理论力学部分答案.doc

2.1质点在有心力的作用下运动，质点的速度的大小为，这里a是常数。已知时，速度与矢径间夹角为。求质点的轨道方程。解：质点受到有心力的作用，在极坐标系中有：，化简得：，变形有：分离变量：，积分有： c为积分常数初始条件：时 代入初始条件可得：，故又速度与矢径间夹角为，与比较可知：所以质点的轨道方程为：2.14试求出上题中质点受力心散射后的散射角，并求出微分散射截面。解：由上题可知，即式中，当时，即， 所以两支渐近线分别对应的角为：，两支渐近线之间的夹角为：那么散射角为：，或微分散射截面为：由散射角公式微分可知：所以把代入可得：即2.15在光滑水平桌面上，两个质量分别为和的质点由一不可伸长的绳联结，绳穿过固定在水平桌面上的光滑小环，如图所示，若与小环相距时获得垂直于绳的初速，试写出质点的轨道微分方程，并解出它的运动轨道方程。解：设绳长为，建立平面极坐标系，选择圆环为极点，质点 初始时绳方向为极轴。若的位置矢量为，绳子张力为，则的位置矢量为，绳子张力为对： (1)对： (2)令，代入(1)和(2)有： (3) (4)联立(3)和(4)有： (5)又初始时刻，质点状态：，即，由(5)式知 (6)把初始条件代入(5)、(6)可得：，2.16质量为的质点，置于光滑的水平桌面上运动，如图所示。此质点系有一根轻绳，绳子穿过桌面处的光滑小孔下垂，并挂有一同样质量的质点B。若质点A在桌面上离小孔距离为处，沿垂直于绳子方向以初速率射出，证明质点在此后运动中离点的距离必在与之间。证明：采用柱坐标系，圆环为极点，轴垂直于桌面。若的的位置矢量为，绳子张力为则的位置矢量为，绳子张力为对：角动量守恒有： (1)牛顿第二定律： (2)对：牛顿第二定律： (3)A初始时刻的状态：， (4)由(2)、(3)有：，即分离变量：积分有：代入(4)有：所以由(1)知：，即因此为求的范围，即求的最大值和最小值，数学上体现在求从而令变形有：因式分解：解出或(舍去)所以质点在此后运动中离点的距离必在与之间。或利用角动量守恒和机械能守恒： (对A) (对AB)同样可得3.7一单摆摆长为，悬挂点在水平线上作简谐振动：。这里是悬挂点离开水平线上的固定点O的距离，如图所示。开始时摆锤沿铅直下垂，相对于的速度为零。证明单摆此后的微小振动规律为 解:以摆锤为原点建立坐标系,如右图,则：C相对于点运动状况：（利用：）再利用微振动，并令有： 可解得: 并代入初始条件得：， 故:积分并代入,得: 3.12质量为的小环，套在半径为的光滑圆圈上，若圆圈在水平面内以匀角速度绕其圆周上的一点转动。试分别写出小环沿圆圈切线方向和法线方向的运动微分方程（以小环相对于圆圈绕圆心转过的角度为参量写出），设圆圈对小环的作用力大小以表示，并可略去小环重力。解：如右图所示建立坐标系,则： 则： 又因为：，在方向投影： 得切线方向：在方向投影：得在法线方向：3.15在北纬处，一质点以初速率竖直上抛，到达高度为时又落回地面。考虑地球的自转效应，不计空气的阻力，求质点落地位置与上抛点之间的距离；是偏东还是偏西？为什么？解：依地球上质点运动方程： 初始条件为对式进行第一次积分代入得：积分得：代入初始条件得： 落地时：代入上式得： （） 故偏西。3.16在北纬的地方，以仰角向东方发射一炮弹，炮弹的出口速率为，考虑地球的自转效应，证明炮弹地点的横向偏离为 。解：（此题与上题解题基本相同）初始条件变为：对进行积分代入得：积分并代入初始条件得： 代入得：代入 得：当落地时： 并代入上式得：即横向偏离：5.14一矩形薄板，边长分别为和，以角速度绕对角线转动。今若突然改为绕边转动，求此时薄板的角速度。解：如右图所示，则： 对OA轴： 设绕OB轴的角速度为：则有：在转换时，方向有冲量矩作用，而方向动量矩守恒，故有： 得： 5.18质量为的平板，受水平力的作用，在一不光滑的水平面上运动。平板与水平面间的磨擦系数为。平板上放有一质量为的匀质实心圆球，在平板上作纯滚动，试求出平板的加速度.解：运动时，球与板之间无滑动，则：设球与板磨擦力为，则：可得：故： 而： 依能量守恒，有：得：5.19一粗糙的半糙的半球形碗，半径为，另有