平面向量的分解定理4.ppt

平面向量的分解定理 DecompositionTheoremoftwoDimensionalVectors 火箭在升空的某一时刻 速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度 情景1 在物理学中我们知道 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G 可分解为使物体沿斜面下滑的力F1 和使物体垂直与斜面压紧斜面的力F2 情景2 G F1 F2 如图 一盏电灯 可以由电线CO吊在天花板上 也可以由电线AO和绳BO拉住 CO所受的拉力F应于电灯重力平衡 拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和F2 情景3 O C M N A B 研究 N M 研究 平面向量分解定理 零向量不能作为基 平面向量分解定理 另一种陈述 平面内任一向量可以唯一地表示为两个指定向量的线形组合的充要条件是两个指定向量不平行 1 一组平面向量的基有多少对 有无数对 思考 E F 思考 2 若基选取不同 则表示同一向量的实数 是否相同 可以不同 也可以相同 已知向量求做向量 2 5 3 例1 O A B C 例2 例3 如图 已知梯形ABCD AB CD 且AB 2DC M N分别是DC AB的中点 请大家动手 在图中确一组基 将其他向量用这组基表示出来 解析 评析 能够在具体问题中适当地选取基 使其他向量能够用基来表示 再利用有关知识解决问题 例4 ABCD中 E F分别是DC和AB的中点 试判断AE CF是否平行 E F分别是DC和AB的中点 AE CF平行 使得AB BD 思考 例5 1 平面向量分解定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解 它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不平行向量的线性组合 该定理是平面向量坐标表示的基础 其本质是一个向量在其他两个向量上的分解 课堂总结 总结 1 平面向量分解定理内容 2 对基本定理的理解 1 实数对 1 的存在性和唯一性 基的不唯一性 定理的拓展性 平面向量分解定理的应用求作向量 解 证 向量问题 解 证 平面几何问题 思考 在梯形ABCD中 E F分别时AB CD的中点 用向量的方法证明 EF AD BC 且EF AD BC 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使a 1e1 2e2 基底 线性组合 1 我们把不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 base 2 一个平面向量用一组基底e1 e2表示成a 1e1 2e2的形式 我们称它为向量的分解 3 当e1 e2互相垂直时 就称为向量的正交分解 例1 4 证明唯一性 证明 1 当时 2 当时 假设 则有由于不平行 故 即 1 若e1 e2是平面内向量的一组基底 则下面的向量中不能作为一组基底的是 A e1 e2和e1 e2B 3e1 2e2和 6e1 4e2C e1 3e2和3e1 e2D e1 e2和e2 B 练习 练习 练习 例2 思考 1 平面向量基本定理 其实质在于 同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量e1 e2的线性组合 且e1 e2是这一平面内所有向量的一组基