第十章(第一部分)曲线积分.doc

第十章 曲线积分与曲面积分（第一部分）曲线积分、对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）一、对弧长的曲线积分的概念1定义 . 2物理意义 表示线密度为的弧段的质量.二、对弧长的曲线积分的性质1线性性质：.2可加性：若，则.3的弧长：.4单调性：设在上，. 则.5与积分曲线的方向无关性：三、对弧长的曲线积分的计算方法方法：化为定积分计算（注：下限上限）（1）若 ；则.（2）若 ；则.（3）若 ；则.（4）若 ；则.注 被积函数可用积分曲线方程化简！四、对弧长的曲线积分典型例题例1 计算，其中为双曲线从点至点的弧段分析由于本题积分曲线的方程可化为或的形式，但考虑到化为以为积分变量的定积分计算比较困难，故本题积分曲线应采用的形式。解 由于，；所以.注 由于被积函数定义在曲线上，故满足曲线的方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点.例2 设为椭圆，其周长记为，求.分析 由于积分曲线可恒等变形为，而被积函数中又含有，故可将代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分，由于关于轴（轴）对称，函数关于（或关于）为奇函数，故有.解 由奇偶对称性可知，所以.例3 求，其中.分析 此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分曲线是，而由轮换对称性可知：，由奇偶对称性知：. 故本题有如下简单的解法。解 .例4 设曲线是球面与平面的交线，试求积分解 根据轮换对称性与代入技巧，有 .这里为的长度，为球面与平面的交线，所以它是圆，现求它的半径，原点到平面的距离是，因此，的半径为.五、对弧长的曲线积分的应用1几何应用 求曲线的弧长.2物理应用 质量 .质心 ，.转动惯量 ，.引力 .、对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）一、对坐标的曲线积分的概念1定义 .2物理意义 .变力沿所作的功.二、对坐标的曲线积分的性质1线性性质：.2可加性：若（方向不变），则.3方向性：设是的反向曲线弧，则.三、对坐标的曲线积分的计算方法1直接计算法（化为定积分计算）.（注：下限起点，上限终点）（1）设；从变到；则.（2）设；从变到；则.（3） 设；从变到；则.（4）设；从变到；则.2格林（Green）公式计算法.（注意使用条件！）（这里为区域的正向边界曲线）3利用积分与路径无关的条件计算法. 与路径无关 ，为区域内任意闭曲线.，单连域，单连域. Newton lebniz公式的推广。4斯托克斯（Stokes）公式计算法.（这里是有向曲面的正向边界曲线） 注 被积函数可用积分曲线方程化简！四、两类曲线积分之间的联系 .其中、为有向曲线弧在点处的切向量的方向角.五、对坐标的曲面积分典型例题例1计算曲线积分，其中为曲线沿增大的方向。分析 由于，故曲线积分与路径有关。又因积分曲线不是封闭的，计算本题有两种方法：一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用添补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方法计算比较简便，这里应首先将积分曲线的方程改写为，再代入被积函数中计算。解 由于，所以.例2计算曲线积分，其中为有向闭折线，这里的、依次为点、. 分析 本题为沿空间曲线的积分，从所给曲线来看，可采用参数法转化为定积分来计算，这里关键是要正确写出积分曲线的参数方程。考虑到本题为沿空间平面闭曲线的积分，故又可利用斯托克斯（Stokes）公式将曲线积分转化为曲面积分计算。解法1：化为定积分计算. 由于（如图），这里; 从变到.; 从变到. ; 从变到.所以 ；.从而 . 解法2：利用斯托克斯公式计算. 设为平面上所围成部分的上侧，为在坐标面上的投影区域，则；由Stokes公式，得 .例3计算曲线积分其中为圆周（按逆时针方向绕行）.分析 由于本题积分曲线为圆周，故可首先写出的参数方程，然后将曲线积分转化为定积分来计算；另外，考虑到积分曲线为封闭曲线，故本题又可利用格林公式计算；此时应注意首先要利用积分曲线方程将被积函数中的分母化简，去掉奇点，使其满足格林公式的条件。解法1：化为定积分计算。由于的参数方程为：，从变到. 则 .解法2：利用格林公式计算。设由所围区域为，则；于是 .例4设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数。(1) 证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；(2) 求函数的表达式；(3) 设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求(1) 证 在右半平面内，任取两点，以为起点，为终点作任意光滑曲线，再以为起点，为终点作围绕原点的光滑曲线，由题设知所以，即(2) 解 因为对右半平面内任意分段光滑简单闭曲线，有，所以 从而有 所以，有 ，比较两边的同次幂系数得，由第一式得 ，代入第二式得 ，于是，. (3) 解 设为正向闭曲线所围区域，由(1) ，利用Green公式和对称性，.例5计算曲线积分 ，其中为在第一象限沿逆时针方向的半圆弧。分析 本题若直接转化为定积分计算是比较繁的。我们可以先看，以决定是否用格林公式或其他的方法计算。解 记，. 则由于，可见所给积分与路径无关。现取，从变到；则有 .或由 ，得 .六、对坐标的曲线积分的物理应用 求变力沿曲线所作的功：.例6设位于点的质点对质点的引力大小为（为常