保险精算-责任准备金.pdf

1 第六章 均衡纯保费责任准备金 张运刚 序 言 在赋课式保险 自然保费保险条件下 不会产生资金准备问题 在均衡纯保费条件下 每年保费收入未必就等于保险金给付 就一定年龄后 参加终身寿险而言 自然保费随年龄的增加而增加 而均衡纯保费只不过是将自 然保费均衡化 因此会出现前期保费收入用不完 而后期保费收入不够用的问题 主要原因是保费收入已均衡化 而保险金的给付尚未均衡化 于是需要将前期未 使用完的保费以复利形式储存起来 以弥补后期保险金给付的缺口 这种以保险契约为依据 为应付将来发生的赔付而提取的资金准备 称为责 任准备金 换言之 责任准备金就是保险人为履行未来的赔付责任而从收取的保 费中所提取的资金准备 责任准备金是保险人对被保险人的负债 而非保险人的资产 责任准备金的 提存 关系到保险人履行赔付的能力大小 也关系到保险人盈余的多少 因此 深刻理解责任准备金概念 正确计算责任准备金 将具有十分重要的意义 在均衡纯保费方式下产生的责任准备金 称为均衡纯保费责任准备金 趸缴 纯保费方式下是否存在责任准备金问题 回答是肯定的 由于其研究方法与均衡 纯保费责任准备金一样 因此本章只研究前者 责任准备金有两种最基本的计算方法 1 未来法 prospective method 将来法 预期法 某保险年度末责任准备金 未来保险金给付的精算现值 未来保险费收入的 精算现值 2 过去法 retrospective method 亦称为追溯法 某保险年度末责任准备金 过去保险费收入的精算终值 过去保险金给付的 精算终值 责任准备金计算的前提条件 一是以预定利率 预定死亡率的实现作为基础 二是在计算时点或观察点 保费收入与生存金给付尚未收进 而死亡保险金已经 付出 即前者算在将来 而后者算在过去 2 本章按每年保险费缴纳的次数来划分为三节 年缴保费一次的均衡纯保费责任准备金 年缴保费m次的均衡纯保费责任准备金 连续缴费的均衡纯保费责任准备金 第一节 年缴保费一次的均衡纯保费责任准备金 一 基本计算 一 人寿保险 1 死亡所在年末给付保险的人寿保险 1 终身寿险 kx V 表示 x 参加的 死亡所在年末给付保险金 1 终身缴费 年缴一次均 衡纯保费的终身寿险在第k年末责任准备金 设被保险人在xk 岁时的取整余命 为J 0 1 2 J 并设保险人在时刻k的亏损随机变量为kL 则 x kj P Jjq 6 1 1 1 1 J kx J LvPa 6 1 2 1 1 x J k J ELE vP E a x kx k x kxx kx x kx k MN APaP DD kx V 6 1 3 下面计算var kL 1 1 J xx k PP Lv dd 222 var 1 x kx kx k P rLAA d 22 2 1 x kx k x AA A 6 1 4 1 r x k kxx x k kx A VP s E 6 1 5 3 xx kxx k x x kx k NNMM P DD 6 1 6 容易证明 由未来法与过去法所计算出的责任准备金应相等 即 r kx V p kx V 事实上 可用如下三种方法证明 法 1 从责任准备金的未来法和过去法的计算表达式中 不难发现 保费收 入 保险金支出在xk 岁时被分成了两段 以x岁为观察点 其价值等式为 1 xkxx kkxx k x kx k P aE aAE A 移项 得 1 xkxx kxx k x kx k PaAEAPa 两边同除以k x E 得 1 x k xxkxx k x k kx A P sAP a E r kx V p kx V 法 2 以xk 岁为观察点 依收支平衡原则 有 1 x k xxx kx k x k kx A P sPaA E 1 x k xx kxx k x k tx A P sAPa E r kx V p kx V 法 3 用替换函数证明 p kx V x txx t APa x kx k x x kx k MN P DD xxxxxx kxx k x kx kx k MP NP NNMM DDD 1 x t x x t tx A P s E r kx V 4 例 6 1 1 某 30 岁的人参加了保额为 20000 元的终身寿险 年缴一次均衡纯 保费 全期缴费 保险金于死亡年末给付 以 CL1 2000 2003 2 5 为基础 试分别用过去法与未来法计算该保险在第 10 年末的责任准备金 解 3030 30 3030 AM P aN 0 01149104 过去法 10 301030 20000 rr VV 1 30 30 1030 10 1030 1 20000 P sA E 30403040 30 4040 20000 NNMM P DD 2394 30 未来法 10 301030 20000 pp VV 403040 20000 AP a 4040 30 4040 20000 MN P DD 2394 30 亦可先算出本例题的年缴纯保费 然后计算责任准备金 下面以未来法为例 30 3030 30 2000020000 M PP N 229 8208335 10 30 p V 403040 20000AP a 4040 30 4040 20000 MN P DD 2394 30 2 定期寿险 设n年定期寿险在第k年末的责任准备金 1 k x n V 则 11 1 0 0 p x k n kx nx k n k k x n AP akn V kn 6 1 7 1 11 0 0 1 0 r k x n x nx kx k kx k V PsAkn E 6 1 8 易证 11pr kk x nx n VV 既然二者相等 那么都用 1 k x n V 表示 3 两全保险 5 设其在第k年末的责任准备金为 k x n V 于是 0 1 p x k n kx nx k n k k x n AP akn V kn 6 1 9 1 0 0 1 0 r k x n x nx kx k kx k V P sAkn E 6 1 10 请读者证明用过去法与用未来法计算的责任准备金相等 4 限期缴费的两全保险 设限期h年缴费的n年两全保险在第t年末的责任准备金为 h k x n V 于是 0 1 h x k n kx nx k h k hp k x nx k n k AP akh VAhkn kn 6 1 11 1 1 0 0 1 0 11 hr kh x nx nx kx k kx h x nx hx k k hx hkx k VP sAkh E P sAhkn EE 6 1 12 2 死亡所在1 m年末给付保险金的人寿保险 至于死亡所在时刻给付保险 所在1 m年末给付保险金的人寿保险的责任准 备金 均可借鉴关于死亡所在年末给付保险金的人寿保险的责任准备金的研究方 法 为了简明起见 仅举一些例子 其余则请读者完成 设死亡所在1 m年末给付保险金1 年缴一次均衡纯保费的n年定期寿险在 第k年末的责任准备金为 11 1 0 0 mm m p x k n kx nx k n k k x n AP Aakn VA kn 6 1 13 1 11 0 0 1 0 m mm r k x n x nx kx k kx k VA P AsAkn E 6 1 14 3 死亡所在时刻给付保险金的人寿寿险 设限期h年缴费 死亡所在时刻提供保险金的终身寿险在第k年末的责任准 备金为 h x kV A 则 6 0 hpx khx x k h k kx x h AP A akh VA Akh 6 1 15 1 1 0 0 1 hr x k kxhx x k kx x k hx x h k hx hkx k A VAP A skh E A P A skh EE 6 1 16 二 年金保险 以n年延期终身年金保险为例 在年金给付期内 每年初生存时给付1 而 在未来n年内每年初生存时均衡缴纳保险费 设该年金保险在第k年末的责任准 备金为 n knx Va 同样可运用未来法与过去法 计算结果如下 n kx knxnp x k n k knx x k aPa akn Va akn 0 6 1 17 0 0 1 nr knxnx x k nx x nx n k n k nx n k VaPa skn Pa sskn E 0 6 1 18 当然 读者可以考虑期末付生存年金 每年给付多次或每年连续给付的终身 生存年金 定期生存年金 或延期生存年金等情形 其基本方法仍然是未来法或 过去法 综上所述 既然用未来法与用过去法所计算出的责任准备金结果是一样的 因而以后主体字母 V 的右上角的上标 r 或 p 一般都取消掉 除非是 为了区别 但是 在不同条件下采用不同的方法 其繁简程度是不一样的 1 在保 险费缴纳期结束后的某时刻t的责任准备金的计算宜用未来法 因为未来没有保 费收入 仅有保险金支出 2 在无须提供保险金的期间内某时刻t的责任准备 金的计算宜用过去法 因为 其结果就是保险费收入的精算终值 例 6 1 2 已知0 06i 0 65 x q 1 0 85 x q 2 1 x q 求 1 x V 解 22 10 xx pq 7 11 1 xx avp 2 2 1 xxx avpvp 1 1 1 x x x a V a 1 2 1 1 1 1 x xxx vp vpv p p 0 17 二 责任准备金的不同表达式 这里的结论适用于保险金于死亡年末给付 保险费年缴一次的终身寿险与两 全保险两种情形 均从未来法表达式出发 运用人寿保险趸缴 或年缴 保费与 生存年金精算现值的关系进行推导 以后两节将有类似的结论 一 终身寿险 kxx kxx k VAPa 未来法表达式 1 x k x a a 年金现值表达式 6 1 19 1 x kx x AA A 趸缴纯保费表达式 6 1 20 x kx x k PP Pd 年缴纯保费表达式 6 1 21 二 两全保险 k x nx k n kx nx k n k VAP a 未来法表达式 1 x k n k x n a a 年金现值表达式 6 1 22 1 x k n kx n x n AA A 趸缴纯保费表达式 6 1 23 x k n kx n x k n k PP Pd 年缴纯保费表达式 6 1 24 例 6 1 3 已知10 250 1V 10 350 02V 求 2025 V 解 1 x t tx x a V a 35 25 10 1 a a 45 35 10 02 a a 8 35 25 1 0 10 9 a a 45 35 1 0 020 98 a a 45 2025 25 11 0 9 0 820 118 a V a 三 责任准备金递推公式 责任准备金递推公式反映相邻保险年度末责任准备金之间的关系 即反映 kV与1k V 之间的关系 一 特殊情形 下面以终身缴费于死亡所在年度末给付保险金1的终身寿险为例 研究相邻 年度末责任准备金之间的关系 需要运用递推公式 3 1 31 4 2 25 k xx kxx k VAPa 11 1 x kx kx kxx kx k vqvpAPvpa 11 xx kx kx kxx k PvqvpAPa 1xx kx k kx PvqvpV 6 1 25 1kxxx kx k kx VPvqvpV 6 1 26 由 6 1 25 及0 x V 可计算各年末责任准备金 不妨称此方法为倒递推法 0 x V 11xx VvqP 1 1 11 1 Aa 2221xxx VPvqvpV 2 2212xx vqv pqPvpP 1 2 22 2 x APa 3332xxx VvqvpVP 1 333 2 22 2 1 x vqvpAPvpa 1 3 33 3 x APa 9 1 kxx x kkx kk VAPa x kxx k APa 6 1 26 的解释 第k年末的责任准备金 kx V加上第1k 年初所收取的保 费 x P满足两个方面的用途 一是满足年内死亡情形于年末给付保险金 1 的需要 平均需开支 x k vq 二是满足年末生存时所需责任准备金 1kx V 的需要 平均需开 支 1x k kx vpV 由 6 1 26 可得 1 11 x kx k kxkxx x kx k DC VVP DD 6 1 27 6 1 27 被称为法克勒 Fackler 递推公式 1 x k x k D D 1 x k x k C D 称为法克勒 系数 由00 x V 及 6 1 27 可求出其它年度末的责任准备金 此方法称为顺递 推法 6 1 27 的解释 第1k 年末责任准备金为第1k 年初的责任准备金的 在年末的精算终值减去第1k 年内给付的死亡保险金形成的精算终值 6 1 26 1 xk i l 则变为 11 1 kxxx kx kkxx k VP lidVl 6 1 28 6 1 28 的解释 在第k年末 x k l 人所积存的责任准备金以及第1k 年初 所收取的保险费在利率i的作用下为在第1k 年内死亡的 x k d 人在年末每人提供 保险金1的给付 同时为年末生存的 1x k l 人每人留下 1kx V 的责任准备金 由 6 1 26 可得 11 1 xkxkxkxx k PvVVV vq 6 1 29 6 1 29 的解释 第1k 年初所收取的保费 x P有两个作用 一是使责任准 备金由k x V 增加 到 1kx V 即储蓄作用 需要开支 1kxkx vVV 因而称 1kxkx vVV 为储蓄保险费 二是对于年内死亡情形在年末应当给付死亡保险金1 然而由于 每人已有 1kx V 的责任准备金 故只需 1 1 kx V 称为危险保额 的资金准备 其 10 平均给付现值或自然纯保费为 1 1 kxx k V vq 又称之为危险保险费 因此 年缴 纯保费可分解为储蓄保费与危险保费之和 6 1 29 x k l 得 11 1 x kxkxkxx kkxx k lPvVV lV vd 6 1 30 6 1 30 的解释 在第1k 年初 x k l 人每人缴纳保费 x P 总共 x kx lP 首先 使每个人 无论年内是否死亡 的责任准备金由 kx V 增加 到 1kx V 共花去保 险费 1 kxkxx k vVV l 对于年内死亡的 x k d 人 由于在年末的责任准备金已积存 到 1kx V 故每人只需补上 1 1 kx V 即补助死亡保险金给付 共花费 1 1 kxx k V vd 故 6 1 30 成立 二 一般情形 设kV与 1k V 分别为第k年末 第1k 年末的责任准备金 若在第1k 年内 死亡则于所在年末给付保险金 1k b 第1k 年初缴纳的保费为 k 则 11kkkx kx k k VbvqvpV 6 1 31 或 111 kkkx kkk bV vqvVV 6 1 32 假设活过第k年还可获得生存金 k E 那么有如下更一般的递推公式 11kkkkx kx k k VEbvqvpV 6 1 33 或 111 kkkkkkx k EvVVbV vq 6 1 34 例 6 1 4 某寿险保单规定 x 的被保险人在n年内死亡时 死亡年末给 付保险金 1 加上其责任准备金 若满期生存时 则给付生存金 1 求其年缴均衡 纯保费 及其责任准备金 解 设第k年末责任准备金为 k V 于是死亡保险金为 k b 1 2 kn 并设年缴均衡纯保费为 于是由题意知 1 nV 00V 1 kk bV 1 2 kn 11 111kkkkx k vVVbV vq 即 1kkx k vVVvq a a 两边同乘以 k v 得 11 1 kkkk kkx k vvVv Vvq b b 两边对0 1 2 kn 求和 得 1 1 0 n nk x k k n vvq a b 两边对0 1 2 1kt 求和 得 1 1 0 t tk tx k t k av Vvq 1 1 0 1 t tk tx k t k Vsiq 例 6 1 5 已知某保险的责任准备金递推公式为 1 11 x kx k kk x kx k DC VVP DD 且 0V 0 1 nV 求P及 kV 解 由已知条件可得 11x ttx t tx tx t DVDVDPC 令0 1 2 1tn 相加可得 11 0 00 nn x n nxx tx t tt DVD VPDC xx nxx nx n P NNMMD xx nx n x n xx n MMD PP NN 若令0 1 2 1tk 相加可得 12 11 0 00 kk x k kxx tx t tt DVD VPDC x k kxx kxx k x n DVPNNMM xx kxx k k x n x kx k NNMM VP DD k x n V 显然 此保险就是两全保险 例 6 1 6 证明 11 xtx x tx t PPPV 6 1 35 证明 由过去法 得 1 x t txx x t tx A VP S E 11 1 x tx tx t x x tx tx t AAa P aAa 11 111 x xx tx t x tx tx t PPP P PPP 11 xtx x tx t PPPV 四 非整数年末责任准备金 非整数年末责任准备金 又称为会计年末责任准备金 在实际工作中 寿险 公司需要依照法律在每一个会计年度终了之时做出决算 评估资产和负债 计算 在一年内的收支损益 计算出当年盈余 或红利 等等 由于会计年度与保险 年度往往不一致 因而 需要根据保险年末责任准备金计算出会计年末责任准备 金 即计算出非整数年末责任准备金 因为会计年末一定会落在某一保险年度之 内 因而 本问题的实质就变为由相邻保险年末的责任准备金去近似估计会计年 末责任准备金 换言之 由相邻整数年末责任准备金去估计非整数年末责任准备 金 设某会计年度末刚好是该保单经过kh 年 01h 设该保单在第k年末 的责任准备金为kV 于是问题就演变为 如何由kV 1k V 去近似估计k hV 下 面用两种方法进行讨论 一 线性插值法 假设在一年内死亡服从均匀分布 即责任准备金是均匀变化的 则 1 1 k hkk VhVPhV 6 1 40 6 1 40 可变为 13 1 1 1 k hkk Vh VhVPh 6 1 41 其中 1 Ph 为第1k 年未经过保费 1 1 k k h VhV 为第k年末与第1k 年末责任准备金的线性插值 因而该公式表明k hV 为期末付责任准备金的线性插 值与未经过保费之和 二 未来法 下面仅以终身寿险为例探讨非整数年末责任准备金的计算 11 1111 hh k hxhx k hhx k hx kxhx k h VvqvpAPa 6 1 42 11 1111 hh hx k hhx k hx kxx k vqvpAPa 11 111 hh hx k hhx k h kx vqvpV 6 1 43 在 UDD 下 1 1 1 x k hx k h x k h q q hq 11 1 1 x k hx k hhx k h x k p pq hq 11 1 1 11 hh x kx k k hxkx x kx k vh qvp VV hqhq 6 1 44 考虑到1 1 h x k v hq 那么 6 1 44 可化 1 1 k hxx kx k kx Vh vqvpV 6 1 45 由于 6 1 26 可得 1 x kkxxx k kx vqVPvpV 6 1 46 将 6 1 46 代入 6 1 45 得 11 1 1 k hxkxxx k kxx k kx VVPhvpVhvpV 1 1 kxxx k kx VPhhvpV 6 1 47 1 x k vp 1 1 k hxkxxkx VhVPhV 6 1 48 显然 6 1 48 是 6 1 40 的特例 14 第二节 年缴保费m次的均衡纯保费责任准备金 一 基本计算 一 真实纯保费责任准备金 1 死亡所在年末给付保险金 1 终身寿险 设 m kx V表示 x 参加的 于死亡年末给付保险金 1 年缴真实纯保费m次 终身缴费终身寿险在第k年末的责任准备金 则依据未来法可得 mmm kxx kxx k VAPa 6 2 1 运用 4 3 4 及 5 2 5 6 2 1 变为 111 222 mmm kxx kxxxxx k mmm VAPPPPd a mmm 11 22 mm x k x kxx kxx x amm APaPP mam 1 1 2 m x k kxx x am VP ma 1 2 m kxxkx m VPV m 6 2 2 1 1 2 m xkx m PV m 6 2 3 由于年缴m次保费与年缴 1 次保费的区别在于死亡所在年度保费损失大约 为 1 2 m x m P m 这相当于死亡所在年末需要给付的保险金为 1 1 2 m x m P m 因而责 任准备金为 1 1 2 m xkx m PV m 故 6 2 3 成立 2 两全保险 m k x n V表示在真实纯保费条件下n年期两全保险在第k年末的责任准备金 根 据公式 4 3 10 4 3 12 5 2 10 可得 mmm k x nx k n kx nx k n k VAPa 6 2 4 1 1 2 m x k n kx nx k n kx nx nx k n k m AP aPPd a m 1 1 2 m n kx k x n m PE m 15 11 1 2 m k x nx nx k n kx nx k n k m VPAP a m 1 1 2 m kk x nx nx n m VPV m 6 2 5 3 限期缴费的两全保险 hm k x n V表示于死亡年末给付保险金 1 限期h年缴费且年缴m次真实纯保费条 件下n年期两全保险在第k年末的责任准备金 当kh 时 hmmm kh x nx k n kx nx k h k VAPa 6 2 6 h kh x nx k n kx nx k n k VAP a 两式相减 得 hmhmm kkhh x nx nx nx k h kx nx k h k VVPaP a m m m x h h x nx k h kx k h k x h a Paa a 在 UDD 假设下 1 m hx x hx h am amE 1 m x hhx x hx h a E mm aa hmh kk x nx n VV 1 1 m hx hh kx k x nx k h k x h E PmEa a 1 1 hx h kx k x k h k x h E Ea a 1 1 1 h kx k x hx k h k x h EPa a 1 1 h kx k x hx k h kx k h k EP ada 111 k x k h kx hx k h kx h AP aV 1 hmhm kkhk x nx nx nx h VVmPV 6 2 7 二 责任准备金的不同表达式 一 终身寿险 16 mm kx VA 1 m x k m x a a 年金现值表达式 6 2 19 1 mm x kx m x AA A 趸缴纯保费表达式 6 2 20 mmmm x kx mmm x k PAPA PAd 年缴纯保费表达式 6 2 21 二 两全保险 mm k x n VA 1 m x k n k m x n a a 年金现值表达式 6 2 22 1 mm x k n kx n m x n AA A 趸缴纯保费表达式 6 2 23 mmmm x k n kx n mmm x k n k PAPA PAd 年缴纯保费表达式 6 2 24 第三节 连续缴费的均衡纯保费责任准备金 一 基本计算 一 死亡所在时刻给付保险金的人寿保险 1 终身寿险 tx V A表示 x 参加的 死亡所在时刻给付保险金 1 每年连续缴费 终 身缴费终身寿险在第t年末的均衡纯保费责任准备金 tx L A为保险人在时刻t 的亏损变量 设xt 岁的余命为U 则U的概率密度函数为u x tx t u p 0u 于是 U txx U L AvP A a 6 3 1 txtx V AEL A U x U E vP A E a 6 3 2 x txx t AP A a 6 3 3 由 6 3 1 可得 17 1 U xx tx P AP A L Av 222 var 1 x txx tx t P A L AAA 6 3 4 22 2 1 x tx t x AA A 6 3 5 6 3 2 表明责任准备金可理解为保险人在第t年末的平均亏损 6 3 3 就是责任准备金未来法表达式 下面介绍其过去法表达式 1 x t txx x t tx A V AP A s E 6 3 6 其中 x t x t tx a s E 2 两全保险 t x n V A表示全连续式两全保险在第t年末的均衡纯保费责任准备金 则 tx t x nx nx t n t V AAP Aa 6 3 7 1 x t x nx t tx A P As E 6 3 8 3 一般形式 考虑 x 参加的 完全连续型保险 保单约定在时刻t死亡时立即给付保 险金 t b 在时刻t以年率 t 缴纳保险费 于是在时刻t的责任准备金tV为 00 ss tt ssx tx t st ssx t Vb vpdsvpds 6 3 9 t u ux uuu tx t t bepdu 其中 uts 6 3 10 二 其它情形的责任准备金 为了简明起见 这里仅举一些例子 并用未来法演示其计算公式 1 死亡所在 1 m 年末给付保险金的终身寿险 mmm txx txx t V AAP Aa 6 3 11 2 死亡所在年末给付保险金的定期寿险 18 11 11 0 0 h x t n tx nx t h t h t x nx t n t AP Aath V AAhtn tn 6 3 12 3 延期年金保险 0 mm nmn tx tnnx x t n t tnx m x t aPaatn Va atn 6 3 13 二 责任准备金的不同表达式 对于全连续型的终身寿险 两全保险 其责任准备金均有年金现值表达式 趸缴纯保费表达式 年缴纯保费表达式 一 终身寿险 1 x t tx x a V A a 6 3 14 1 x tx x AA A 6 3 15 x tx x t P AP A P A 6 3 16 二 两全保险 1 x t n t t x n x n a V A a 6 3 17 1 x t n tx n x n AA A 6 3 18 x t n tx n x t n t P AP A P A 6 3 19 例 6 3 1 已知100 x lx 0100 x 5 i 求 1 40 P A 2 40 tV A 及 40 var tL A t 0 10 20 解 1 100 x lx 40 1 60 t t p 4040 1 60 tt p 060t 60 404040 60 0 1 60 t tt Avpdta 0 32331123 19 4040 40 11 ln1 05 AA a 13 86936858 40 40 40 A P A a 0 023313 2 在 40 岁时 60 40 60 t t a A t 40404040 ttt V AAP Aa 40 4040 1 ln1 05 t t A AP A 60 22 40 0 1 60 t u t Avdu t 2 60 1 60 t a t 222 404040 0 023313 var 1 ln1 05 ttt L AAA 当t 0 时 40 40 60 a A 0 32331123 22 40 60 1 60 Aa 0 1703