（计算数学专业论文）有理曲线与曲面的μ基理论及应用.pdf

摘要 肛基是源于动曲线与动曲面理论、用以研究曲线与蓝面性质的代数工具因其特 殊的代数与几何性质，成为联结睦线与曲面参数表示与隐式表示之间的桥梁 本文中我们将首先讨论基于j ，基的平面有理益线与空间有理曲线奇点的理论及 计算特别地对平面有理曲线我们将从由曲线儿基构造的b p z 伽t 矩阵的s 】n i t l l 标 准型入手详细讨论平面有理曲线奇点树的计算方法，并给出相应的理论证明对空间 有理曲线我们将首次提出轴动平面的概念并给出其判断方法另外通过分析所有 伴随空间有理曲线的动平面我们给出空间有理曲线上奇点和l f 基的联系并研究所 有低次空间有理曲线及某些特殊类型的高次空间有理睦线的奇点类型和数目上界。同 时给出相应的奇点算法随后我们将讨论广受关注的空间有理曲线的隐式方程问题 在第五章中，我们将同调代数理论与z z 基理论相结合，详细分析三次及四次空间有理 曲线的动曲面理想生成元，为一般空间有理曲线的动曲面理想生成元的研究开辟可能 的道路而在第六章中我们集中讨论空间有理曲线在不同层次定义下的隐式方程问 题，并对部分曲线给出其隐式方程最后，我们将详细讨论有理直纹面自交线轨迹的 计算并运用“基的主子结式序列首次给出有理直纹面自交线轨迹的方程表达 关键词：平面有理曲线空间有理曲线，有理直纹面，动曲线曲面，p 基，奇点自交 线，动曲线动豳面理想集论理想论生成元 v a b s t r a c t t 1 1 et e c h l l i q u eo f 弘一1 ) a s e si s0 r i g i n a t e df r o n lt h et b e o n ( fn 10 、i n gl i n e ：弓a 1 1 dn j 0 、i n g p l a n e s ，z b a s e 8p 1 o v i d eac o n n e c t i o nb e i t w e e nt h ep a r a n l e t r i cf 0 r l n sa 1 1 di n l l ) l i c i tf 0 l 。n l s o f ( ：u l 。v e sa 1 1 ds u r f a c e sr l u et ot h e i rs p f i a la l g e h r a ca 1 1 dg e o l l l p t r j ( p r o p e i r t i e s 、0s h a l 】e x p l o r et b et h e o r ya n dc o n l p t l t a t i n n a lm e t b o d j = ；o ft h ps i n g t l l a r i t i p so f r a t i o n a lp l a n a rc u r 、e sa n dr a t i o n a ls p a ( 。ec m 、它sf r o n l ，一b a s e s f b rr a t j o n a lp l a n a r ( u l 、申s ：w es h a l ll 惜et h es n l n hf t j l l l io fi1 1 eb t i z j u tm a “。i xc o n s t l l 沁c d lf 1 q n la “- b a 萄s f ( j 1 t h er a t i o n a lp j a n a r ( u 1 弋et oc t ) i 】：1 p t t t et h es i l l g u l a l b t r p e 憾o ft h er a t i o n a lp l a n a r ( u r v e f b rr a t i ( ) n a ls 1 ) a e ec l l r v e s ，w es h a l li 1 1 t 1 o ( 1 u c et 1 1 ec o l l c e p to fa x i a lm 1 ) 、i n g1 ) l 乏l i l e s ， a n de x a m i n etb e1 e l a t i o l l s l l j pb e t 、7 l j e e i lt 1 1 es i n g l l 】a r i t i e sa n d ，上一1 ) a s e so fr a t i 0 1 1 a 1s 1 ) a c e c u l 、r e st l u o i l g l la l jt h em ( ) 、i 1 1 9p l a u e st h a tf o l l o wt b er a t i o n a ls p a c ec u n 叩s 、ka 1 8 0 g i 、豫a n a l y s i sf b rt h et y l ) e sa n du p p e rb o u n d 8o ft h en u n l b e r 8o fs i n g l i l a r i ti e so nl o w d e g r e er a t i o n a l 印a c ec u “e sa n ds o m es p e c j a lt y p eo fh i 曲d e g r e er a t i o u a ls p 驸ec u l v e s ： c 0 1 r e ： ；1 ) 0 1 1 d i n ga i g o r i t h m sa r ea l s op r e s e n t e d l 砒e 1 o nt h e 谢d es t u d i 州p r o b l e n lo f i m p l i c i t i z i d gr a t i o n a ls p a c ec t l r 、e sl sd i s ( ：u s s e d 08 h a l lf j r ：ta p l ) j yt h et e 出n i q u eo f - 1 ) a s 郫a n dl o c 甜c o h o n l 0 1 0 9 yt os t u d yt b em i n i m a 】g e n e l a t ( r sf o rt b em o 订玎gs t l r f 微e i d e a l 8o fr a t i o n a lc u b i cs p a c ec u r 、屯sa n d1 a t i o n a lq l t a r t i cs p a c ee u n e s ，乏 n dt h e ns t u ( j y c 1 1 ei 1 1 】p l j c i 乞e q u a t i o n so fr a t i o n a ls p a c ec u r v e st m d e rd i f f 电l r e n td e f i n i t i o n 8o fi 1 1 1 p l i c j t e q u a t i ( ) 1 1 s f i n a l 】yw es 1 1 8 l le x p l o r ea j g ( ) r i t h i n sr ) rc o m p u t i n gs e l f i n t e r s e c ti 0 1 1c u n e s o fr a t i o n a lr u l e ds u l 。f ： l c e s u et 啪t 1 1 ep 1 i n c i l ) a is u b r e s u l t a n ts e q u p n c e s ( f 肛- b a s e s t oc o m p u t et h ep a r a n l e t r i ce q u a t i o mo ft h es e l f - i n t e r s e e t i o n ( t l r v e so fr a t i o n a l1 1 j l e ( 1 s l u ? f 8 ，( ：e s k e y w o r d s ： r a i o i l a li ) l a n a rn 瑾v e ，r 撕0 1 1 a ls p 8 c ec u r v e ，r a t i o n a ir t d “ls m f a c e ，m o v - i n gc u r 憎s u r f 如e ，b a s 倦，s i n g u l a r i 啊s e l f _ i n t e r s e c t i o nc u r v e ? n lo 、i n gc u r v e n l o v i n g s u r f 敏：ei d e a l ? i d p a l t h e ( ，r e t i c s e t t h e o r e f i c 驴n e r a t o r s v 1 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：啦 签字r 期：哆灶 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 匝签开口保密( 年) 作者签名：! 盈蒸进兰 料醐：碍量生 导师签名： 签字日期： 致谢 在本文完成之际我衷心感谢我的导师陈发来教授在我攻读博士期 间的悉心指导从2 0 0 4 年我进入研究生阶段起陈发来教授给予我计算 机辅助几何设计领域的启蒙，并为我蹒跚学步的学术研究指明了方向陈 老师对学术的严谨态度和对学生的严格要求将使我永远受益 我深深感谢r o ng o l d m a n 教授在我赴美学习的两年中对我的倾力 培养每每忆起g c ，1 d m a n 教授的平易近人和对学生的关心总有感动涌 于心间在我两年赴美期间，我的每稿论文( 、o k h n a n 教授都逐字改过 将要做的会议报告也帮我反复练习邮箱中近干封g ( ，l d i n 8 n 教授关于学 术问题的邮件和案头厚厚的教授改过的手稿将使我终生怀念在莱斯大学 的求学时光 感谢邓建松教授在我攻读博士期间的尽心督促与帮助，以及在学术 上对我的耐心指导与交流邓老师带领我们做科研之余也伴我们共同度 过了在实验室充满欢乐和汗水的每一天在我们彷徨时给与我们督促与 鼓励。是我们科研路上的良师益友 同时要特别感谢d 州d ( ：( ) x 教授在本文第五章完成过程中对我的耐 心指导与关于同调代数理论的传授：感谢h a o h a ow a n g 教授在本文第 四章。第五章第二节与第六章的倾力合作：感谢l a u l e n tb u s e 教授在本 文第三章关于b e z o l l t 矩阵乘积分解的宝贵建议 特别感谢史晓冉同学对本文的细心勘误与宝贵建议。感谢李莹同学 和王旭辉同学长期以来对我的帮助 最后感谢我的父亲母亲在我成长过程中付出的汗水与艰辛，感谢父 亲母亲始终不曾懈怠的督促与鼓励伴随我走过求学路上的每一天 第一章绪论 1 1c a g d 中曲线与曲面的表示 计算机辅助几何设计f ( ：o l n p l l t e ra i d e dg e o l l l e 仃i cd e ：! ；i g l l1 简称c a g d ) 主要研究 曲线与曲面的表示与逼近以及几何体的计算与操作虽然人类对于曲线与曲面理念的 运用最早可追溯到古罗马时代的造船业，但直到1 9 4 4 年r l i u l i i l g 的专著“a na 】、t i c a l g “m l e t l yw j t l ja 1 ) 1 ) l 渤t i o l lt oa i l ( r a t ”首次将传统的绘图方法转换为数值算法计 算机辅助几何设计的系统理论研究方才萌芽：而1 9 了4 年在美国犹他大学的会议标志 着计算机辅助几何设计作为一门学科的正式建立 上世纪五六十年代。法国c i t e r o e n 汽车公司的工程师p a u ld ef a g e td pc a s t e l i a n 和其竞争者r 舢a u l t 汽车公司的工程师p i e r r eb e ! z i e r 先后独立提出用控制多边型定义 和操作曲线与蓝面的理念b e z 论1 蓝线和d e c a s t e l j a u 算法随之产生，并被广泛应用于 计算机图形学f ( ( j l n l ) u t e rg r a p l l i ( - s ) 中平滑蓝线模型的建立此后，b 样条( b s p l i n e ) 和非均匀有理b 样条( n u r b s l 相继产生b 样条克服了b e i z e l 曲线不能进行局部 操作的缺点，而n u r b s 进一步对控制点赋予了权重从而实现了曲线拼接的高度连 续性这两种形式逐渐发展成为c a d c a m 工业中标准的曲线与曲面形式此后，三 角曲面片，细分曲面等多种曲面形式得到了广泛细致的研究基于这一系列的曲线与 曲面形式，人们逐渐提出了插值、逼近、求交、拟合等几何操作与运算方法 4 1 】 参数形式与隐式形式是( ! a g d 中曲线与曲面的两种主要表示方式例如b e i z e r 曲线与曲面、b 样条曲线与睦面均为在c a g d 中广泛应用的参数曲线与曲面；而椭 圆、双曲线及椭球面、马鞍面等二次曲线与曲面通常采用隐式表达参数形式与隐式 形式有其各自不同的优势与不足因此在几何计算及造型中，人们通常根据具体问题 选择更加便利的曲线与曲面的表示方式由参数形式人们便于实现曲线与曲面的绘制 与控制，却不易判断曲线或曲面的边界或内外部；而相应地，从隐式表示出发曲线与 曲面的绘制变得困难，但判断给定曲线或蓝面的边界或内外部非常简单对于两条曲 线或两个曲面的求交问题，若我们同时具有其中一个曲线或曲面的参数形式以及另 外一个曲线或曲面的隐式方程。则问题立即得到简化基于以上原因，人们需要对同 一曲线或曲面在其参数表示与隐式表示间做相互转换，即参数方程的隐式化与隐式方 程的参数化值得指出的是，任何参数表示的曲线或曲面一定可以隐式化。而隐式表 示的曲线或曲面并不一定可以参数化 关于隐式曲线和曲面的参数化已有大量的研究成果例如a b h y a n k a r 与b a j a j 依次研究了二次曲线与曲面、三次曲线与曲面、亏格为零的平面代数曲线以及空间代 数曲线的参数化问题【5 - 8 】；h o 哟随后运用整基( i n t e 铲a 1 1 ) a s i s ) 给出了平面代数曲线 的高效参数化算法 4 9 】；s c k c h o 系统性地讨论了代数曲面的参数化问题【6 6 - 6 9 】 1 2 0 0 9 年 第一章绪论 中国科学技术大学博士学位论文第2 页 1 2 曲线与曲面的隐式化 同时，参数曲线与曲面的隐式化问题也长期以来受到计算几何学界的广泛关注 传统的曲线与曲面隐式化方法主要有结式方法、g r 6 b n e r 基方法和吴方法等但这些 方法各自在高效性或适用性上有不足而近年来s e d e r h 唱、c 0 x 与陈发来提出了全新 的动曲线( 1 1 1 0 v i l l gc l l l 、e s ) 与动曲面( n l o v i n gs i l r f a c 郎) 隐式化方法在下一节中我 们将集中回顾豳线与曲面隐式化问题的研究历程 1 2曲线与曲面的隐式化 1 9 ( 8 年d 泌o n 提出了由三个多项式中消去两个变元的结式方法f 3 4 1 该方法在 相当长的时期内成为曲面隐式化的标准方法】9 8 3 年s e d e r b e l g 将d i x o n 结式运用 于分片代数曲面的隐式化中f 7 4 1 随后c b i o n h 与g o 】d n l a n 深入研究了双变元及多 变元的结式理论f 2 2 ，2 3 1 ；c k o n l l 、z h a n g 与g o l d l n a n 探讨了基于牛顿多边形的结式 隐式化方法f 2 讣并给出了b e z o u t 结式及d i x o n 结式的快速算法f 2 4 1 然而结式方 法在曲线或曲面具有基点的情况下失效对此，m l ( 1 ( 1 1 a 与c a l l l l v 提出了寻找d i x o n 结式的最大子式的隐式化方法协5 1 但该子式往往含有多余因子c 1 1 i ( m h 与g ( l ( i n l a l l 提出的摄动法可用于消除该多余因子f 2 1 1 c r 曲n e r 基方法也是曲线与曲面隐式化的重要方法之一g r 曲n e l 基理论最早由 g 哟b n e r 的学生b u c h b e r g e r 于1 9 6 5 年提出，随后成为计算代数几何中的重要理论工 具关于g r 6 b n e r 基理论的发展和基于g r 6 b 1 1 e r 基方法的曲线与曲面的隐式化问题 参见f l 。1 3 1 从理论角度讲，g 拍1 ) 1 1 e r 基可以实现任意次数及维数的曲线与曲面的隐式 化，而不需要对基点的存在与否分情况讨论；然而在实际应用中，g r 6 b n e r 基方法因 其近于指数级的算法复杂度而难以实现 第三种曲线与曲面的隐式化方法是吴文俊提出的吴特征列方法f 8 4 1 ，简称吴方法 但通过吴方法得到的曲线与曲面的隐式方程可能含有不在该曲线或曲面上的低维分 支对此，李子明提出了基于吴投影定理的曲线与曲面的隐式化方法f 5 9 1 但该方法的 投影过程非常耗时且会生成大量的复杂多项式王东明继而提出将投影过程并入消元 过程的分解算法【7 9 使隐式化效率有所提高，但如何简化该过程生成的复杂多项式， 从而得到较简形式的隐式方程仍然是未解决的问题 鉴于上述曲线与曲面隐式化方法的不同缺陷，s e d e l b e r g 、c o x 与陈发来提出了全 新的动曲线与动曲面隐式化方法 1 2 1动曲线与动曲面方法 1 9 9 5 年，s e d e r b e r g 与陈发来提出了一种全新的曲线与曲面的隐式化方法一动 曲线与动曲面方法【7 6 】该方法可追溯到牛顿利用两族直线相交来构造二次曲线的思 想如图2 4 1 所示，两直线族对应直线的交点形成了一条二次曲线 2 ( 嘲年 第一聿绪论 中国科学技术大学博士学位论文第3 页 1 2 曲线与曲面的黪式化 在动曲线和动曲面方法中通过推广直线族的表示，可以把曲线、曲面的隐式方程 表示为一个阶数相对低的行列式，行列式的每个元素是二次( 或一次) 函数因而在曲 线与曲面的隐式化方面动曲线与动曲面方法较之传统的g r 6 b n e l 。基方法和结式方法 有更高的效率【】6 7 5 7 7 1 更为重要的是，当曲面具有基点时：这种算法使得隐式方程 的表示仍然有效而且更加简化但运用动曲线和动曲面理论计算曲线与眭面的隐式 方程时如何选取合适的动曲线和动曲面使得相应的隐式化行列式不恒为零仍是有待 解决的问题 图1 2 1 两直线族相交成二次曲线 1 2 2有理曲线与曲面的f f 基 l z 基是新近出现在几何造型领域中用以研究曲线与曲面性质的代数工具基概 念源于动曲线与动曲面理论。因其特殊的代数与几何性质，成为联结曲线和曲面参数 表示和隐式表示之间的桥梁，从而为几何造型提供了极大的方便 1 5 1 曲线和曲面的，基实际上是曲线和曲面所定义的s y z y g y 模的一组基s y z y g 、r 模 理论在代数几何和交换代数中已经被研究超过了一个世纪，因此可以认为口基理论是 s y z ) ? g y 模理论在计算机辅助几何设计和几何建模领域的新应用 目前平面有理曲线、空间有理曲线及有理直纹面的基算法已经相对完善2 8 - 3 0 ，7 3 ，8 6 】，但对于一般有理曲面肛基定义方面还有一些问题。例如次数最小的定义 并不是很明确；另外此时计算相应s y z y g y 模的基也是比较困难的问题对此3 6 1 中对于一般的有理睦线与曲面的“基给出了多项式矩阵分解的算法这也是目前唯一 的可以在任何情形下计算曲线和曲面n 基的方法( 次数不一定最低) ；但该算法效率 仍然比较低，且在如何计算最低次的曲面口基、计算复杂性方面尚待进一步研究 曲线与曲面的 基不仅可以给出高效的曲线、曲面隐式化方法也为研究蓝线与 瞳面的几何性质( 如正则重新参数化、奇点、拐点) 提供了新的途径在c a g d 领 域。已有大量基于弘基理论的曲线与曲面研究结果出现例如，【2 7 1 给出了高阶奇异 有理曲线的更紧凑的隐式方程表示；【3 0 】应用直纹面的p 基对直纹面进行重新参数 2 0 0 9 年中国科学技术大学博士学位论文 第一章绪论 第4 页 1 3 小结 化：【3 2 】f 8 0 】分别给出了基于弘基的平面有理曲线与空间有理曲线上奇点的高效计算 方法f 5 2 】给出了基于p 基的有理直纹面上自交线的算法而在代数几何领域，利用 p 基理论研究曲线与曲面也成为逐渐受到关注的课题【1 1 1 8 ，1 ) 】 1 3小结 本章中我们回顾了( ? a g d 中曲线与曲面的两种重要的表示方式：参数形式与 隐式形式目前关于隐式曲线与曲面的参数化和参数曲线与曲面的隐式化已有大量 的研究成果而隐式化问题成为人们更为关注的课题传统的隐式化方法有结式方 法、g r 确n e r 基方法及吴方法等。但这些方法均在高效性与适用性上存在各自的不 足1 9 9 5 年s e ( 1e 1 b e l g 与陈发来提出的动曲线与动曲面方法大大提高了参数曲线与 曲面的隐式化效率而口基是随动曲线与动曲面理论之后出现在几何造型领域中用以 研究曲线与曲面性质的代数工具，因其特殊的代数与几何性质成为联结曲线和曲面 参数表示和隐式表示之间的桥梁，从而为几何造型提供了极大的方便【1 5 | 我们首先在第二章中准备后面章节所需的理论背景在第三、四章中，我们将依 次讨论基于“基的平面有理曲线和空间有理曲线的奇点理论和计算：对平面有理曲 线，我们将详细讨论曲线上奇点树的计算方法并给出详细的理论证明并且从“基途 径给出代数几何上平面有理瞌线亏格为零的新证明；对空间有理曲线我们将运用口 基给出所有低次空间有理曲线及部分特殊类型的高次空间有理曲线上奇点的类型和数 目上界，并且给出相应的奇点算法在第五、六章中，我们将讨论广受关注的空间有理 曲线的隐式方程问题：在第五章中我们将运用同调代数理论结合肛基详细分析低次 空间有理曲线的动曲面理想生成元。为一般空间有理曲线动曲面理想生成元的研究开 辟可能的道路；而在第六章中，我们集中讨论空间有理曲线在各种定义下的隐式方程 问题，并对部分曲线给出其隐式方程在最后一章中我们将详细讨论有理直纹面自 交线轨迹的计算，并运用“基首次给出有理直纹面自交线轨迹的方程表达 第二章基础知识 本章中我们介绍后续各章所要用到的预备知识 2 1 理想、簇及h i l b e r t 零点定理 令k 为域k h 。，】为域k 上关于变量3 。1 一z 。的7 7 元多项式环本文 中我们的研究均在特征为零的域k 上进行如实数域璁、复数域e 等 定义2 1 1 扛杉令，卜五。为多项式环k 【r 1 一。，】上的多项式，则集合 v ( ： ，) = “1 ? n n ) 瑟： ( 0 1 。：( h ) = o ：1 m ) 称为由多项式 ，j 厶定义的仿射簇以历? 抛7 e 砂 定义2 1 2 印彳，集合ck h ，。】称为多项式环k h ，：r ，】上的理想r i d e n 矽， 如果 0 ， 2 若，9 ，。则，+ 9 ， 了若，且九嚣【c l ：z 。j 。则_ 2 。厂， 定义2 1 3 口令 ，工。k p l 一以，】则理想 称为由多项式 ，厶生成的理想 定义2 1 4 口彰令l ? c 霹1 为仿射簇，则理想 i ( i 厂) = ，k f 上1 ，。】：对于所有( n 1 ，j 口。) 1 ，均有， 1 ：，) = o ) 称为对应仿射簇y 的理想 定义2 1 5 p 设，k 【z 17 ，】为理想，则理想，的根理想r m 出ff 如叫为集 合 以= ，：存在正整数 l 1 使得，m ，) 5 、rjl a h p k 广c 厅危 n 。 r l = 、v f ， 2 0 0 9 年中国科学技术大学博士学位论文 第二章基础知识 第6 页 2 2 模、自由模 命题2 1 6f 历f 钯仃强零点定理，肛若k 为代数闭域，则对于理想，k 【a l 。，z ”】 有 i ( v ( 聊= 以 本文中的理论分析大多在齐次多项式环k f ，。，】与射影空间雌上进行，于 是我们需要如下相应的定义及性质 定义2 1 - 7 口彳，令 ，? ，k 【。o j 以l 为齐次多项式， 则集合 v ( ? ， 。) = ( 口o ，? 订1 ，) 雌：工( m j 一? 仉；) = o 1 冬 s ，n 称为由齐次多项式 ，：厶定义的射影簇仞吻e e 汛，et ，c l 妇t 5 j 定义2 1 8 加多项式环k 【黝，】中的理想称为齐次的，若对于任意，r ? ，的齐次部分五也均在j 中， 命题2 1 9 乒彳，令醚为代数闭域，且令j 为多项式环k 1 - 一，z ”】中的的齐次理 想若1 7 = v ( ，) 是曜中的非空射影簇， 则 2 2 模、自由模 i ( v ( = 以 定义2 2 1 令r 为舍单位元的交换环非空集m 称为月模，若上定义了两种运 算7 7 l ，内元素的加法运算、及r 中元素与m 中元素的乘法运算，且这两种运算满 足： 7 构成阿贝尔加法群，即五，内元素的加法运算满足交换律和结合律，且对任意 ，均有一，a f 从而，+ ( 一，) = 0 1 ，； 2 蟪任意q r 、9 m 均衣q ，u 七g 、= q 七n 9 ； 7 对任意0 ? 6 r ，a ，均有( 口+ 6 ) ，= n ，+ 吁； 彳对任意n ，6 冗，射，均有曲( ，) = n ( 6 ，) ； 曩令f 为冗的单位元，则对任意，有l ，= ， 因此，我们可直接把模m 视为环r 上的向量空间，我们有时也将r 模m 简称 为模m 2 9 年中国科学技术大学博士学位论文 第二章基础知识 第7 页 h 2 3 结式 定义2 2 2 设 ，为冗模，的子集f 称为模 ，的生成集，若对于任意， ，。 均有 ，工f n 1 ，o ，曰使得厂= ( t 1 + ，n ， 若f 为有限集，剐 f 称为 ，的有限生成集进一步地，若对于任意厂 ，= ( t l + ：( l ，。 的表 示方式是唯一的，则f 成为模j ，的基 定义2 2 3 若模a ，存在有限生成集，则称为有限生成模；进一步地，若模1 j f 存 在基p ，则称为自由模 2 3 结式 定义2 3 1 口令户( 8 ) ? q ( s ) 分别为多项式环酞h 上的n 次和m 次多项式。且 p ( s ) = p 。8 ”+ p 一1 $ ”一1 + + 伽，q ( s ) = ，。亭”+ ( f m 一1 $ ”卜1 + + 咖 则多项式p ( s ) 与q ( s ) 的勖阮e s 把r 矩阵为 s 州p tq ) = 扔lp n 一1 p o a ，一1 吼l g ，月舔，一l q o 多项式i p ( s ) 和q ( s ) 的勖如，e s f e r 结式为r e s ( p tq ) = d e t ( s y l ( p q ) ) ( 2 3 1 ) 定义2 3 2 盘刃令p ( s ) ，q ( s ) 分别为多项式环r h 上的 次和m 次多项式，且 7 l m 设 p ( s j = 2 k 矿+ p n l s 钳一1 + + 伽，q ( 5 ) = 口，。s m + 口m l s 7 n 一1 + + 细 则多项式p ( s ) 与q ( s ) 的b e ：o 讲矩阵( b j ) 的定义为： l n i l l p 一l 一力 最= 仞t 一如劬+ 1 + 七一幻一知+ 1 + 静) ， 玉= m a x ( o 。f j ) 其中吼= o 。f = 7 n + l ，n 多项式p ( s ) 与q ( 8 ) 的b e z d 缸结式为其口e 加让t 矩阵 ( b 0 ) 的行列式 2 0 f j g 年 第二章基础知识 中国科学技术大学博士学位论文第8 页 2 4 动曲线与动曲面 引理2 3 3 鬣刃设，( s ) 和夕( s ) 分别为，n 次和，1 次的多项式( 扎n 1 ) 记厂! 夕的 b e z d “矩阵为b ( ，夕) 则。，和9 的最大公因子为r 次当且仅当 1 锄k ( b ( ，9 ) ) = ，2 一 定义2 3 4 弘令p ( ? ) ，q ( 。r ) 袋【丁】：且7 ，= d p g ( p ) ”2 = f 1 p g ( q ) ： p ( a ) = j ) o 。+ p 1 矿一1 + + j k ，q ( a ) = 矶i a 州+ q l z 7 n 一1 + + g 。 则p ( a ) 和q ( 丁) 的第f 个主子结式系数p s c ，( p q ) 是下面矩阵的行列式? n + 一量 协l p n 一毋+ m l ： p o 胁l 一 仍n 一捌+ 一1 口m 一 其中i ( 1 ：，n ) ，且对于f n ，歹 ，7 7 有a = 劬= o 引理2 3 5 刎令p ( r ) ，q ( a ) r k j ，且n = d e g ( p ) m = d e g ( q ) ： 尸( 丁) = p o ，。+ 刀13 - n 一1 + + ，k ，q 扛) = g o z 竹。+ 口l a ：m 一1 + + g ，n 令p s c f ( p ，q ) 为关于p i q 的第t 个主子结式系数那么 啡刚= t 错雠篮暑砷- l 纠钏 ( 2 3 2 ) 2 4 动曲线与动曲面 令r 旧为实系数多项式环一条动直线( m o v i n gl m e ) 是指一族与参数t 相对应 的直线： 己( z ，掣， ；) ：= a ) a ：+ b ( f ) 耖+ c ( f ) t ) = o ，( 2 4 1 ) z 一 一 ，f ， m ilj、，、rj 2 f f j 9 年 第二章基础知识 中国科学技术大学博士学位论文第。页 珏4 动曲线与动曲面 其中4 ( 班b ( f ) c ( f ) 璁”有时我们也将动直线( 2 4 1 ) 记为l ( f ) = ( - ( 班b ( f ) ! f ( t ) ) 动直线( 2 4 1 ) 的次数定义为多项式4 ( f ) b ( f ) ：c ( f ) 的最高次数 我们称动直线l ( f ) 伴随( f o l l u w ) 平面有理曲线p ( f ) = ( 口( n6 ( ) ，( ，( ) ) 若 l ( ) p ( f ) = 。 ) 口( f ) + b ( f ) 6 ( ) + f ( z ) c ( f ) 三o ( 2 4 2 ) 式( 2 = 2 ) 的几何意义为，对于任意给定的参数值“直线l ( 总经过点p f 该情 形下? 我们也称动直线l ( f ) 为平面有理曲线p ( ，j 的龄z 、g 、t 类似地令r k ，j 为关于参数s f 的实系数多项式环一个动平面( a f o 、i n gp h j p ) 是 指一族与参数s t 相对应的平面： 三( 以。：u ：s f ) ：= ( s ，f ) c + b ( s f ) ! ，+ c ( s t ) ：+ d ( s 。t ) “，= ( ( 2 4 3 ) 其中- ( s ) b ( s ，nc ( $ ：班d ( s ，f ) 璁b 曩我们也可记动平面( 2 4 3 ) 为l f ) = f 。4 ( s 于) b f ) ：c ( $ ，) ，d ( s 州我们称动平面l ( s ，f ) 伴随( f 0 1 1 0 w ) 曲面p ( $ ：) = ( n ( s ? f ) ， 6 f s jf ) ：c ( $ 。t ) 。d ( s ，啪，若 l ( s ：) p ( s ) = a ( s z ) c ( s 于) + b ( $ ，f ) 易( s ，f ) + c ( s ) c ( 8 ，f ) 十d ( s ，f ) d ( 8 ) 兰0 ( 2 4 4 ) 式( 2 4 4 ) 的几何意义为，对于任意给定的参数对( $ o ，平面l ( s ( i - f o ) 总经过曲面上 的点p ( s r i 幻) 该情形下，动平面l f s ) 也称为有理曲面p ( s ：t ) 的s y z y 舒： 我们可分别将动直线和动平面的概念推广到动曲线( m f ) 、i n g ( ! t m ) 和动曲面 ( l o 、i 1 1 9s 1 l l 敝- e ) 一条动曲线( mo 、i n gc u n e ) 是指一族与参数f 相对应的曲线： ( x ：f ) ：= 乃( x ) ( 2 4 5 ) j = o 其中x = ( z ，秒：“，) j ( x ) 为关于x 的齐次多项式动曲线( x ：t ) 伴随( f o l l o w ) 平面 有理曲线p ( ) = ( n ( f l ) 加( ”，c ( f ) ) ，若 己( p ( 帅) = 厶( a ( 蚰( 啦( ) ) 兰o j = ) 一个动曲面( m o v j l 瞎s u r f k e ) 是指一族与参数( s ，t ) 相对应的曲面： ( x ；s ，芒) ：= k ( x ) ，t ) = o ， ( 2 4 6 ) f = 1 其中x = ( z ：l 0 ，彬) ， f ( x ) = 0 为一组隐式曲面，( s t ) ， = 1 ，? 盯为一组b l e n d i n g 函数动曲面l ( x ；s ，f ) 伴随( f o l l ( ) w ) 有理益面p ( s ，t ) = ( n ( s ，) 6 ( s ，f ) c ( s ，f ) d ( s ：) ) ，若 l ( p ( s ，f ) m f ) 兰o 2 0 0 9 年 第二章基础知识 中国科学技术大学博士学位论文第1 0 页 篮5 有理曲线与曲面的p 基 动曲线与动衄面方法可用于曲线与曲面的隐式化对7 1 次平面有理曲线p ( t ) 我 们可用如下方法求得其隐式方程 定理2 4 1 ，7 形存在 个线性无关的7 2 一1 次动直线 f j = ( n j j ，6 玎，c “) 为常向量： = o ，j 一1 伴随7 次平面有理曲线p ( 令x = ( z 封，t r ) ，且定义 ，( x ) = 厶1 0 x 厶 竹一1 x 一1 。o x l ，一1 疗一1 x 则，( x ) = 0 为曲线p ( t ) 的隐式方程 类似地，对有理曲面p ( s ，f ) 的隐式化，我们有 定理2 4 2 俐令x = ( z ，y 。，u ，) 若有矿个动曲面 丘腰：s t ) = 嗽x ) ) = o ，j ；= l ? ，矿 i = l 伴随曲面p ( s ，f ) ? 定义 ，( x ) = 若，( x ) o ，则，( x ) = o 为曲面p ( s ，) 的隐式方程 2 5 有理曲线与曲面的基 2 5 1平面有理曲线的p 基 佗次平面有理曲线p ( s ) 的参数方程为 p ( s ) = ( n ( s ) ( s ) ：c ( s ) ) ， 其中口( s ) ，6 ( s ) 。c ( s ) r 【s 】且m a x ( d e g ( n ) ，d e g ( 6 ) d e g ( c ) ) = 住同时本文中我们将假 设g c d ( 口，6 ，c ) = 1 ，且q ( s ) ，6 ( s ) ，c ( 8 ) 线性无关 我们记所有伴随平面有理曲线p ( s ) 的动直线组成的集合为m p ，则嗨是二维 自由模f 1 5 】我们称a 勾为平面有理曲线p ( 占) 的s y z y g y 模平面有理曲线的基由 如下定义给出 2 f w 鹏年 第二章基础知识 中国科学技术大学博士学位论文第l l 页 5 2 石有理曲线与曲面的，基 定义2 5 1 肛彤 动直线p ( s ) q ( s ) 为平面有理曲线p 0 ) 的一组p 基，若 j p ( s ) ：q ( $ ) 为模m p 的一组基，即任意动直线l ( $ ) m j ，均可写成 l s ) = 7 j l ( 8 ) p ( s ) + j j 2 ( $ ) q ( $ ) 其中7 7 l ，：( 6 ) r 【5 j j 且 7 p ( ，) q f s ) 是一纽具有最低次数的m 0 的基即若假设d e g f p ) sd 鸭f q ) ? 则对于 任意一组m j ，的基西( 8 ) 百( s ) ( 设d 唱( 参) d e g ( 面) ) ? 必有d 唱( p ) sd e g f 声) d p g ( q ) d e g ( 萄) 注记2 5 2 设p ( s ) q ( s ) 为平面有理曲线p ( $ ) 的，基令x = ( r ，私，“，) 剃我们也 常称p ( s ：z t r ) = p ( s j x 口( $ ：z ，耖。t c ，) = q ( s ) x 为曲线p ( $ ) 的弘基 任意平面有理曲线都存在基【1 5 平面有理曲线的弘基算法见【2 8 1 下面我们 列出平面有理曲线“基的常用性质 命题2 5 3 ，2 影设p ( s ) q ( 8 ) 为平面有理曲线p ( s ) 的一组肛基，则 j p ( s ) q ( s ) 是酞 s 】一线性无关的 2 对于任意参数值s 1 ) ：p ( s o ) o 且q ( 8 0 ) 0 7 对于任意参数值s o j 向量p ( $ o ) 和q ( s o ) 均线性无关 彳p ( s ) q ( s ) = 七p ( $ ) ，其中角为非零常数 5 d e g ( p ) + d e g ( q ) = d e g ( p ) 岔r 档。( p x ：q x ) = o 为曲线p ( s ) 的隐式方程，其中x = 和，耵，) 注记2 5 4 关于结式r e s ，( p ，口) 的定义参见本文第二章 值得指出的是，平面有理曲线的基并不唯一，但其次数d e g ( p ) = p 与d e g ( q ) = n 一肛是一定的：这里n 为曲线p ( s ) 的次数事实上我们有如下结论 命题2 5 5 胆髟设p ( s ) ，q ( s ) 为平面有理曲线p ( 8 ) 的一组弘基若d e g ( p ) = d e g ( q ) ， 则对于满足耐一声7 0 的常数臼，7 ，6 p = ( 1 = p + 廖q 和百= ，p + 6 q 也是曲线p ( s ) 的一组p 基? 若d e g f p ) 斟在每个对应点q 的参数处均线性无关因此由( 3 3 1 6 ) 有 墙( f ，g ) = k ( fg ) ( 3 3 1 7 ) 口 由引理3 3 1 5 ：为证明定理3 3 1 4 我们可以用另一组几何意义明显的帮z y 盯代 替f ，基p ，q 不失一般性：假设奇点q = ( o ，0 ，1 ) 则平面有理盐线p ( 8 ，卅具有如下参数方程： p ( s ，让) = ( 口( s ? 札) 危( s ，札) ，6 ( s ，u ) ，2 j ( s 。t ) ，c ( s ，钉) ) ，( 3 3 1 8 ) 这里g 州( ，c ) = g c d ( a j6 ) = 1 ，且 为奇点q 的逆公式此外：若g c d ( n ，1 ) 1 我们 可通过坐标变换使得铲d ( n ， ) = 1 显然，参数方程( 3 3 1 8 ) 有如下一组s y z y 鳃：