弹簧振子振动周期的公式讨论.doc

弹簧振子振动周期的公式讨论陈思平西华师范大学物理与电子信息学院 指导教师：罗志全 四川南充 637002摘要：本论文主要研究弹簧振子在振动过程中，如果改变弹簧振子的放置方式、不忽略弹簧质量与摩擦力、复杂的振子系统振动时以及在几种特殊情况下振子的振动周期公式。关键词：弹簧振子；周期公式The discussion of Spring Vibration cycle formulaChen SipingDepartment of physics and electronic information, China West Normal University Instructor: Luo Zhiquan SichuanNanchong 637002Abstract: In the thesis,they are researched mainly that the spring oscillator in the vibration process, if changes in spring placement of oscillator,not ignore the spring mass and friction, the complex oscillator vibration and in some special cases, the vibration cycle oscillator formula.Key words: spring oscillator; cycle formula目录摘要 1ABSTRACT 11.引言 22.理想状态下弹簧振子的相关结论 23.放置方式对振子振动周期的影响 34.摩擦力对振子振动周期的影响 45.弹簧质量对振子振动周期的影响 76.复杂弹簧振子系统的振动周期 87.几种特殊情况下弹簧振子系统的周期计算 10结论 12参考文献 13致谢 131. 引言 振动现象在自然界中是广泛存在的，简谐运动又是最简单、最基本的振动形式。在物理学研究中，人们在观察和实验的基础上，为了便于对比较复杂问题的研究，就要充分运用抽象思维能力，重点考虑现象中起决定性作用的主要因素和过程，把研究对象形式化、纯粹化，这就是科学研究中的理想化方法。建立理想模型就是理想化方法表现的一种形式。而理想模型是以客观实体为原型所进行的科学抽象的产物，是对原型客体主要特征的反映；由理想模型建立起来的相应理论都要一定的适用范围。图1.1 弹簧振子理想模型 因而在研究简谐运动时，就借助了理想化物理模型弹簧振子系统来研究，弹簧振子如图（1.1）所示，其中的小球常称为振子，可将其看作质量为m的质点。理想化即指：一，系统中的弹簧为“轻”弹簧，其质量比振子的质量小得多，可忽略不计；二，系统中的振子都是在“光滑”面上运动，忽略振子在运动过程中受到的摩擦力，并且不考虑空气阻力。这样，在忽略这些外在因素后，我们就得到了理想化状态下弹簧振子振动周期。但是，如果我们将这些外部因素考虑进来，即不忽略弹簧质量、外界阻力时，弹簧振子的振动周期又会是怎样的？如果改变了弹簧振子的放置方式以及复杂的振子系统振动，振动周期又会怎样？为了得到上述物理问题的结论，本论文就将对上述问题进行研究。2.理想状态下弹簧振子的相关结论如图（1.1）所示，在水平面放置一理想化物理模型弹簧振子，在振子运动过程中，由于受到线性回复力作用，振子做简谐运动。由牛顿第二定律F=ma可知，其运动方程为：即 为弹簧劲度系数令， 则有为弹簧振子的振动频率上式为一个二阶线性常微分方程，根据微分方程理论，弹簧振子运动为弹簧振子的振幅，为弹簧振子的初相位，、为积分常数，可由初始条件确定。根据弹簧振子运动方程的解 的性质，可知振子振动的位移是时间t的周期函数，其固有周期大小即为 3.放置方式对振子振动周期的影响 3.1 如图（ 3.1）所示，竖直放置的理想化物理模型弹簧振子在运动过程中，振子除了要受到弹簧线性回复力的作用之外，还要受到一个恒力-重力的作用。为弹簧的劲度系数，设为弹簧振子的自然长度，为弹簧振子静止时弹簧的伸长量 ，有：。竖直向下为X轴的正方向，当振子运动到位移处于坐标位置处时，根据牛顿定律，振子的运动方程为 即 已知 ，则有 图3.1 竖直放置的弹簧振子 可知竖直放置的弹簧振子与水平放置时的运动方程相同，则其振动周期公式同为 由此可见，竖直放置即在恒力作用下的弹簧振子的振动周期不变，运动表达式不变。3.2 如图（3.2）所示，将理想化物理模型弹簧振子放在一个倾角为的斜面上。振子与斜面有摩擦力，且在振动过程中，由于振子的体积较大，还会受到空气的阻力。但在讨论过程中，忽略这些外力的作用。设为弹簧振子的自然长度，为弹簧振子静止时弹簧的伸长量 ，如图受力分析，在弹簧振子系统处于平衡位置时，有。沿斜面向下为X轴的正方向，当振子运动到位移处于坐标位置处时，根据牛顿第二定律，振子的运动方程为图3.2 倾斜放置的弹簧振子 即 同理，由，有可知竖直放置的弹簧振子与水平放置时的运动方程相同，则其振动周期公式同为 由此可见，沿倾角为的斜面放置的弹簧振子的振动周期不变，运动表达式不变。4.摩擦力对振子振动周期的影响对于理想弹簧振子，设弹簧的劲度系数为,振子质量为， 振子与水平面滑动摩擦系数为，静摩擦系数为。 X轴方向水平向右，弹簧振子的平衡位置为X 轴原点O。在弹簧振子的运动过程中，振子受到摩擦力大小为 , 摩擦力方向与振子运动的方向相反。若用符号 来表示任意值 的正负号, 则这样, 当时, ；当 时, 。当 时, 弹簧振子的运动方程为 令 ， 则有 （1）设时， ， (此时摩擦力不应超过最大静摩擦力 ，因为) 。为了使振子开始运动， 必须使拉振子回到平衡位置的弹簧的反作用力的大小超过最大静摩擦力, 即 ，。这个不等式的成立表明,，振子已偏离平衡位置一段足够远的距离。令， 振子就开始向 OX轴的负方向运动, 即， 则(1) 式变为 (2)(2) 式满足起始条件的积分是由此得到 在， 即 时， 仍为负值，在 瞬时，的值变为零, 并改变正负号, 的值为注意到， 如果 ， 则振动不会停止。在这种情况下，这样, 在 瞬时, 振子开始朝向X 轴的正方向运动。这就是说， 时, 在某一时间间隔内 , , 则(1) 式变为 （3）注意到起始条件是 时, ，。同前面的讨论一样, 可得出, 在瞬时有 如果 , 则振子的运动也不会停止。同样可以证明。这样, 就可以得出弹簧振子离开平衡位置的连续最大偏位移的大小是 由此可知, 振子的每一偏位移其绝对值比前一个偏位移减少了 。与此相对应, 弹簧振子运动中止的瞬时为 在平衡位置同一侧的两个中止瞬时之间的时间间隔等于 因为, 所以。 此式说明, 当考虑弹簧振子运动中受到摩擦力作用时, 其振动周期与无摩擦(或忽略摩擦力) 时弹簧振子的振动周期相同。上面的讨论说明, 由于摩擦力的存在, 使得实际的弹簧振子的运动并不严格地做简谐振动；但在其正向或负向的运动过程中仍分别为简谐振动, 振子的振动周期也并不发生改变； 在振动过程中, 由于摩擦力的影响, 弹簧振子偏离平衡位置的位移的大小, 则每半周期按算术级数递减 。 5.弹簧质量对振子振动周期的影响在讨论关于弹簧振子问题时,我们对弹簧振子系统做了理想化的假设,认为弹簧振子为一理想化模型，即认为弹簧本身的质量远远小于振子质量，可忽略。现在就讨论不忽略弹簧振子质量时系统的固有周期。图5.1 振子振动时弹簧质量的表示 如图（5.1）所示,设弹簧的质量为远远小于悬挂的振子质量。取悬挂时静止的点为原点O,竖直向下为X轴正方向，当振子运动时,在距O点为的位置处取弹簧元段,设其质量为。振子振动时,弹簧中各元段随着振子作上下振动，但同一时刻，各元段的运动速度不同,且与振子运动速度也不同。设弹簧是均匀的,则其元段的质量为: （1）为弹簧在该时刻的长度，因为远远小于,实际可认为弹簧沿它的长度成正比地伸长,故应有 即: （2） 为处弹簧元段的运动速度,为弹簧下端悬挂的振子在相同时刻的运动速度，弹簧振动时具有的动能应为该时刻各元段的动能之和,即 （3）将(1)、(2)式及代入(3)式得 该时刻振子具有的动能为因此,振动系统在该时刻具有的总动能为: 为该系统的折合质量，其固有振动周期为:可见,考虑弹簧的质量存在时其振动周期是变长的。6.复杂弹簧振子系统的振动周期 6.1 多弹簧振子系统的振动周期如图（6.1）所示，弹簧振子系统可以是多样化的。三条长度、劲度系数均相同的轻弹簧,共同系在质量为的振子而处于平衡时,上面的两条弹簧伸长了同样的长度,下面的弹簧被压缩了。选取平衡位置为原点O,坚直向下为X轴正方向。振子的位置处于坐标为处时,根据牛顿第二定律可得整理得令,得图6.1 多弹簧振子系统 其方程的解为 可知,其固有振动周期为 可见这样的运动仍是简谐振动,但是振子固有周期比单个弹簧的振动系统的周期变小了。 （2）弹簧多振子系统的振动周期图6.2 弹簧多振子系统 对于自然界中的双原子分子(H2,CO,Hcl等),它们可沿着对称轴振动,这些分子和原子之间的耦合是电磁的。为研究方便,我们可想象这些原子是用很小的无质量的弹簧连接起来,即把双原子分子沿对称轴的振动,抽象为如图（6.2）所示,用一根质量可忽略、劲度系数为的弹簧连接,质量分别为和的两振子在光滑的水平面上作自由振动的二体振动理想模型。这里讨论这个二体理想模型的振动周期。 设弹簧的自由长度为,用和表示弹簧的两个端点的位置,则在任一时刻弹簧的长度为。弹簧的长度变化为: 以,即弹簧被拉长作具体讨论,在这种情况下, 受力向左, 受力向右，坐标轴取向如图（6.2）所示,根据牛顿第二定律,对和分别有如下方程: 以乘上面方程然后相减得: 令为系统的折合质量,考虑到且为常数,即得: 其中 为常数,可见这关系式与一端固定的弹簧振子所得的关系式类似,此处是振子离开它们的平衡位量的相对位移,质量是二体振动系统折合质量。与上述同样方法可求得此二体振动系统的固有振动周期为: 可是,其振动周期比用相同倔强系数的弹簧,使其一端固定、一端用二振子中的任一振子作为弹簧振子的振动周期要小。可以这么看,弹簧一端固定,就相当于二体中的任一振子的质量为无限大。如上式中,则即相当于质量为的弹簧振子的振动 。7.几种特殊情况下弹簧振子系统的周期计算弹簧振子系统固有周期公式 中的“”是弹簧的劲度系数, 故在稍复杂一些的问题中, 求解周期的问题往往归结为如何分析回复力, 从而确定“”。下面通过三个例题说明在匀变速系统、连接体及振子纯滚动情况下弹簧振动系统周期的确定。（弹簧质量不计）例1 将一弹簧振子竖直悬挂在以加速度匀加速上升的电梯中, 如图所示, 设弹簧回复系数为, 振子质童为, 求振动系统的周期。解:取升降机为非惯性系, 振子受竖直向上的弹力、竖直向下的重力和惯性力。设弹簧伸长时, 振子处于平衡状态, 则可得以振子的平衡位置为坐标原点, 竖直向下为X轴正方向, 振子在任一位置时, 则引起振动的回复力为可见振动系统的周期仍为 例2 在光滑水平面上, 有两个质量分别为和的物体, 中间联着一回复系数为的轻弹簧, 弹簧被压缩后用细绳固定。烧断细绳后, 求系统的振动周期。解：由动量守恒定律分析, 系统的动量为零, 两个物体在内力作用下, 必然运动方向总是相反, 即同时向外, 又同时向内, 弹簧回复原长时, 二者分别到达自己的平衡位置, 也就是说两物体的振动是同频率反位相的。为应用周期公式, 以系统的质心为界把弹簧分成两段。由于质心位置不变, 这两段分别引起和的振动, 如同质心处固定一样, 只是“”不同了。设弹簧恢复原长时, 质心距、的距离分别为、, 由质心位置不变可知 又因弹簧的回复系数与其长度成反比, 故有所以物体的振动周期为同理可求得、, 且可得。从极限情况考虑, 当 时, 有，这正是我们预期的结果。例3 如图所示, 回复系数为k的轻弹簧一端固定, 另一端连接在质量为m的均质圆柱体的轴上, 圆柱体绕其轴在水平面上作纯滚动。令图柱体偏离平衡位置, 使系统作简谐振动, 求系统的振动周期。解：以平衡位置为坐标原点, 水平向右为X轴正方向, 则圆柱体在坐标处时的能量为圆柱体的平动动能 圆柱体的转动动能 振动系统的弹性势能 根据机械能守恒定律有(常量) (1)又因 (2) （无滑滚动的条件） (3) 将（2）式和（3）式代入（1）式后，对时间求导并整理可得令，所以系统的振动周期为 结论综上所述，在现实生活中，弹簧振子的放置方式对弹簧振子振动周期没有影响；当考虑弹簧振子运动中受到摩擦力作用时, 其振动周期与无摩擦(或忽略摩擦力) 时弹簧振子的振动周期相同；考虑弹簧的质量存在时其振动周期发生了改变，振动周期是变长的；多弹簧振子系统振子固有周期比单个弹簧的振动系统的周期变小，弹簧多振子系统振子振动周期比用相同倔强系数的弹簧,使其一端固定、一端