨 光等 对传染病致学模型 K e r m a c k Mc k e n d r i c k 模型 臆加控制的闭值分析 1 8 1 dR 3 d Z s t z t R t N 初值s o S o 0 0 I o 0 R o 0 其中参数 0 称为传染率 0 称为移除 率 P 去称为相对移 除率 不妨设N 1 即s z z R z 1 引理 1 1 2 如果 P 则当t 增加时 染病者的数量 z 增加到一定数量 后就单调减少趋于零 并 且 l i ra s t s 存在 它是下超越方程的唯一正根 xp z 0 从图1 中看出 如果初值 s 0 0 落在直线s P 的 左边 随z 增加 z 单调下降趋于零 也即流行病逐渐减 少最终消失 如果 S 0 P 则染病类的人数 z 先是逐渐 增加 直到s通过 P 染病者类的人数达到极大值后才开 始下降 而后逐渐趋于零 定理2 模型 1 3 当s 0 0 为定值 P S o 时 染病者的数量 z 所达到的最大值 为P 的减函数 证由 1 2 消去 d z 可得 d P c l 图 1 由方程 1 2 所确定的解曲线族 当 S S o 0 时 4 的解为 f n n S I j r S S a I a s 0 P P 因为 当 S P 时 z 为最大 此时 I n S o I o P P I n 0 所以 下d m a x 一 1 l n 导 1 ln 导 ap D O D O 显然当P S o 所以 U l m a x 0 从而 为P的减函数 就是说 随着P的增大 染病者的数量 z 所达到的最大值 m 减小 控制的目的就是 要提高 JD 从而降低 m 当P 0 则模型 1 2 变为 1 D 一 一 k s r 1 s k S 一 维普资讯 1 8 2 生物数学学报 第 1 9 卷 由 5 得 令 P 百 即 居 1 一 由引理 1 得 当 s 时 0 由此得出以下结论 I 一 J s n 定理3 控制系统 5 当居 1 一 时 染病者随着t 增加而减少 当z 趋 S0 于无穷时 传染病最终消除 当 居 0 z o 0 0 R 0 0 7 8 9 这里 为人口的出生率与自然死亡率 且 0 引理 4 记 s t t 是 7 9 的解 我们有 1 如果记 P 7 1 则 D s 0 S 1 0 1 是关于平衡点 1 i p 户 一1 f1 的一个渐近稳定的区域 2 如果P 1 则D是平衡点 1 0 的一个渐近稳定区域 这就是说当P 1 时 该 传染病将成为该地的地方病 这时 我们对该地方采取上述相同的隔离控制 那么 7 9 变为 C A 一 S一 一4 k S p S 一厂 一 后 s 7 1 0 n t 1 一s t 一 z s o S o 0 0 I o 0 R O 0 由 1 0 得 d S 1 后 s t t s 面 dI 1 一南 s 7 一 z 1 一 s z 一 z s o S o 0 0 I o 0 R O 0 由引理 2 得 当P 1 后 7 1 即后 1 一 时 此地方病将随着时间t 趋于无穷大时而消除 定 理5控 制系 统 9 当隔 离 率K满足后 1 一 上 丢 时 此 地 方 病 将随 着 时 间t 趋 于 p 无穷大时而消除 2 对 S I S 传染病数学模型的控制 对于得病后一般可以治愈 而且之后还可能重新受传染再次得病的传染过程 用S I S 模型 K c r m a c k m c k e n d r i c k 模型 来表示 为 维普资讯 1 8 4 生物数学学报 第 1 9 卷 d S 一 3 S I 1 r 面 dI s 一 1 r 1 2 S I N 其 中 和 r 为 正 常 数 为 传 染 率 r 为 平 均 染 病 周 期 假 设 无 出 生 率 与 死 亡 率 记 P 奔 引理 6 如果P N 则 D 1 0 s N 0 N 是关于平衡点 N 0 的一 个渐近稳定区域 如果P N时 N 0 为疾病消除平衡点 当P1 一 时 此地方病将随着时间z 趋于 无穷大时而消除 3 结论 非典型肺炎的出现使我们再一次清醒认识到 人类在发展 新发疾病也在不断出现 人类 与疾病的搏斗将永远没有止境 因而对传染病模型施加有效控制的各种方法也应运而生 本文 所研究的对传染病模型施加隔离控制 其目的就是要提高p 降低 m 从而有效地控制疫 情的蔓延 最终消除该传染病 但是隔离率必须满足一定条件 才能达到控制的目 的 否则将 无济于事 参考文献 1 K e r m a c k W 0 Mc K e n d r i c k A G A c o n t r i b u t i o n t o t h e m a t h e m a t ic a l t h e o r y o f e p i d e mi c s P r o c e e d i n g s o f t h e Ro y a l S o c i e t y o f L o n d o n A Ma t h e ma t i c a l a n d Ph y s i c a l S c i e n c e s 1 9 2 7 1 1 5 7 0 0 7 2 1 2 陈兰荪 陈键 非线性生物动力系统 M 北京 科学出 版社 1 9 9 3 1 1 卜1 2 4 3 3 张锦炎 常微分方程几何理论与分支问 题 M 北京 北京大学出版社 1 9 8 1 2 6 3 8 4 陈兰荪 数学生态模型与研究方法 M 北京 科学出版社 1 9 8 8 2 0 5 2 1 7 5 姜启源 数学模型 M 北京t 高等教育出版社 1 9 9 6 1 1 0 1 2 0 Th e Th r e s h o l d An a l y s i s o f Ep i d e mi c Mo d e l s W h i c h Ar e Co n t r o l l e d Y A N G Gu a n g Z H A N G Q i n g l i n g No r t h e a s t e r n Un i v e r s i t y S h e n y a n 9 L i a o n i n 9 1 1 0 0 0 4 Abs t r a c t Th i s p a p e r i s c o n c e r n e d wi t h t h e t h r e s h o l d o f e p i d e mi c mo d e l s