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第三讲会求矩阵的特征值和特征向量一、如何求方阵的特征值和特征向量？答 1.如果方阵是“数值”型矩阵，即矩阵中元素全为常量的矩阵，则求此类型矩阵的特征值和特征向量的基本方法是：（1）特征方程的全部根，即的所有特征值；（2）对于的每一个特征值，求齐次线性方程组的一个基础解系，那么该基础解系的所有非零线性组合就是的对应于的全部特征向量.2.如果方阵是“抽象型”矩阵，即矩阵的元素没有具体给出，则求此类型矩阵的特征值和特征向量的基本方法是：（1）利用定义，满足关系式的为特征值，为对应于的一个特征向量；（2）利用特征方程求，进而求对应的特征值.二、如果是方阵的重特征值，那么方阵的属于的是否一定有个线性无关的特征向量？答 若为对称矩阵，则对应于特征值恰有个线性无关的特征向量，否则特征值的重数与特征向量的个数不一定相同。例如 矩阵的特征值为，。是的2重特征值，但与之对应的的线性无关特征向量只有一个。这时，特征值的重数与线性无关的特征向量的个数不相同，而对于矩阵它的特征值为，是的2重特征值，易求得与之对应的的2个线性无关的特征向量：，.此时特征值的重数与线性无关的特征向量的个数相同。由此我们可以进一步回答：阶方阵不一定有个线性无关的特征向量。三、设是方阵的特征值（1）齐次线性方程的解向量是否都是的属于的特征向量。（2）设是的属于的特征向量，是否一定非零？（3）设是的属于的特征向量，为什么说也是的属于特征值的特征向量（其中）, + + + . 答 （1）不一定。因为是齐次线性方程组的解向量，但不是的特征向量，只有的非零解向量才是的属于的特征向量。（2）不一定。例如有下一个特征值，属于的特征向量 。（3）因为，所以 故是的属于特征值的特征向量。四、如果阶矩阵与相似，那么与的特征值相同吗？答 一定相同。因为它们有相同的特征多项式。证明 与相似，即存在可逆矩阵，使，但务必注意：1. 即使与的特征值都相同，与也未必相同。2. 虽然相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。五、判断矩阵是否可对角化的基本方法有哪些？答 常有如下四种方法。（1）判断是不是实对称矩阵，若是一定可对角化。（2）求的特征值，若个特征值互异，则一定可对角化。（3）求的特征向量，若有个线性无关的特征向量，则可对角化，否则不可对角化。（4）方阵可对角化的充要条件是的每个重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。一般来说，常用方法（2）和（4），且（2）中的条件仅仅是充分的。六、已知阶方阵可对角化，如何求可逆矩阵，使得答 若阶方阵可对角化时，则求可逆矩阵的具体步骤为：（1）求出的全部特征值；（2）对每个，求齐次方程组的基础解系，得
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