由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性.doc

由二次方程的求根公式谈中学数学中算法的稳定性众所周知，对于一个数字系数的一元二次方程ax2+bx+c0(a0)，欲求其解，可通过著名的求根公式得到当已知系数a、b、c是一些具有多位有效数字的近似数时，求二次方程根的其它技巧方法(比如因式分解方法)已不适用，只有借助于计算工具(计算机、计算器)或手算，按此求根公式求得近似根了这在理论上是成熟的方法，应该说它是完美无缺的方法，但在实际应用中却完全不是那么回事在实际应用中，我们当然希望计算所得的结果，保留尽量多的有效数字出于这一考虑我们需要对此求根公式做一些技术处理，这主要是指当ac即对于b2甚小时，(1)式中的某一个右端分子将出现两个非常相近的数相减情况，得到一个很小的数，大大地损失掉已知数据中的宝贵的有效数字其结果是使解答质量大打折扣，甚至严重失真，得不到我们所需要的信息看如下例子：例1 我们以近似数x1=8.143947107，x2=1.87121111-7(x1、x2都具有7位有效数字)作为两根，构造一元二次方程：(x-8.143947107)(x-1.87121111-7)0，整理得(计算中仍保留7位有效数字)x2-8.143947107x+15.2390430 (2)下面我们利用求根公式重新计算这个构造出的方程的两根，计算中也保留7位有效数字，看看会发生什么情况，并做一些分析研究工作由求根公式(1)，得即得x18.143947107，x20这里x1的值相当不错，但x2的值已严重失真，可以说是面目全非了实际上它已不满足原方程了注意，我们构造二次方程(2)时，x2保留有7位有效数字，但由构造出的方程复原x2时，有效数字丧失殆尽！出现这种情况的原因，不难发现，是由于用求根公式(1)求x2时，分子出现了两个非常相近的数，8.143947107与为了避免上述不利情形的出现，我们需要将求根公式(1)作一改动，成为按公式(3)计算x2可以有效地避免两个十分相近的数作减法，有效数字得以保存公式(3)是将公式(1)的右端分子有理化所致当然，在初等数学中，求根公式(3)不及公式(1)正规，或曰漂亮，因为在中学数学中，当一个题的答案分母中含有根式时，人们习惯于将分母有理化，使根式集中于分子这里的求根公式(3)有些违背习惯但正是这个(3)式，在应用上有其不容置疑的优点比如，用它计算例1中的解x2，有1.87121110-7，它仍然保留了7位有效数字如此，求根公式(3)具有非常明显的优点注意，我们解方程(2)的数值解时，是用公式(1)的第一式计算x1，用公式(3)的第二式计算x2正如不宜用公式(1)两式统一计算根一样，也不宜用公式(2)两式统一计算根你瞧，用公式(3)第一式计算x1有x1之值不唯不精确，而且更糟糕，分母为0，计算成为不可能！总结我们的分析，对例1，一次项系数b为负值，求其两根的计算公式(求根公式)为对于一次项系数b为正值情况，求根公式应该取为实用中，选取公式(4)或(5)的原则是：尽量避免出现两个相近数相减，以保存尽可能多的有效数字位善于观察的读者，一定会发现公式(4)、(5)与(1)、(3)相比无甚高明之处，它们只不过是在公式(1)、(3)的基础上用了一下韦达定理，即在x1求出的基础上按关系x21/x1计算x2而已但正是这样一处变化，却解决了此类数值计算的“稳定性”问题，使之成为一个好算法为了解决某个数值问题，需要选择一个算法算法就是解题的公式、方法、程序系统算法当然首先要有正确的理论基础与可行性，但除此之外还必须具有稳定性，即计算结果误差对于初始数据的微小变动(比如产生不可避免的误差)具有稳定性，后者的微小变动不至于使前者产生极大误差而失真上面求例1根的算法，用公式(1)的就不是稳定的算法，而按公式(4)或(5)的算法就是稳定的，是足可放心的算法有关算法稳定性的概念及应用，在中学数学中也多有涉及，这一内容虽不宜向中学生过早介绍，但作为一名数学教师，也是有必要了解一些的例2 已知某直线l的方程yax+b，请在直角坐标系中绘出该直线当然，两点之间可以确定一条直线，任意取两横坐标值x1、x2，由方程可计算出相应的纵坐标y1、y2，得直线上两点只P1(x1，y1)、P2(x2，y2)在直角坐标系中“点”出这两点，连结之，就得到所求作的直线但这应使P1、P2距离不至于过小，因为太小时，由于“点”的位置误差可给直线带来相当大的误差图1中，由两点P1、P2确定的直线是，但由于P2有误差到P2点，确定的直线变到1，有相当大的误差图1中由P1、P3也可确定直线，P1P3较大，P3虽有误差(与P2的相同)偏到P3，但P1、P3确定的直线2，误差就相对小得多设l1、l2分别为方程组之第1、2两方程代表的直线图解法的解题思路是在直角坐标系下，绘出l1、l2的图形，找到它们的交点，图2中是点(x0，y0), 此即为原方程组的解但如果确定直线l1的两点取得太近，则作图误差就较大，l1偏离到l1，同样绘出的直线l2也偏离到l2位置，则题目最终得到的解是l1、l