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拉盖尔多项式常微分方程 （0x） （1）叫作拉盖尔方程 是拉盖尔方程的正则奇点在及其邻域上为有限的级数解是 +. （2）级数的收敛半径为无限大如为整数，解y（x）退化为次多项式.用适当的常数乘这些多项式，使最高次幂项成为就叫作拉盖尔多项式，记作.于=0，有 =1， =2， =3， =4， =5，函数在的邻域上是解析的，可在的邻域上展为泰勒级数 （3）现在来证明（3）式里的正是拉盖尔多项式.既然（3）式里的是（t，x）的泰勒展开的系数，那就有 .上式利用了2.4习题2.我们只需证明（4）式正是拉盖尔多项式就行了令 ，容易验证，z满足 .上式对x求导n+1次， 这就是说，满足 .参照（4）式，作函数变换，得L（x）所满足的方程 ，这正是拉盖尔方程（1）.拉盖尔方程的多项式解只能是拉盖尔多项式，最多相差某个常数因子.经具体验算，得知并不差常因子（3）和（4）里的的确是拉盖尔多项式.函数 因而称为拉盖尔多项式的母函数.而（4）式是拉盖尔多项式的微分表示式拉盖尔方程（1）可改写为施图姆-刘维尔型 （0x） （5）作为施图姆-刘维尔本征值问题的正交性关系的特例，拉盖尔多项式在区间0x上带权重正交， （mn） （6）拉盖尔多项式的模可借助微分表示式（4）并累次分部积分而算得， = （7）根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质（见9.4），在区间0x上，以
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