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第十九章1、光的衍射现象：衍射和干涉一样，也是波动的重要特征之一。波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象称为波的衍射现象。由于光的波长很短，在一般的光学实验中，衍射现象不明显。但当障碍物的大小与光的波长可比拟（ 时，全部明纹靠向中央明纹，无法分辨。所以说：几何光学是波动光学当 a 0 时的极限情况。 菲涅耳半波带法是一个近似的理论。它无法计算各次极大的相对光强，也无法解释次极大位置稍向主极大方向靠拢的事实（见下图）。 研究单缝衍射的更为精确的方法是振幅矢量法。视频：单缝衍射例题 19-2-1例题 19-2-22、振幅矢量法（矢量叠加法）：将单缝处波面分为N个等宽波带（当N很大时，每条波带非常窄）。各波带到达屏上同一点时的振幅Ai近似相等，可以都取为A（见左下图）。 相邻波带间相位差：而A、B间相位差：所有波带发出的光波到达屏上P点时所引起的合振动为N个同频率、同振幅、相位依次相差的振动的合成（见右上图）。由图可见所以上式中令则讨论： 主极大（中央明纹中心）：当 = 0时， u = 0，而。此时，每一波带在屏幕上P0点产生的振动相位相同（ = 0），P0点光矢量的总振幅和总光强为（见下图左） 极小（暗纹中心）：当时，（见上图中）此时，即，与半波带法结果一致。 次极大（其他明纹中心）：屏上任意点振幅 ，光强 令：得：当时，光强 I 取极大值。由图解法（见下图）： 或若取，则一级次极大光强。可见，由振幅矢量法得到的结果与实验完全相符。例题 19-2-31、多缝夫朗和费衍射的光强分布：双缝干涉实验中，为了使干涉条纹分得更开，双缝间距必需很小，因而双缝很窄，干涉条纹很暗。为了提高条纹亮度，可采用等宽、等间距的多缝来代替双缝。设每条透光缝的宽度为a，缝与缝之间档光部分的宽度为b。则d = a + b为相邻两条缝之间的距离（见下图）。对每一条单缝，由19-1节的讨论可知：设a和I为单缝衍射的振幅和光强，则：式中，a0和I0为衍射角等于零时的振幅和光强。由于以相同的衍射角出射的光线经透镜会聚在屏幕的同一位置，因此所有单缝衍射条纹在屏上完全重合。同时各条缝之间还会产生干涉现象。所以：多缝夫朗和费衍射的光强分布为单缝衍射和多缝干涉的总效果。下面讨论多缝夫朗和费衍射的光强分布：(以总缝数 N = 6为例 )相邻狭缝间以衍射角出射的平行光之间的光程差和相位差分别为：由振幅矢量法（见下图），每条单缝和6条单缝在光屏上产生的光振动的振幅分别为令，则：上式中称为单缝衍射因子；称为缝间干涉因子。其中，2、缝数N对多缝干涉条纹的影响：采用多缝衍射可使条纹细而明亮。请看下面的讨论： 主极大（明条纹中心）：当即时：，所以，或此时缝间干涉因子最大，所以满足下式的位置为多缝干涉的主极大，且光强为每条单缝在该处光强的 N2 倍！即如：双缝：I = 4 I； 6缝：I = 36 I 。 极小（暗条纹中心）：当：，即时，。但若即时，此时缝间干涉因子：，即满足以上条件处出现极小。又因为：，所以满足 处为暗条纹位置，即相邻两个主极大之间存在N1个极小。 次极大：在N1个极小之间还有N2个次极大，但光强很小。由上讨论可知：当相邻缝间距d 一定时，多缝干涉和双缝干涉明纹间隔都是一样的（与N无关）。但随着缝数的增加，明条纹变得越细、越亮，而明条纹之间是大片暗区（见下图）。3、单缝衍射因子对多缝干涉的影响、缺级：当 = k （k = 1, 2, 3, ) 时，单缝衍射因子即各单缝衍射暗纹满足而多缝干涉明纹满足 所以当（其中m为整数）时，多缝干涉的k级极大处正好是单缝衍射的k级极小处，所以m的整倍数干涉明条纹将不出现，称为缺级现象（见下图）。例题 19-3-11、光栅方程：大量平行、等宽、等距狭缝排列起来形成的光学元件称为光栅。光栅可用于光谱分析、测量光的波长和测量光的强度分布等。实用光栅每毫米内有几十至上千条刻痕。一块100100 mm2的光栅可有60000至 120000 条刻痕。光栅通常分为透射式光栅和反射式光栅，透射式光栅是在玻璃片上刻出大量平行刻痕制成，刻痕处为不透光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一条狭缝。一般实验室内多采用透射式光栅。反射式光栅是在镀有金属层的表面刻出许多平行刻痕，两刻痕间的光滑金属面可以反射光，相当于狭缝。光栅上相邻两条刻痕间的距离称为光栅常数：d = a + b，其中a和b分别为透光缝和挡光部分的宽度。由19-3节关于多缝衍射的讨论可知，光栅衍射明条纹的衍射角满足称为光栅方程。当光栅常数d保持不变时，不同刻痕数的光栅的衍射条纹见下图。由图可见，因为光栅常数不变，所以衍射明条纹的位置不变，但刻痕数越多则衍射条纹越细。图中也可看到单缝衍射暗条纹引起的缺级现象。视频：光栅衍射2、光栅光谱： v:shapes=_x0000_s1037单色光经过光栅衍射后形成各级细而明亮的明条纹，从而可以精确测量入射光的波长。如果用复色光照射光栅，由于明条纹衍射角与入射光波长有关，所以复色光入射时，除零级条纹外，其余各级条纹都随波长不同而散开，形成光栅光谱。各种元素或化合物都有其特定的光谱结构，测定光谱中各谱线的波长和相对强度，可以确定物质的成分及其含量。这种分析方法称为光谱分析，在科研和工程上有着广泛的应用。下面以一个例子说明复色光入射于光栅时，其衍射光谱的结构。设以白光（波长从400nm到760nm）垂直入射于一个每厘米有4000条刻线的光栅。则该光栅的光栅常数为由光栅方程，得其各级明条纹的衍射角为因为采用复色光入射，所以各级光谱的紫端和红端的衍射角不同，列表如下由表中数据，得到各级光谱的分布如下图：从图中可见，除中央条纹为白色以外，各级条纹由紫到红向外散开，形成彩色光谱。并且级数越大光谱散得越开。从2级光谱开始，各级光谱互相重叠。3、光栅的分辨本领：光栅的分辨本领是指光栅能把波长很接近的两条光谱线（1、2）分辨清楚的本领，是表征光栅性能的主要技术指标。光栅的分辨本领与两条入射光线的平均波长和谱线宽度有关。瑞利分辨判据：当一条谱线的中央主极大与另一谱线的一级极小重合（即 = 1 ）时，则认为两条谱线恰能被分辨（见下图）。可以证明：光栅的分辨本领可用下式表示式中：为入射光线的平均波长；为两谱线的波长间隔。由上式可见： 谱线级数k越大，则光栅的分辨本领R越大（原因：光谱线分得更开）； 光栅刻线数N越大，则光栅的分辨本领R越大（原因：条纹更细）。例题 19-4-1例题 19-4-21、圆孔的夫朗和费衍射：根据几何光学，平行光经过球面凸透镜后将会聚于透镜焦平面上一点。但实际上，由于光的波动性，平行光经过小圆孔后也会产生衍射现象，称为圆孔的夫朗和费衍射。圆孔的夫朗和费衍射图样为一个圆形的亮斑（称为爱里斑），在爱里斑的周围还有一组明暗相间的同心圆环。由于光学仪器中所用的孔径光阑、透镜的边框等都相当于一个透光的圆孔，所以圆孔的夫朗和费衍射对光学系统的成像质量有直接影响。爱里斑光强约占总光强的84% 。而其1级暗环的角宽度（即爱里斑半角宽度）满足式中R、D为小圆孔的半径和直径。2、光学仪器的分辨本领：由于圆孔衍射现象的限制，光学仪器的分辨能力有一个最高的极限。下面通过光学仪器分辨本领的讨论，说明为什么有一个分辨极限，并给出分辨极限的大小。当两个物点S1、S2很靠近时（设S1、S2光强相等），两个爱里斑将互相重叠而无法分辨。 对一个光学仪器来说，若一个点光源产生的爱里斑的中央刚好与另一个点光源产生的爱里斑瑞的1级暗环相重合，这时两个爱里斑重合部分的光强约为单个爱里斑中央光强的80%左右，一般人眼刚好能分辨出这是两个光点的像。因此，满足上述条件的两个点光源恰好能被该光学仪器所分辨。这一条件称为瑞利分辨判据。（见下图）恰能分辨时两光源发出的光线对透镜光心的夹角 称为最小分辨角，用表示。由上讨论可知，最小分辨角等于爱里斑的半角宽度1：尤其当1 0时，最小分辨角又可近似表示为最小分辨角的倒数称为光学系统的分辨本领（或称分辨率），用R表示：讨论： 增大透镜的直径D可提高镜头的分辨率。光学天文望远镜的镜头孔径可达数米！ 设r、d为爱里斑的半径和直径，则：即：称为镜头的相对孔径（越大越好）。如照相机镜头上所标示的字样，即表示镜头的焦距，而镜头的孔径。 由分辨本领的定义，要提高光学仪器的分辨率，除了增大镜头孔径外，还可通过减小入射光波长来实现。近代物理指出：电子也有波动性。高能电子的波长可短至101 102nm 。所以电子显微镜的最小分辨距离可达几个nm，放大率可达几万倍乃至几百万倍，远高于光学显微镜。视频：光学仪器的分辨率x射线（又称伦琴射线）是伦琴在1895年发现的，它是由高能电子撞击金属而产生的波长在0.410的电磁波。因为x射线的波长比可见光波长短很多，所以用普通光学光栅无法观察到x射线的衍射。如：设x射线波长 = 0.1nm，光学光栅的光栅常数d = 3000nm，则衍射条纹的半角宽度仅为1=3.33104rad。1912年德国物理学家劳厄想到，晶体是由一组有规则排列的微粒（如立方系的NaCl晶体）组成的，原子间距1，可作为x射线的天然三维衍射光栅。劳厄的实验装置和实验结果如下图所示，其衍射图样称为劳厄斑。x射线入射于晶体时，每一原子均可视为次波源而发生散射。而同层或不同层原子的散射波都可以发生干涉。1、同层晶面各原子散射波的干涉：考虑平行x射线以掠射角入射并以散射角散射的x射线。相邻两原子间散射光的光程差为当L = k（k = 0，1，2，）时，散射波干涉加强。但仅当k = 0时，散射波最强。所以，每一原子层对入射x光就