信号、系统与数字信号处理 第7章 数字滤波器的结构与状态变量分析法.ppt

机上可执行的算法 实现数字滤波器时 必须把输入 输出关系转变成计算 义为数字滤波器 特别的专用硬件芯片组成的线性非移变系统 都可以定 利用通用计算机实现的线性非移变系统的特定软件 或 7 1引言 第七章数字滤波器的结构与状态变量分析法 表示出来 可以一目了然的看到系统运算的步骤 加法 算法不同 对应不同运算结构的实现 出关系可以用若干不同的运算结构实现 乘法的次数 存储单元的多少 当然相同的输入 输 或信号流图的方法表示 就可以把数字网络的运算结构 有加法器 乘法器 延时器等 对基本运算单元用框图 算法实际是由一组基本运算单元组成的 基本运算单元 式中 3 频域 一般输入x n 与输出y n 可以有几种表示方法 1 差分方程 2 时域卷积 4 复频域 式中 是系统函数 给定系统函数 可以用若干不同的运算结构实现 最常用描述离散系统的数学形式是给定系统函数 运算结构 网络结构表示具体的算法 因此网络结构实际表示的是 所以研究实现信号处理的算法是很重要的问题 本章用 以上是同一系统不同的算法结构 不同的算法直接影响 系统运算误差 运算速度以及系统的复杂程度与成本等 例 在第三章已知信号流图是用节点与有向支路描述系统 下面介绍流图的有关术语 7 2用信号流图表示系统结构 1 节点 表示为 网络中对所有节点编号 节点变量 可以是连续的 也可以是离散的 一般指两个以上支路的汇合点 节点上的物理量称为 3 输入节点 源节点 到节点 一条有向通路 称为支路 2 基本支路 支路的增益为常数或 2 支路 基本支路 1 从节点 的支路 而终止于节点 表示起始于节点 只有输出没有输入的节点 它给网络中提供输入信号 输入x n 的节点 基本信号流图 若干不同算法的流图与之对应 从基本运算考虑 定义 不同的信号流图代表不同的运算方法 一个系统可以有 算算法 所以我们用信号流图表示网络结构 由流图可以表示系统的网络结构 直观的看到系统的运 输出y n 是吸收节点或输出节点 只有输入没有输出的节点 它只从网络中提取输出信号 4 吸收节点 输出节点 时器 加法器标量乘法器 连续时间系统的结构在第 散系统的基本运算单元框图与流图表示如图7 1所示 三章有所介绍 本节只讨论离散时间系统的结构 离 量乘法器 相应的离散时间系统的基本运算单元是延 由流图可以表示系统的结构 直观的看到系统的运算 所以本节介绍用信号流图表示系统结构的方法 已知 连续时间系统的基本运算单元是积分器 加法器 标 1 基本运算单元 延时器 乘法器 x n x n x n x n 各种系统流图虽然算法各异 但都要用到基本运算单元 首先从基本运算单元流图出发 给出基本信号流图定义 数或 1 信号流图中所有支路都是基本的 即支路的增益是常 由基本信号流图 经过一定的运算可以得到系统函数 图 由它不能得出一种具体的算法 2 基本流图 满足以下条件的是基本信号流图 2 流图的环路中必须存在延迟支路 3 节点与支路的数目有限 如图7 2所示 图 a 是基本流图 图 b 不是基本流 图 a 图 b x n y n x n y n 为 例7 1求如图7 2 a 所示信号流图的系统函数 解由图 a 可列出其节点方程 对所有节点方程两边取z变换 可以得到节点z变换方程 代入 以及 由 当流图结构复杂时 可以用梅森公式求系统函数 从系统函数看 IIR系统的系统函数为 有限冲激响应系统 简称FIR系统 有 所有 3 系统分类 数字系统可以分为无限冲激响应系统 简称IIR系统与 FIR系统中 IIR系统的冲激响应h n 是有无穷多项的 而FIR系统对 从差分方程看 IIR系统的差分方程 FIR系统的差分方程 应的单位脉冲响应h n 只有有限项 IIR系统因为与过去的输出有关 所以网络结构有反馈 支路也称为递归结构 而FIR系统质与激励有关 因此 没有反馈支路 也称为非递归结构 例7 2已知某离散系统的差分方程为 判断是IIR系统还是FIR系统 其单位脉冲响应 有无穷多项 系统 从网络结构看 解 母表示为多项式形式 即 结构使系统实现的成本 运算速度 稳定性等不同 7 3IIR系统的基本网络结构 1 IIR系统的直接形式 一个线性非移变系统可以有多种网络结构 不同的网络 先实现分子 再实现分母 先实现分母 再实现分子 先实现分子 再实现分母如图7 3所示 x n y n 先实现分母 再实现分子如图7 4所示 两个延时支路的输入相同 可合并为直接 型 x n y n 的直接 型如图7 5所示 直接 型是最少延迟网络 也称典范形式 正准型 x n y n 例7 3已知数字滤波器的系统函数 直接 型结构特点 系统调整不方便 受有限字长影响大 具有最小延迟数 需要 画出该滤波器的直接型结构 解 直接型结构如图7 6所示 5 4 3 4 1 8 2 11 4 8 x n y n IIR系统的级联形式实现方法是将 分解为零 极点 形式 如果 成对的 的分子 分母多项式有复数根 一定是共轭 均是实数 所以 零 极点有可能是复数 由于 零点 极点 2 级联形式 表示对 把每对共轭因子合并 可构成一个实系数的二阶节 实 节 这样 取整数 例 则 系数单根也可以看成是复数的特例 也两两合并为二阶 每个二阶节都用最少延迟结构实现 可以得到具有最少 延迟的级联结构的一般形式 如图7 7所示 x n y n 系统的级联结构如图7 8所示 解 画出系统的级联结构 例7 4已知系统传递函数 0 5 0 9 0 8 0 8 1 2 1 4 3 x n x n 3 系统的另一种级联结构如图7 9所示 或 x n x n 例7 5已知系统传递函数 画出系统的级联结构 解 级联结构如图7 10所示 3 0 5 0 8 1 2 0 8 1 4 x n y n IIR系统的级联形式特点 调整比较方便 调整第k节的系数只调整第k对 经过优选可选出有限字长影响小的结构 可用不同的搭配关系 基本节顺序还可以改变 的零 极点 3 并联形式 IIR系统的并联形式实现先将 若将实数极点也两两合并 M N时的并联结构如图7 11所示 展开为部分分式 实数单极点 共轭极点 M N时没有 C x n y n 系统的并联结构如图7 12所示 例7 6已知系统传递函数 画出系统的并联结构 解 16 1 4 8 1 2 20 16 IIR系统的并联形式特点 每节的字长效应不会互相影响 有限字长影响小 不可调 调整比较方便 可以单独调整第k节极点 零点 x n y n 7 4FIR系统的基本结构 FIR系统的单位脉冲响应h n 是时宽为N的有限长序列 相应的FIR系统函数为 其特点是系统函数无极点 因此它的网络结构一般没有 反馈支路 1 直接形式 横截型 卷积型 FIR系统的差分方程 由上式可以直接画出FIR系统的直接结构图如图7 13所示 x n y n 图7 14是图7 13的转置网络 是另一种FIR系统的直接 结构形式 x n y n FIR级联形式实现方法是将H z 的共轭零点或两个单 零点组成基本二阶节 H z 为基本二阶节的子系统之 积 即 上式得到如图7 15所示FIR系统的级联结构 2 FIR级联形式 x n y n 直接型与级联型结构如图7 16所示 例7 7 已知系统传递函数 解 画出其直接型与级联型结构 0 96 2 2 8 1 5 0 6 3 2 1 6 0 5 对零点 在需要控制零点时可以采用 但它所需要的系 数 FIR级联型结构的特点是每一个基本二阶节可以控制一 乘法器 要比直接形式的多 x n x n y n y n 线性相位FIR系统是非常有用的一类数字滤波器 本节 只涉及它们的系统结构 其它特性将在第九章中讨论 线性相位FIR系统条件是单位脉冲响应h n 为实序列 或 7 9 3 线性相位FIR系统的结构形式 因为N可以是偶或奇数点 与 7 9 式的条件组合后 可以分为四类滤波器 即 第一类h n h N 1 n N为奇数 第二类h n h N 1 n N为偶数 第三类h n h N 1 n N为奇数 第四类h n h N 1 n N为偶数 分别讨论这四类线性相位FIR系统的结构 例N 7h n 的示意图如图7 17所示 为中点 将h n 分为前后两部分 则系统函数 N为奇数 由图可见第一类h n 对 N 1 2偶对称 可以 N 1 2 1 h n h N 1 n 则 令中项 即 所以 由上式得到第一类线性相位FIR系统的结构如图7 18所 示 x n y n 例 h n 的示意图如图7 19所示 为中点 将h n 分为前后两部分 则系统函数 h n 由图可见第二类h n 对 N 1 2偶对称 可以 N 1 2 N为偶数 2 h n h N 1 n 令后一项 则 即 所以 由上式得到第二类线性相位FIR系统的结构如图7 20所 示 x n y n 例N 7h n 的示意图如图7 21所示 为中点 将h n 分为前后两部分 则系统函数 由图可见第三类h n 对 N 1 2奇对称 可以 N 1 2 N为奇数 3 h n h N 1 n 令中项 则 即 所以 由上式得到第三类线性相位FIR系统的结构如图7 22所 示 x n y n 012 345 例N 6h n 的示意图如图7 23所示 为中点 将h n 分为前后两部分 则系统函数 由图可见第四类h n 对 N 1 2奇对称 可以 N 1 2 h n N为偶数 4 h n h N 1 n 所以 即 则 令后一项 由上式得到第四类线性相位FIR系统的结构如图7 24所 示 x n y n FIR IIR 4 频率取样结构 可表示为 等间隔取样表示 因此对一个FIR滤波器 其传递函数 一个有限时宽的序列 其z变换可以用单位圆上的N个 式中 频率取样值 频率取样结构包括两部分 FIR系统 有N个零点 频响是梳状的 例N 6 0 2 例N 6频响模频特性如图7 25所示 7 26所示 IIR系统 是N个IIR系统的并联 极点 抵消 所以总系统是FIR系统 频率取样结构如图 FIR与IIR系统级联 其在单位圆上的零 极点相互 改变 就改变了系统频响 所以调整方便 1 系统在频率采样点 上的响应等于 而 2 只要 的长度 相同 不论频响如何 其梳 妆滤波器 FIR部分 与 个一阶网络 IIR部分 的 结构相同 便于标准化 模块化 1 频率取样结构的优点 系统不稳定 因为这种FIR结构的特点是由在单位圆上的零点抵消 在单位圆上的全部极点 但在实际实现时 计算机不 论软件 硬件都不是无限精度的 会有计算误差 这 2 频率取样结构存在的问题 数全为实数 相乘系数均为复数 尤其硬件实现困难 希望系 些误差的存在就会使零 极点不一定全部抵消 导致 稳定性差 1 0 采样 如取 对问题 的解决办法是采用修正采样 如图7 27所示 即在半径为r 略小于1 的圆上对 r 0 99 这就保证了即使有极点不能被抵消 也不会 影响系统的稳定性 现所有的 则 幅角相反 即模相等 或 有 它的DFT满足圆周共轭对称性 为实序列时 利用 对称性 因为当 对 的解决方法 并且还有 二节阶网络Hk z 所以我们可以将第k项与第N k项两两合并为一个基本 其中 Hk z 的结构如图7 28所示 012345 当N为偶数时 对应于k 0及k N 2 例N 6 除了共轭极点外 H z 还有单极点 H k 对应的一阶Hk z 为如图7 29所示 当N为奇数时 无k N 2项 这时 如图7 30所示N为偶数的情况 x n y n 器 便于时分复用 大大减少 结构复杂 所需存储器 乘法器多 若大多数采样 频率取样特点 结构每部分规范化 改变系数即可构成不同的滤波 值为零时 如窄带滤波器 所需存储器 乘法器 7 5状态变量分析法 由差分方程 系统函数以及单位脉冲响应等描述系统的 属于端口分析法 也称输入输出分析法 这类方法把系 统看成黑盒子 只涉及系统的输入输出关系 研究的是 系统的外部特性 随着系统理论的发展 一方面人们不 再满足只对输出变化的了解 对系统内部某些变量的变 化规律也感兴趣 另一方面 实际应用时还会遇到多输入多输出系统的 情况 这时仅用前面所介绍的输入输出分析法就不够 了 所以要引入另一种系统分析方法即状态变量分析 法 利用矩阵 线性代数等数学工具对系统进行分析 研究 输入输出分析法与状态变量分析法都是分析研究系统特性 的基本方法 只是分析的角度不同 一个是从系统外部 补充 而另一个则是从系统内部进行分析研究 两种方法互为 状态变量分析有状态节点变量 简称状态变量 还有两 个基本方程 即状态方程与输出方程 状态方程把系统 内部特定的节点 状态 变量与输入联系起来 而输出 方程则把输出信号与状态节点变量联系起来 1 状态方程与输出方程的建立 样有 一个网络有许多节点 但不都是状态变量节点 状态变 量是一组已知输入和初始状态 由此可以计算出输出信 号及系统内部任意节点变量值的最少节点变量 离散系 统一般选用延时支路的输出节点变量作为状态变量 这 个延时支路的 阶离散系统 就有 个状态变 量 1 由流图建立状态方程与输出方程 描述一般 阶离散系统输入 与输出 关系的 差分方程为 对应的 阶离散系统的系统函数为 上式 的流图形式如图7 31所示 由流图建立状态方程与输出方程的方法 1 按顺序在 支路输出端建立状态变量 支路输入端为 2 列出延时支路输入节点 与状态变量 和输入 的关系 并用矩阵方程表示 3 列出输出信号 与状态变量 和输入 的关系 并用矩阵方程表示 用上述方法对图7 31的系统流图 讨论状态方程与输 出方程的建立 建立 个状态变量 再列延时支路输入节点的方程 然后 写成矩阵形式 图7 31系统的输出为 写成矩阵形式 上式表示了状态变量 与输入 之间的关系 是图7 31系统的状态方程 或 7 26 之间的关系 是图7 31系统的输出方程 状态方程的左边是 时刻的状态变量值 它由输入 信号 系统参数以及 时刻的状况变量值确定 因此 状态方程可由递推的方法求解 在图7 31中 状态变量的序号是从左往右排序的 如果 如图7 32所示从右往左排 不难推出其状态方程与输出 方程的矩阵形式为 在图7 31中 状态变量的序号是从左往右排序的 如果 如图7 32所示从右往左排 其状态方程与输出方程的矩阵形式为 由此可见 相同的系统函数与信号流图 不同的状态变 量排序 就有不同的状态方程与输出方程 特别的若 时 二阶系统基本信号流图及状态 变量如图7 33所示 其状态方程与输出方程为 5 或 例7 8某单输入单输出系统及状态变量如图7 34所示 建立其状态方程与输出方程 解 具有两个延时支路 建立两个状态变量 如图7 34所示 列延时支路输入节点方程 输出方程 写成矩阵形式 输出方程 状态方程 状态方程 单输入单输出情况的状态变量分析法可以用图7 35表示 W AW Bx CW A B C 式中的A是 方阵 B是 维列矩阵 维行矩阵 是单个常数 A B C D都是常数矩阵 称为参数矩阵 C是 的支路增益 B矩阵是由输入 A矩阵是状态矢量W n 到状态矢量W n 1 所有反馈支路 增益组成的矩阵 其中 表示由第j个状态变量节点 2 参数矩阵A B C D的物理意义 W n 是状态变量 由上图可以讨论A B C D的物理意义 图中W n 1 到状态矢量W n 1 所有支路组成 的状态方程与输出方程 结构 系统内部结构确定 由信号流图就可以求出系统 C矩阵是状态矢量W n 到输出节点所有支路增益组成的 矩阵 其中 表示由状态变量 支路增益 到输出节点所有的 d表示输入节点到输出节点的支路增益 自己的节点反馈支路增益为1 特别是两节点之间没有支路 其支路增益为零 自己到 状态方程与输出方程利用四个参数矩阵描述了系统内部 建立其状态方程与输出方程 例7 9已知某单输入单输出系统的系统函数为 解 系统的流图及状态变量 从左至右排 如图7 36 所示 4 11 8 0 75 1 25 0 125 根据流图写出状态方程与输出方程 利用参数矩阵的物理意义 还可以直接列写FIR滤波器 FIR滤波器直接结构的系统函数为 直接结构的参数矩阵 得到其状态方程 状态变量按照从左至右的顺序排列 因为FIR系统无反 馈支路 所以四个参数矩阵的一般规律为 1 A阵除了 外 其余为零 2 B阵除了 外 其余为零 3 C阵为 4 D阵为 0 96 1 5 2 8 2 系统的直接型结构及状态变量如图7