改善最小二乘多项式的数值不稳定性.doc

实验目的：探索改善最小二乘多项式的数值不稳定性的可能实验内容：在区间取个等距节点，以相应节点上的值作为数据样本，以Legendre多项式为基函数，作出次的最小二乘多项式，画出之间的曲线。其中，A是确定最小二乘多项式系数的矩阵。计算出不同多项式的最小偏差，并与实验二作比较。实验结果：设拟合多项式为其中，利用MATLAB中的函数legendre(n,X)可以计算出的具体数值。对于不同的值，求得对应的多项式系数及偏差列入表中表1 次最小二乘多项式系数及偏差实验二中31.17567 1.10378 0.360234 0.07079953.1369e-043.1369e-0451.1752 1.10364 0.357833 0.0704575 0.0100009 0.001102462.2457e-082.2457e-0871.1752 1.10364 0.357814 0.0704556 0.00996527 0.00109959 9.96373e-005 7.62962e-0064.0116e-134.0116e-1391.1752 1.10364 0.357814 0.0704556 0.00996513 0.00109959 9.94548e-005 7.62056e-006 5.06791e-007 2.9722e-008 2.2582e-182.2582e-18111.1752 1.10364 0.357814 0.0704556 0.00996513 0.00109959 9.94543e-005 7.62054e-006 5.06472e-007 2.97181e-008 1.56039e-009 7.41442e-011 4.4173e-247.5119e-24131.1752 1.10364 0.357814 0.0704556 0.00996513 0.00109959 9.94543e-005 7.62054e-006 5.06472e-007 2.97181e-008 1.56089e-009 7.41995e-011 3.21999e-012 1.30109e-013 1.0606e-299.0515e-23151.1752 1.10364 0.357814 0.0704556 0.00996513 0.00109959 9.94543e-005 7.62054e-006 5.06472e-007 2.97181e-008 1.56089e-009 7.42165e-011 3.22934e-012 1.54797e-013 1.20189e-014 2.1157e-014 4.1766e-293.4205e-21图1 关系曲线从图中可以看出，随着拟合多项式的次数增大，A的条件数迅速增大，但要远小于实验二中以为基函数时的条件数。从偏差中反映，次数时两种方法的偏差基本相同，而随着次数继续增加，以Legendre多项式为基的偏差要小于相同次数下实验二中的偏差。而且用这种方法直到次数达到15偏差才转而变大，说明最小二乘多项式的数值不稳定性得到了改善。Matlab程序x=-1:2/19:1;y=exp(x);acond=zeros(1,7);delta=zeros(1,7);P=zeros(16,20);for n=0:15 Pt=legendre(n,x); P(n+1,:)=Pt(1,:);end fp=fopen(c.txt,w);for l=3:2:15 A=zeros(l+1); B=zeros(l+1,1); for i=1:l+1 for j=i:l+1 A(i,j)=P(i,:)*P(j,:); A(j,i)=A(i,j); end B(i,1)=P(i,:)*y; end c=(AB); yf=c*P(1:l+1,:); delta(l-1)/2)=sum(yf-y).2); fprintf(fp,%d:n,l); fprintf(fp,%g ,c); fprintf(fp,n); acond