空间坐标系.doc

(三) 2-2.1.1 空間坐標系 座號 姓名1.空間坐標系的建立：(1)坐標軸與坐標平面：在空間中任取一點O，稱為原點，過O點做兩兩互相垂直的三直線，稱為x軸、y軸、z軸，所決定的三平面為xy平面、yz平面、zx平面。(2)點坐標：若P為空間中任一點，在x軸、y軸、z軸所對應的坐標分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)，則P點的空間坐標記為(a,b,c)。(3)卦限：三個坐標平面將空間分成八個區域，P(a,b,c)OxyzA(a,0,0)B(0,b,0)C(0,0,c)每個區域叫做一個卦限，其中x坐標、y坐標、z坐標皆為正的卦限叫做第一卦限。2.點P(a,b,c) (一) 正射影（正投影）(1) 在x軸上的射影點為(2) 在y軸上的射影點為(3) 在z軸上的射影點為(4) 在xy平面上的射影點為(5) 在yZ平面上的射影點為(6) 在xz平面上的射影點為空間座標【1】如圖，已知G點坐標為(3,5,4)，試求長方體其他各頂點的空間坐標。G(3,5,4)OxyzABCDEFA( , , )；B( , , )；C( , , )；D( , , )；E( , , )；F ( , , )【2】如圖，ABCD-EFGH為一長方體，若C的位置在原點(0,0,0)，求長方體其他各頂點的空間坐標。yxzABCGFHDEA( , , )；B( , , )；D( , , )；E( , , )；F( , , )；G( , , )；H( , , )【3】、試寫出下圖的長方體中，各點的坐標。 答案：(3, 0, 0), (0, 5, 0), (0, 0, 4), (0, 5, 4), (3, 0, 4), (3, 5, 0)。 【4】( )一長方體的長寬高三稜線分別平行x軸、y軸與z軸，若已知其中兩頂點坐標為(3,-1,2), (1,4,5)，則下列那些點亦為此長方體的頂點？ ()(3,1,2) ()(1,-1,2) ()(3,4,5) ()(1,-1,5) ()(-1,4,2) 解：三稜線分別平行x軸、y軸、z軸八個頂點為(1,-1,2), (1,4,2), (3,-1,2), (3,4,2), (1,-1,5), (1,4,5), (3,-1,5), (3,4,5)【5】、空間中兩點A, B，若, ，且A, B表示同一點，則_, _。答案：3; 0解【6】、空間中兩點P, Q，若, ，P, Q表相同一點，則_, _。答案：2; 1解【7】、試寫出在軸上的充要條件，在軸上的充要條件，在軸上的充要條件。答案：在軸上 在軸上 在軸上(三) 2-2.2.1 空間坐標系 兩點距離公式 座號 姓名兩點距離公式 ， 1. 點P(a,b,c) (1) P點到x軸之距離為(2) P點到y軸之距離為(3) P點到z軸之距離為(4) P點到xy平面之距離為(5) P點到yz平面之距離為(6) P點到xz平面之距離為(7) P點到原點之距離為【1】、設P點坐標(-3,1,4)，則P到xz平面之距離為_，P到y軸之距離為_。答案：1; 5【2】、設A(3,5,-1)，A到平面xy之距離為_，A到x軸之垂足為_。答案：1; (3,0,0)【3】、如圖，一有蓋的長方體盒子內長公寸，寬公寸，高公寸(1) 一隻蜜蜂，欲從A點飛到G點，其最短距離為_公寸，(2) 一隻螞蟻欲從A點爬到G點，其最短距離為_公寸。答案：; 解析：(1)最短距離為公寸(2)由A爬到G的較短距離共有3種情形，第一種為以為長，為寬之長方形對角線長。第二種為以為長，為寬的長方形對角線長，第三種為以為長，為寬的長方形對角線長，但最短距離為公寸【4】、( )ABC之三頂點坐標為A(1,4,7), B(3,7,2), C(6,2,4)，則ABC為 ()等腰三角形 ()正三角形 ()銳角三角形 ()直角三角形 ()鈍角三角形 解析：ABC為正三角形【5】設A(1,1,-1)、B(3,0,-3)、C(2,-1,1)，求的邊長，並問為何種三角形？【6】設的三頂點為A(4,6,-1)，B(3,1,-5)，C(-1,2,0)，試判別是何種三角形？【7】、( B )ABC的三頂點坐標為A(5,3,-1), B(3,1,7), C(-2,0,1)，則ABC為 ()等腰三角形 ()正三角形 ()銳角三角形 ()直角三角形 ()鈍角三角形 解析：ABC為等腰三角形ABC為角三角形【8】、( )ABC之三頂點坐標為A(4,2,4), B(-2,-1,6), C(1,4,-2)，則ABC為 ()等腰三角形 ()正三角形 ()銳角三角形 ()直角三角形 ()鈍角三角形 解析：ABC為等腰直角【9】、在第一卦限內有一點P到x軸，y軸，z軸的距離依次為，試求P點的坐標。答案：設P點之坐標為，其中 則 而有 ，得 將代入 將代入 故C之坐標為(5, 9, 12)。【10】、在第一卦限內有一點P，P到x軸，y軸，z軸的距離依次為，則P點坐標為_；若P點不限制在第一卦限，符合此題意之P點共有_個。答案：(3,1,4); 8解析：設且a0, b0, c0, , P(3,1,4)若P點不限第一卦限，則, , P點共有8個【11】、在第一卦限內有一點P，P到x軸，y軸及yz平面之距離分別為，則P點坐標為_。答案：(2,3,6)解析：設, ，又a0, b0, c0P(2,3,6)【12】空間中第一卦限內一點P(a,b,c)到x、y、z軸的距離分別為5、，則P點的坐標為何？Ans：P(5,4,3)【13】 P的x、y、z坐標均為負，且P與xy、yz、zx三平面等距，若P點到y軸距離為，則P點的坐標為何？Ans：P(-2,-2,-2)【14】設A(1,2,3)，B(3,-1,4)，則(1)？(2)在yz平面上的正射影長為多少？Ans:【15】設在xy、yz、zx平面上的正射影長分別為、與，則？Ans:【16】、若正ABC之三頂點為A(2, 0, 1), B(6, 1, 4), C(1, y, z)，試求C點之坐標。答案：由得 即 將代入 得或 故C之坐標為或(1, 5, 3)。【17】、空間中，ABCD為正四面體，若A(0,0,0), B(0,2,0), C(,1,0)，則D點坐標為_或_。答案：(); ()解析：ABCD為正四面體，設, , D或【18】、空間中ABCD為正四面體，若A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2)，則D點坐標為何？答案：設, , 或D(2,2,2)或D()【19】、設空間中有三點A(2,1,-2), B(4,-3,0), C(0,5,6)，在xz平面上有一點P，使，則P點坐標為何？答案：設, P()【20】、若正ABC的三頂點為A(2,1,4), B(5,-1,3), C(4,y,z)，則數對？答案：ABC為正三角形, 或, 或, 【21】、在xy平面及yz平面上之投影長分別為，則最長可為_，最短可為_。答案：5; 解析：設，則, 最長可為5，最短可為【22】、在xy平面，yz平面及xz平面上之投影長，分別為，則的長為_。答案：解析：設【23】、設A(-1,4,2), B(3,5,1), C(1,0,0)，若空間中有一點P使之值最小，則其最小值為何？此時P點坐標為何？ 解：設=最小值為24，此時P點坐標為( , , )【24】.空間中第一卦限內一點P(a,b,c)到x、y、z軸的距離分別為、，則P點的坐標為何？答(4,5,7)【25】.設點P在第一卦限內且距x軸與y軸的距離分別為與，又知點P到xy平面的距離為2，求P點的坐標。(1,3,2)【26】.設，且在xy平面與zx平面上的正射影長分別為4、，則在yz平面上的正射影長為多少？【27】.空間中，已知點P的x、y、z坐標都相等，且點P與點A(1,2,3)的距離為，求P點的坐標。(-1,-1,-1)或(5,5,5)【28】.空間中有三點A(3,0,2)、B(2,3,0)、C(1,0,0)，若P點在yz平面上，且，求P點的坐標。(0,2,3)ABFGHDEC圖(二)【29】.如圖(二)，有一長方體空盒子ABCD-EFGH，其中，試求：(1)一隻螞蟻從F點爬到D點，其爬行所經的最短距離為多少？(2)一隻蚊子從A點飛到G點，其飛行所經的最短距離為多少？(1)(2)(一) 2-2.3.1 空間座標基本公式 投影點與對稱點 點P(a , b , c ) (1)對x軸之投影點為對稱點為(2)對y軸之投影點為對稱點為(3)對z軸之投影點為對稱點為(4)對 xy平面之投影點為對稱點為(5)對 yz平面之投影點為對稱點為(6)對 xz平面之投影點為對稱點為投影點與對稱點.投影點(正射影)、對稱點與距離空間中一點P(a,b,c)對坐標軸及坐標平面的投影點、對稱點與距離如下：垂足(投影點)對稱點距離x軸(a,0,0)(a,-b,-c)y軸(0,b,0)(-a,b,-c)z軸(0,0,c)(-a,-b,c)xy平面(a,b,0)(a,b,-c)yz平面(0,b,c)(-a,b,c)zx平面(a,0,c)(a,-b,c)【1】、設P點坐標(1,4,-2)，則P對原點之對稱點為_，P對yz平面的對稱點為_。答：(-1,-4,2); (-1,4,-2)【2】、設點P(2,3,4)，P點在yz平面上之垂足為_，P點在z軸上之垂足為_。答：(0,3,4); (0,0,4)【3】、設P點坐標(5,-2,1)，則P對y軸之投影點為_，P對xz平面之投影點為_。答：(0,-2,0); (5,0,1)【4】、設P點坐標(-1,3,4)，則P對(1,1,1)之對稱點為_，P對xy平面之對稱點為_。答：(3,-1,-2)，(-1,3,-4)【5】若P(1,2,3)，求下列各題：(1)P到xy平面的距離為_。(2)P在yz平面的正射影為_。(3)P到x軸的距離為_。(4)P在y軸的正射影為_。(5)P關於z軸的對稱點為_。Ans：(1) 3；(2) (0,2,3)；(3)；(4) (0,2,0)；(5) (-1,-2,3)【6】若P(2,3,4)，求下列各題：(1)P在x軸的正射影為_。(2)P關於x軸的對稱點為_。(3)P到x軸的距離為_。(4)P在yz平面的正射影為_。(5)P關於yz平面的對稱點為_。(6) P到yz的距離為_。(7) P到原點的距離為_。Ans：(1) (2,0,0)；(2) (2,-3,-4)；(3) 5；(4) (0,3,4)；(5) (-2,3,4)；(6) 2；(7)【7】.試求點P(-3,2,5)對