现代控制理论第5章.doc

现代控制理论基础第五章(讲义)第五章 Lyapunov稳定性分析和二次型最优控制5.1 概述 本章首先讨论Lyapunov稳定性分析，然后介绍线性二次型最优控制问题。我们将使用Lyapunov稳定性方法作为线性二次型最优控制系统设计的基础。 应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。 虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。本章5.1节为概述。5.2节介绍Lyapunov意义下的稳定性定义。5.3节给出Lyapunov稳定性定理，并将其应用于非线性系统的稳定性分析。5.4节讨论线性定常系统的Lyapunov稳定性分析。5.5节给出模型参考控制系统，首先用公式表示Lyapunov稳定性条件，然后在这些条件的限制下设计系统。5.6节讨论线性二次型最优控制系统，将采用Lyapunov稳定性方程导出线性二次型最优控制的条件。5.7节给出线性二次型最优控制问题的MATLAB解法。5.2 Lyapunov意义下的稳定性问题 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。 本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外，它还可应用于线性二次型最优控制问题。5.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 考虑如下非线性系统(5.1)式中x为n维状态向量，是变量x1,x2,xn和t的n维向量函数。假设在给定的初始条件下，式(5.1）有唯一解。当t =to时，。于是 在式(5.1）的系统中，总存在, 对所有t(5.2)则称为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线性定常的，也就是说，则当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在）。平衡状态的确定不包括式(5.1）的系统微分方程的解，只涉及式(5.2）的解。 任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点()处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。5.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义 下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义，然后回顾某些必要的数学基础，以便在下一小节具体给出Lyapunov稳定性定理。定义5.1 (Lyapunov意义下的稳定) 设系统，之平衡状态的H邻域为其中，为向量的2范数或欧几里德范数，即 类似地，也可以相应定义球域S(e）和S(d）。在H邻域内，若对于任意给定的，均有(1) 如果对应于每一个S(e），存在一个S(d），使得当t趋于无穷时，始于S(d)的轨迹不脱离S(e），则式(5.1）系统之平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。一般地，实数d与e有关，通常也与t0有关。如果d 与t0无关，则此时平衡状态称为一致稳定的平衡状态。 以上定义意味着：首先选择一个域S(e），对应于每一个S(e），必存在一个域S(d），使得当t趋于无穷时，始于S(d）的轨迹总不脱离域S(e）。(2) 如果平衡状态，在Lyapunov意义下是稳定的，并且始于域S(d）的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离S(e），且收敛于，则称式(5.1）系统之平衡状态为渐近稳定的，其中球域S(d）被称为平衡状态的吸引域。 实际上，渐近稳定性比纯稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。 (3) 对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态称为大范围渐近稳定。或者说，如果式(5.1）系统之平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。 在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。 (4) 如果对于某个实数e0和任一个实数d 0，不管这两个实数多么小，在S（d）内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S(e），那么平衡状态称为不稳定的。 图5.1（a）、(b)和(c)分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典型轨迹。在图5.1(a)、(b)和(c)中，域S（d）制约着初始状态，而域S(e）是起始于的轨迹的边界。 注意，由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非S(e）对应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。 此外，在图5.1（c）中，轨迹离开了S(e），这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨迹还可能趋于在S(e）外的某个极限环（如果线性定常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。但在非线性系统中，这一结论并不一定正确）。图5.1（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹 上述各定义的内容，对于理解本章介绍的线性和非线性系统的稳定性分析，是最低限度的要求。注意，这些定义不是确定平衡状态稳定性概念的唯一方法。实际上，在其他文献中还有另外的定义。对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引区为有限的定范围的渐近稳定。最后指出，在经典控制理论中，我们已经学过稳定性概念，它与Lyapunov意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表所示。经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)0)临界情况 (Re(s)=0)稳定 (Re(s)0的值，使得系统在单位阶跃输入r(t)=1(t)作用下，性能指标达到极小。式中的e为误差信号，并且e =r -c。假设系统开始时是静止的。图5.5 控制系统 由图5.5可得或 依据误差信号e的形式，可得 由于输入r(t)是单位阶跃函数，所以，。因此，对于t0 定义如下状态变量则状态方程为式中 性能指标J可写为这里由于A是稳定矩阵，所以参照式(5.18），J的值为式中的P由下式确定(5.19)式(5.19）可写为该方程可化为以下3个方程对求解以上3个方程，可得 于是性能指标J为 将初始条件：，代入上式，可得 对x 使J为极小，可令，即可得因此，x 的最优值是。例如，若，则x的最优值为，即0.707。-习题5.1 试确定下列二次型是否为正定的。5.2 试确定下列二次型是否为负定的。5.3 试