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第7章 信号运算与处理电路(6学时,张宏群,南京信息工程大学)7.1 基本运算电路 用集成运算放大器可以组成各种模拟电路,从功能上看,有模拟信号的运算处理与产生电路。本章主要介绍模拟信号运算电路和模拟信号处理电路。模拟信号运算电路包括比例运算、求和运算、微分与积分运算、对数和反对数电路。模拟信号处理电路包括有源滤波器和电压比较器。7.1基本运算电路7.1.1比例运算电路比例运算电路有三种基本形式：反相输入，同相输入以及差动输入比例电路。1 反相比例运算电路：反相比例运算电路如图7.1.1所示，输入信号加在反相输入端，为使集成运放的两个输入端对地的直流电阻一致，在同相端应接入Rp。Rp=R1Rf图7.1.1 反相比例运算电路 根据理想运放工作在线性区的“虚断路”的概念，i+=i_=0， 可知电阻Rp上没有压降，则u+=0。又由“虚短路”的概念，u+=u-， 可得u+=u-=0 (7.1.1)式(7.1.1)说明集成运放两个输入端的电位均为零，如同该两点接地一样，而事实上并不是真正接地，故称为“虚地”。“虚地”是反相比例运算电路的重要特征，它表明了运放两输入端没有共模信号电压，因此对集成运放的共模抑制比要求较低。 根据i-=0， 由图可见 因为u-=0，所以输出电压与输入电压的关系为 (7.1.2)式(7.1.2)表明电路的输出电压与输入电压成正比，负号表示输出信号与输入信号反相，故称为反相比例运算电路。 由式（7.1.2）可得电路的电压放大倍数为 可见反相比例运算电路的电压放大倍数仅由外接电阻Rf与Ri之比来决定，与集成运放参数无关。 由于反相输入端“虚地”， 根据输入电阻的定义，可得 (7.1.3)由式(7.1.3)可知，虽然理想运放的输入电阻为无穷大，但由于电路引入的是并联负反馈，因此反相比例运算电路的输入电阻却不大。因为电路引入的是深度电压负反馈，并且1+AF=，所以输出电阻Ro=0。 2 同相比例运算电路 反相比例运算电路如图7.1.2所示。输入信号通过Rp接入运放的同相输入端，电路引入的是电压串联负反馈，故可认为输入电阻为无穷大，输出电阻为零。 图7.1.2 反相比例运算电路根据“虚短路”和“虚断路”的概念，可得： (7.1.4)式(7.1.4)表明集成运放有共模输入电压ui，这是同相比例运算电路的主要特征。它要求在组成同相比例运算电路时，应选用共模抑制比高，最大共模输入电压大的集成运放。因为净输入电流i-=0， 所以iR1=iF，得 将上式带入式（7.1.4）， 整理后可得 由此可得同相比例运算电路的电压放大倍数为 (7.1.5)式(7.1.5)表明输出电压与输入电压成正比， 并且相位相同， 故称为同相比例运算电路。同相比例运算电路的放大倍数总是大于或等于1。 将图7.1.2电路中的Rf短路，R1开路，就构成图7.1.3所示的电压跟随器电路。 图7.1.3 电压跟随器电路由图7.1.3可知，uo=u-，而u-=u+=ui，因此 uo=ui (7.1.6)因为理想运放的开环差模增益为无穷大，所以电压跟随器的跟随特性比射极输出器好。3. 差动比例运算电路 （未较）差动比例运算电路如图7.1.4所示。 图7.1.4 差动比例运算电路当反相端输入信号ui1单独作用时，令ui2=0，此时电路为反相比例运算电路，输出电压uo1为 (6-13) 当同相端输入信号ui2单独作用时，令ui1=0，此时电路为同相比例运算电路。由于u+=u-，且由图可得 则输出电压uo2为 (6-14) 利用线性叠加定理，当ui1，ui2共同作用时，输出电压uo为 (6-15) 为了保证运放的两个输入端对地的电阻平衡，并消除共模信号，通常要求两输入端电阻严格匹配，即满足 ,则输出电压可简化为 (6-16) 上式(6-16) 表明输出电压与两输入电压之差成正比，故图6-6称为差动比例运算电路。当R1=R2=R3=Rf 时，有uo=ui2-ui1 (6-17) 实现了减法运算。 图6-6所示减法运算电路结构简单，但存在两个缺点：一是电阻的选取和调整不方便；二是对于每个信号源来说，输入电阻较小。在实际应用中，通常采用两级电路实现减法运算。如图6-8所示，请读者自行推导验证。 图6-8 高输入电阻的减法运算电路 当R1=Rf2，R3=Rf1时，可得 7.1.2 求和电路求和运算电路的是出取决于多个模拟输入量的相加结果，用运算放大器组成求和运算电路，可采用反相输入方式和同相输入方式。1反相输入相加器使用反相比例放大器可构成反相相加器，如图71所示。因为运放开环增益很大，且引入并联电压负反馈，点为“虚地”点，所以 又因为理想运算放大器，ii=i-=0, 即运放输入端不索取电流，所以反馈电流 if 为 if=i1+i2+i3 按照类似的方法，可以将求和电路的输入端扩充到三个以上。例6.1.1试设计一个相加器，完成uo=-(2ui1+3ui2)的运算，并要求对ui1、ui2的输入电阻均100k。 解 为满足输入电阻均100k，选R2=100k，针对所以选Rf=300k，R2=100k,R1=150k。 实际电路中，为了消除输入偏流产生的误差，在同相输入端和地之间接入一直流平衡电阻Rp,并令Rp=R1R2Rf=50k，如图72所示。图72 满足例6.1.1要求的反相相加器电路 2同相输入相加器所谓同相相加器，是指其输出电压与多个输入电压之和成正比，且输出电压与输入电压同相。电路如图73所示。 图73 同相相加器电路根据同相比例放大器原理，运放同相端与反相端可视为“虚短路”，即 U+=U- 其中U+等于各输入电压在同相端的叠加，U-等于uo在反相端的反馈电压Uf。3相减器(差动放大器)相减器的输出电压与两个输入信号之差成正比。这在许多场合得到应用。要实现相减，必须将信号分别送入运算放大器的同相端和反相端，如图74所示。 图74 相减器电路 我们应用叠加原理来计算。首先令ui2=0,则电路相当于同相比例放大器，得图6-6所示减法运算电路结构简单，但存在两个缺点：一是电阻的选取和调整不方便；二是对于每个信号源来说，输入电阻较小。在实际应用中，通常采用两级电路实现减法运算。如图6-8所示，请读者自行推导验证。 图 6-8 高输入电阻的减法运算电路当R1=Rf2，R3=Rf1时，可得： 7.1.3积分与微分电路1、 基本积分电路积分电路能够完成积分运算，即输出电压与输入电压的积分成正比。积分电路是控制和测量系统中常用的单元电路，利用其充放电过程可以实现延时、定时以及各种波形的产生。 基本积分电路如图6.1所示 图77 积分器电路 由图可知输出电压与输入电压的积分成正比。 习惯上， 常令 叫做积分器的积分时间常数，这样式(8-24)可写成 例3 电路如图710所示，R=100k，C=10F。当t=0t1(1s)时，开关S接a点；当t=t1(1s)t2(3s)时，开关S接b点；而当tt2(3s)后，开关S接c点。已知运算放大器电源电压UCC=|-UEE|=15V，初始电压uC(0)=0,试画出输出电压uC(0)的波形图。 图710 例3电路图解(1)因为初始电压为零(uC(0)=0)，在t=01s间，开关S接地，所以uo=0。 (2)在t=13s间，开关S接b点，电容C充电,充电电流 输出电压从零开始线性下降。当t=3s时:(3)在t3s后，S接c点，电容C放电后被反充电，uo从-4V开始线性上升，一直升至电源电压UCC就不再上升了。那么升到电源电压(+15V)所对应的时间tx是多少?所以，u o(t)的波形如图711所示。 图711 例3电路的输出波形u o(t) 2求和积分运算器 图8-12 求和积分运算器 由图 8-12 可知，由于ic=i1+i2+i3, 所以输出电压uo和输入电压关系为 当Rf1=Rf2=Rf3=Rf时，上式可写成 3微分电路 将积分电路中R和C的位置互换，并选取比较小的时间常数，即可组成基本微分电路如图7.3所示。 图712微分器 由图可知，可见，输出电压与输入电压对时间的导数成正比，RC称为 时间常数。如，输入信号ui=sint，则输出电压uo=-RCcost。需要指出的是：微分器的输出幅值随频率增加而线性地增加，所以微分器对输入端噪声中高频分量的增益很高，往往使输出信噪比很低。而且电路可能不稳定，所以微分器很少有直接应用。在需要微分运算之处，也尽量设法用积分器代替。例如，解如下微分方程： 7.1.4 对数和反对数电路在实际应用中，有时需要进行对数运算或反对数(指数)运算。例如，在某些系统中，输入信号范围很宽，容易造成限幅状态，通过对数放大器，使输出信号与输入信号的对数成正比，从而将信号加以压缩。又例如，要实现两信号的相乘或相除等等，都需要使用对数和反对数运算电路。 1 对数运算电路（1）采用二极管的对数运算电路采用二极管的对数运算电路如图6-14所示。图7 15 基本对数运算电路 图中二极管为反馈元件，跨接于输出端与反相输入端之间。为使二极管导通，ui应大于0。由二极管的伏安特性可知 当二极管两端电压大于100 mV(即UD4UT)时，, 则二极管两端的正向电压与电流的关系可近似为 6-23可见，输出电压与输入电压成对数关系。（2）采用三极管的对数运算电路采用三极管的对数运算电路如图6-15所示。图6-15 三极管对数运算电路 它是将图6-14所示电路中的二极管用三极管V来替代。忽略晶体管基区体电阻压降， 设共基电路电流放大倍数1，UBE4UT, 则 由电路图可知 所以 6-24式(6-24)与式(6-23)一样可以实现对数运算。 三极管对数运算电路和二极管对数运算电路一样，对数运算关系均与UT和IS有关，因而两者的运算精度均受温度的影响。 但是采用三极管构成的对数运算电路，其输入电压的工作范围较大。 2指数运算电路 将图6-15所示对数运算电路中的三极管和电阻R位置互换，即为指数运算电路，如图6-16所示。 6.16指数运算电路图6-16所示指数运算电路由图可知 所以输出电压 6-25式(6-25)表明输出电压与输入电压之间满足指数运算关系，实现了指数运算。 综上所述，无论对数运算还是指数运算，其运算式中都包含IS及UT，说明受温度影响较大，运算精度都不是很高，因此， 人们在设计实际的对数/指数运算电路时，总是要采取一定的措施，以减小温度的影响。通常在集成对数/指数运算电路中，根据差分电路的原理，利用特性相同的两只三极管进行补偿，可部分消除温度对运算的影响。 对于具体电路，读者可以参考集成对数/指数运算电路手册， 此处不再赘述。 7.2 模拟乘法器简介7.2.11 乘法与平方电路乘法器两输入端分别输入两个不同的电压ux和uy，其输出端将得到正比于两个输入信号乘积的输出电压uo，从而实现乘法功能。其电路符号如图7-19所示 uo=kuxuy图 7 19 集成乘法器电路符号 图 7 18 简单乘法器框图 若两输入信号相同，即ux=uy=ui，则乘法电路变为平方电路。有利用对数和反对数运算器可构成乘法器和除法器。如图718所示。先将待相乘信号取对数，然后相加，最后取反对数，便实现了相乘。如图717(a)所示，同理，将待相除的信号取对数，然后相减，最后取反对数，便实现了“相除”，如图717(b)所示。 图717乘法器和除法器 (a)乘法器；(b)除法器7.2有源滤波器7.2.1 滤波器概述滤波电路是一种能让需要频段的信号顺利通过， 而对其它频段信号起抑制作用的电路。 在这种电路中，把能顺利通过的频率范围， 称之为“通频带”或“通带”；反之，受到衰减或完全被抑制的频率范围，称之为“阻带”； 两者之间幅频特性发生变化的频率范围，称之为“过渡带”。其滤波电路的幅频特性如图示意图图 6-26所示。 图 6-26 滤波电路的幅频特性示意图（a） 低通滤波电路； （b） 高通滤波电路； （c） 带通滤波电路； （d） 带阻滤波电路; （e） 全通滤波电路 1 滤波电路的分类 （1） 按照幅频特性的不同，可分为: 低通滤波电路(LPF)，它允许信号中的直流和低频分量通过， 抑制高频分量。 幅频曲线见图6-26（a）。 高通滤波电路(HPF)，它允许信号中高频分量通过，抑制直流和低频信号，幅频曲线见图6-26（b）。 带通滤波电路(BPF)，它只允许一定频段的信号通过，对低于或高于该频段的信号，以及干扰和噪声进行抑制。幅频曲线见图6-26(c）。 带阻滤波电路(BEF)，它能抑制一段频段内的信号，而使此频段外的信号通过，幅频曲线见图6-26（d）。 全通滤波电路（APF），它只用来改变系统的相频特性，但不影响幅频特性。幅频曲线见图6-26（e）。 （2） 按处理的信号不同， 可分为模拟滤波电路和数字滤波电路； （3） 按使用的滤波元件不同，可分为LC滤波电路，RC滤波电路，RLC滤波电路；（4） 按有无使用有源器件分为 无源滤波电路，它是仅由无源器件（电阻，电容，电感）组成的滤波电路。该电路的优点是电路简单，不需要有直流供电电源，工作可靠。缺点是负载对滤波特性影响较大，无放大能力；使用电感时易引起电磁感应，且要求L过大时，电感重量大，成本高。 有源滤波电路，它是由无源网络（一般含R和C）和放大电路共同组成。这种电路的优点是不使用电感，体积小，重量轻，可放大通带内信号。由于引进了负反馈，可以改善其性能；负载对滤波特性影响不大。缺点是通带范围受有源器件的带宽限制（一般含运放）；需直流供电电源；可靠性没有无源滤波器高；不适合高压/大电流下使用。 （5）按通带特征频率f0附近的频率特性曲线形状不同，常用的可分为 巴特沃斯(Butterworth)型滤波电路，该电路幅频特性在通带内比较平坦，故也称最大平坦滤波器。 切比雪夫(Chebyshev) 型滤波电路，该电路幅频特性曲线在一定范围内有起伏，但在过渡带幅频衰减较快。 图6-27是以LPF为例，进行两种滤波电路的幅频特性比较的示意图。 图 6-27 两种类型滤波电路的幅频特性示意图 （6） 按有源滤波器的阶数进行划分: 有源滤波器传输函数分母中“s”的最高次数，即为滤波电路的阶数。因此，有源滤波电路又有一阶、二阶及高阶滤波之分，阶数越高，滤波电路幅频特性过渡带内曲线越陡，形状越接近理想。2 有源滤波电路的主要参数 （1） 通带电压放大倍数 Aup，即通带水平区的电压增益。对于LPF而言，Aup就是当f0时，输出/输入电压之比；对于HPF而言，Aup就是当f时，输出/输入电压之比。 （2） 特征频率f0和特征角频率0 。该频率直接反映电路器件特征，与滤波电阻、电容有关，通常0=1/RC或f0=1/2RC，它直接反映了滤波电路中RC环的特征。 （3）通带截止频率fp(通带截止角频率p)。该频率为电压增益下降到（即0.707Aup），或相对于Aup分贝值低于3 dB时所对应的频率值（或角频率值）。fp与f0不一定始终相等， 但相互间存在密切联系。带通（带阻）分别有上、下两个截止频率，如图6-26(c)、 (d)所示。 （4）通带（阻带）宽度fBW是带通（带阻）两个截止频率之差，即fBW=fp2-fp1(设fp2fp1)。 7.2.2 一阶有源滤波器 1. 一阶有源低通滤波电路 (1) 同相输入低通滤波电路。图 6-28 同相输入型一阶有源低通滤波电路及其幅频曲线同相输入低通滤波电路如图6-28(a)所示。 图 6-28 同相输入型一阶有源低通滤波电路及其幅频曲线#=(a) 电路结构; (b) 幅频曲线 作s域分析，有由理想化条件，可知U+(s)=U-(s)，则 0称为低通滤波器的特征角频率，当=0时，即s用j0代入时，有。 因此0=p，即一阶低通滤波器中，特征角频率0和上限截止角频率p相等，下同。 图6-28(b)所示为同相输入型一阶有源低通滤波电路幅频曲线。Aup为同相放大器增益，图中为增益相对分贝数比值。 (2) 反相输入低通滤波电路。反相输入低通滤波电路如图6-29(a)所示，图6-29 反相输入型一阶有源低通滤波电路及其幅频曲线 (a) 电路结构; (b) 幅频曲线 (b)同样不难分析出其传输特性曲线， 有 整理后， 得 式(6-31)中Aup=-R2/R1，为运放反相比例放大倍数，p=0=1/R2C为低通滤波器上限截止角频率，对应幅频特性曲线如图6-29(b)所示。 2. 一阶有源高通滤波电路(1) 同相输入型一阶有源HPF 同相输入型一阶有源HPF如图6-31(a)所示，在s域对其分析， 可得 ( 6-32) 式(6-32)中，Aup=1+R2/R1为运放同相放大倍数，同前面低通滤波电路一样，有：p=0，p为该高通滤波电路的下限截止角频率，幅频特性曲线参见图6-31(b)。 图6-31 同相输入型一阶有源高通滤波电路及其幅频曲线（a） 电路图； （b） 幅频特性(2) 反相输入型一阶有源HPF 反相输入型一阶有源HPF电路如图6-32(a)所示。对应幅频特性曲线，参见图6 - 32(b)所示。其传输函数为 (6-33) 图6-32 反相输入型一阶有源高通滤波电路及其幅频曲线 （a） 电路图 （b） 幅频特性通过对以上两种一阶低通、高通滤波器的电路分析，可得以下结论： 常用的一阶有源LPF，传输表达式均为，其中k为同相增益或反相增益；0为电路中RC时常数的倒数，为特征角频率，等于上限截止角频率p。 常用的一阶有源HPF，传输表达式均为，其中k为同相增益或为反相增益；0为电路中RC时常数的倒数，为特征角频率，等于下限截止角频率p。 6.5.3 二阶有源滤波电路 二阶有源滤波电路相对于一阶有源滤波电路而言，增加了RC环节，滤波器的过渡带变窄，衰减速率增大，即从-20 dB/十倍频变为-40 dB/十倍频。 1. 简单二阶低通滤波电路 简单二阶低通滤波电路电路如图6-33（a）所示，图6-33 简单二阶有源低通滤波电路及其幅频曲线(a) 电路结构 (b) 幅频曲线通过对其作简单分析，得传输函数为 当C1=C2=C时， 代入式(6-34)， 整理得 用j代替s，且令，得 (6-36) 为求fp，令式(6-36)分母模为，解得 fp0.37f0 作幅频特性曲线如图6-33（b）所示，过渡带衰减可达-40 dB/十倍频。 2. 简单二阶高通滤波电路 简单二阶高通滤波电路如图6-34所示，图6-34 二阶有源高通滤波电路图 （a）二阶压控电压源HPF (b) 二阶无限增益多路反馈HPF对于图6-34（a） 二阶压控电压源HPF， 有 其中图6-34(b) 二阶无限增益多路反馈HPF，有 其中3. 二阶带通有源滤波电路 带通滤波器的功能是允许某一频带内的信号通过， 而处于该频带外的信号都不能通过。 它可由低通和高通电路结合而成。 将截止频率为h的一个低通滤波电路和一个截止频率为l的高通滤波电路“串接”可组成带通滤波电路其中RC组成低通网络, R2C组成高通网络,电路如图7 - 30(a)所示。图6-36 二阶压控电压源带通滤波电路 它的正弦传递函数为其中称为中心角频率.4) 带阻滤波器 带阻滤波器的功能是在规定的频带内不让信号通过(或受到很大衰减)， 而在其余频率范围，则让信号能顺利通过，例如，在微弱信号放大器中滤除50Hz工频干扰；在电视图像信号通道中滤除伴音干扰等等。构建方案请读者自己考虑。 7.3 电压比较器电压比较器是对两个模拟输入电压进行比较，并将比较结果输出的电路。通常两个输入电压一个为参考电压uR，另一个为外加输入电压ui。比较器的输出有两种可能状态：高电平或低电平，因此集成运放常常工作在非线性区。电压比较器可以用集成运算放大器组成，也可采用专用的集成电压比较器。由于输出只有高低两种状态，是数字量，因此比较器往往是模拟电路与数字电路的接口电路。并广泛用于模拟信号/数字信号变换、数字仪表、自动控制和自动检测等技术领域，另外，它还是波形产生和变换的基本单元电路。图7-1所示电路为电压比较器。当uiuR时，比较器的输出为高电平UOH；当uiUR uo=UoL uiUR uo=UoH图8.52 简单电压比较器(a) 反相比较；(b)同相比较它们的传输特性如图8.53(a)所示。它表明输入电压从低逐渐升高经过UR时，uo将从高电平变为低电平。相反，当输入电压从高逐渐降低经过UR时，uo将从低电平变为高电平。我们将比较器的输出电压从一个电平跳变到另一个电平时所对应的输入电压值称为阈值电压或门限电压，简称为阈值，用符号UTH表示。对于图8.52，UTH=UR。同理可得图8.52(b)的传输特性，如图8.53(b)所示。UR可为正，也可为负或零。当UR=0时的比较器又称为过零比较器。 图8.53 简单电压比较器的传输特性 【例2】 在图 7 - 32(a)所示的电路中, 输入电压uI为正弦波, 画出UR0, UR0, UR=0时的输出电压波形。 解 由图 7 - 32(a)求得： UTH=UR所以, 当UR0时, UTH0； UR0时, UTH0； UR=0时, UTH=0。三种情况下的输出电压波形如图 7 - 34 所示。 例 2 输出波形 有时为了减小输出电压的幅值，以适应某种需要(如驱动数字电路的TTL器件)，可以在比较器的输出回路加限幅电路。为防止输入信号过大而损坏集成运放，除了在比较器的输入回路中串接电阻外，还可以在集成运放的两个输入端并联二极管。其电路如图8.55所示。图8.55 具有输入保护和输出限幅的比较器 7.3.2 滞回比较器 简单电压比较器结构简单，而且灵敏度高，但它的抗干扰能力差，即如果输入信号因受干扰在阈值附近变化，如图8.56所示，将此信号加进同相输入的过零比较器，则输出电压将反复地从一个电平变化至另一个电平，输出电压波形如图8.56所示。用此输出电压控制电机等设备，将出现频繁地动作，这是不允许的。 图7 36 噪声干扰对简单比较器的影响滞回比较器能克服简单比较器抗干扰能力差的缺点。（1）滞回比较器如图7-4(a)所示。将输出信号反馈到同相输入端就构成一个正反馈闭环系统，该电路为反相滞回比较器，它是一种典型的由运放构成的双稳态触发器，又称施密特触发器。 图7-4 运放构成的反相滞回比较器及其传输特性（a） 电路结构； （b） 传输特性图中R1、R2构成正反馈网络。因为集成运放具有很高的开环电压增益，所以同相输入端（+）与反向输入端（）只需很小的电压（约1mV），就能使输出端的电压接近于电源电压。因此， 电路一旦接通，输出端就会处于高电位UOH，或者处于低电位UOL。UOH和UOL的值分别接近于运放的供电电源E。(1) 设输出端处在高电平UOH状态，则经R1、R2分压后，反馈电压 (7 1) 只要输入电压uiUT+时，才能使输出端由高电平UOH跳变到低电平UOL。通常UT+称为上门限电压或关闭电压。 (2)