微分方程单元测试1-2-3参考答案.doc

解方程 。 解. 解方程组得。令 代入原方程，则有 。再令，即，则上式化为，两边同时积分，得，即。所以，原方程的通解为：，化简为。这里，为任意常数。2、解方程 。解 将原方程改为，这是一个以为函数，为自变量的一阶线性微分方程。容易求得其齐次方程的解为 。令原方程的解为，对其两边关于求导，得到，并代入原方程得到，积分得到。因此原方程的通解为 。3、解方程 。解 原方程可以变形为 即 。积分之，则得到这就是原方程的通解。4、解方程 。解 因为，故方程是恰当微分方程。把方程重新“分项组合”，得到，即 ，于是，方程的通解为 ，这里是任意常数。5、解方程。解 原方程可以化为 。而也是 的积分因子。因此。即。因此原方程的通解为。6、求微分方程满足初始条件的特解。解 原方程有积分因子。于是原方程可化为，即，从而。因此原方程的的通解为。将初值代入得。所以原方程的特解为。7、解方程，并求其奇解。解 令 得到， （1） 两边对求导得到 。 （3） 由，并结合 得通解为。 （5） 其次由，并结合 得到通解为 。 （7）8、解Ricccati方程。解 （1）可以看出是方程的特解。令，则原方程变形为 ，即 。积分之，得到 。把代入，即得方程的通解为 。9、给定方程 ，试求在时的表达式。解设，则，由教材中解对初值的可微性定理的证明可得 ， ，当时，对应地得到，。所以，在时，。10、如果在上连续且（常数），证明方程的任意解有界。解：11、证明一阶非齐次线性微分方程的任意两解之差必为相应的齐次线性微分方程之解。证明（1）设和是微分方程的任意两个解。则它们满足两式相减，得到 ，即得是微分方程（2.3）的解。12、试求具有形式为的积分因子的充要条件。解 方程具有的积分因子的充要条件是 ，即 。令，则，所以式变为 ，即 ，当且仅当时，可以解出，所以，方程具有形为的积分因子的充要条件为 。13、求具有性质 的函数，已知存在。解 首先，令。由已知可得 化简为 ，所以 。 另外，由函数导数的定义，我们有 ，又因为 ，所以 变形为 两边同时积分得 ， 这里为任意常数当时，对应的有，即得。所以满足条件的函数为。14、求初值问题在上的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。解这里，是及中的最小者，故，在上函数的利普希茨常数可取为，因为 。，由误差估计教材中公式（3.19）得。所以，已知初值问题的解的存在区间为，第二次近似值为，在解的存在区间的误差估计为。15、如果函数于带域上连续且关于满足利普希茨条件，则cauchy问题的解于整个区间上存在且唯一，试证明之。证明 证明方法类似于教材中定理1.由教材中命题1我们知，方程（3.1）满足条件的解等价于求积分方程，的连续解，因此我们只要证明上述积分方程的解的存在唯一性即可。现取 ， 易见在上存在且连续。下面证明函数列在上一致收敛。考察级数 ，。 取，由式有 , 及 .利用利普希茨条件及，得到于是根据数学归纳法可知：。上式右端是正项收敛级数的一般项。由Weierstrass判别法，知级数在上一致收敛