函数的周期和对称性.doc

专题：函数的周期性对称性1、周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。推广：若，则是周期函数，是它的一个周期； ，则周期为T；的周期为的周期为。2、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是特例：，则是以为周期的周期函数；（2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若，则得，所以函数的周期是（3）分式型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是特例：，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.（4）递推型：（或），则的周期T= 6a（联系数列）,则的周期T=5a；其中，则是以为周期的周期函数。3、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即，且，那么是周期函数，其中一个周期证明：得得函数是周期函数，且是一个周期。【注意：上述不一定是最小正周期。若题目所给两条对称轴、之间没有其他对称轴，则是最小正周期。具体可借助三角函数来进行分析。下同。】结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期证明：由 得 得函数是以为周期的函数。结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期证明： 推论1：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期推论2：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期推论3：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期推论4：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期【函数的奇偶性、对称性、周期性的代数特征有相仿之处，这三性都是有函数方程决定的，方程的不同特征决定了函数不同的性质，要注意其共性与个性。】【函数的奇偶性是函数对称性中的特殊情况，奇函数对称中心为（0,0），偶函数对称轴为y=0，带入结论1-3，可得推论1-4，所以学生在记忆时只需记住结论1-3即可，减少工作量】【同理，教师可示范性给出一个结论的证明过程，其余可让学生进行证明】典例精讲 一 利用周期性求值：例1、（）函数对于任意实数满足条件，若，则=_ _。例2、（）已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 ( B )A、1 B、0 C、1 D、2例3、（）已知奇函数满足的值为 。【提问：当所要求的值不在定义域中时，怎样通过变换将要求的函数值转化到已知解析式的这一段定义域中去？除了充分利用周期性外，还要注意题中的已知条件，如奇偶性、对称性等。】例4、 （）的定义域是，且,若求f(2008)的值。二 利用周期性求解析式：例5、（）已知是以2为周期的偶函数，且当时，.求在上的解析式。解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上 , 则 , ，是偶函数 解法2：（从图象入手也可解决，且较直观）如图：, .是偶函数时 又周期为2，时例6、（）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.（1）证明：；（2）求的解析式；（3）求在上的解析式.解：是以为周期的周期函数，且在上是奇函数，.当时，由题意可设，由得，.是奇函数，又知在上是一次函数，可设而，当时，从而时，故时，.当时，有，.当时，.【由以上两例可以看出，已知周期函数某个周期内的解析式，求另一个周期内的解析式，只要当成是函数图象的平移来做即可。】【由于函数的性质：奇偶性、对称性联系紧密，教师可引导学生在此回顾奇函数、偶函数如何求解对称区间的解析式这类问题】三 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合运用例1、（）已知是定义在上的函数，且，则（ C ）A. 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数 D. 周期为40的偶函数例2、（）定义域为的函数满足，且为偶函数，则（ C ）（A）是周期为4的周期函数 （B）是周期为8的周期函数（C）是周期为12的周期函数 （D）不是周期函数【熟记双对称函数的周期判断方法，如果学生对函数的对称性有所忘记，可在此回顾一下。】例3、（）定义在上的函数，给出下列四个命题：（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称（2）若则的图象关于点对称（3）若=，且，则的一个周期为2。（4）与的图象关于直线对称。其中正确命题的序号为 （2）、（3） 。【本题中学生容易错选（4），究其原因，是没有分清是一个函数自身的对称，还是两个函数之间的对称，审题不清】例4、（）定义在上的函数满足，且函数为奇函数给出以下3个命题：函数的周期是6；函数的图象关于点对称；函数的图象关于轴对称，其中，真命题的个数是（ A ）A3B2C1D0例5、（）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解：由，得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由.【本题的关键是要说明在一个周期内函数只有两个根，也就是函数在7，10内是无根的】例6 、（）若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.求的周期；证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;讨论在上的单调性；解: 由已知，故周期.设是图象上任意一点,则,且关于点对称的点为.P关于直线对称的点为,点在图象上,图象关于点对称.又是奇函数, 点在图象上,图象关于直线对称.设，则，在上递增, (*)又 , .所以： ，在上是减函数.例7、（）已知函数对任意实数均有，且存在非零常数（1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明；（3）求证是周期函数，并求出的一个周期. 【本题第3问关键是如何利用这个条件，在等式右边凑出】课堂检测1、（）已知函数是以为周期的偶函数，且当时，则的值为（ ） 2、（）设偶函数对任意，都有，且当时，则（ D ） 3、（）设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，当时，则（ A ） 4、（）已知函数为上的奇函数，且满足，当时，则等于( B ) 5、（）设是定义在上的奇函数，且5，则_，_答：5，56、（）设是定义在上的偶函数，且满足，当0x1，2x，则_答：17、（）设是定义在上的奇函数，且， 2，则_答：28、（）设是定义域为R的函数，且，又，则=(答：)9、（）设f(x)，又记f1(x)f(x)，fk1(x)ffk(x)，k1,2，则f2009(x)(D)A Bx C. D.【本题属于迭代周期型，也是常出现的题】10、（）已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_-8_.11、（）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2009上的所有x的个数解析：(1)证明 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)f(x)x，即f(x) x(1x0)故f(x) x(1x1)又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)，又f(x2)f(2x)f(x)2)f(x)f(x)，f(x)(x2)，f(x)(x2)(1x3) f(x). 由f(x)，解得x1.f(x)是以4为周期的周期函数故f(x)的所有x4n1 (nZ)令04n12009，则n.又nZ，1n502 (nZ)，在0,2009上共有502个x使f(x)课后习题1若函数的图像与的图像关于直线对称，则 12设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，则函数在 上的解析式是 【答案】3（2013浦东二模理17）已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ） 【答案】B4（2013浦东二模文17）已知以为周期的函数其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ） 【答案】C新定义型5我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数（1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称求证：函数是偶函数；（2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式；解：因为关于原点对称， 又函数的图像关于直线对称，所以 又， 用代替得由可知，即函数是偶函数；（2）当时，； 6、已知函数，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为（1）试判断函数是否为上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；（2）已知函数是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；解（1），即 ，即 即 对一切恒成立，故 是上的周期为1的2级类增周期函数（2）由题意可知： ， 即 对一切恒成立， ， ，令，则，在上单调递增，所以， 所以. 利用周期，奇偶性，对称性求解析式7 定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，（1）判断并证明在上的单调性，并求在上的解析式；（2）当为何值时，关于的方程在上有实数解？解：（1）在上为减函数。 分证明如下：设则=在上为减函数。 4分当时，又为奇函数， 6分当时，由 7分有最小正周期4，9分综上， 10分（2）周期为4的周期函数，关于方程在上有实数解的的范围即为求函数在上的值域 11分当时由（1）知，在上为减函数，当时， 当时， 的值域为 时方程方程在上有实数解 8已知函数若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反