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第二章 习题1. 设A=a,b, R是P(A)上的包含关系，R= ?2A=1,2,3,4, 为A上的大于关系，为A上的小于等于关系，则和的矩阵表示为？3. 已知集合，写出关系的关系矩阵。4. 已知集合和A上的二元关系R,画出R的关系图:5. 设，和是上的两个关系，试求(1) (2) (3) 6. 设，上的关系，试求复合关系。7.设，是从到的关系，试求逆关系。8. 设集合，二元关系R和S分别为，求 ，9. 设和是集合上的关系，其中，求：(1) (2) (3) 10. 集合，判断下列关系是否具有自反关系?11. 集合，判断下列关系是否具有对称或反对称关系?12判断下列关系是否为可传递的关系？13. 设，A上的下列关系是否是传递的？如果不是，请举出反例。14. 设，请写出(1) A上所有的自反关系(2) A上所有的反自反关系(3) A上所有的对称关系(4) A上所有的反对称关系(5) A上所有的传递关系15. 请给出满足下列条件的二元关系的实例(1) 既是自反的又是反自反的(2) 既是对称的又是反对称的(3) 既是自反的又是对称的16. 描述实数集R上的二元关系S的性质：17. 设S为X上的二元关系，证明若S是自反的和传递的，则。18. 设R是上的关系，求：(1)R的自反闭包 (2)R的对称闭包19. 设，R是A上的二元关系，如图2-2所示，求(1)和(2)分别画出和图2-220. 判断整数集Z上的下列二元关系是否为Z上的等价关系，并说明理由。21. 设，试判断A上的关系和是否为等价关系，若是，则写出集合A中每个元素生成的等价类。22. 设，判定下列各集合是否是S的一个划分：(1)(2)(3)(4)23 求集合的所有划分。24考虑任务集T, 它包含了拍摄一张室内闪光照片必须按顺序完成的任务，包括第一步，打开镜头盖；第二步，照相机调焦；第三步，打开闪光灯；第四步，按下快门按钮。在T上定义关系R如下：当且仅当或者任务必须在任务之前完成。判断R是否是偏序关系，并画出关系图。25. 判断下列关系是否为全序关系。(1) 集合， A上的关系;(2) 实数集上R的小于等于关系26. 给定集合上4个偏序关系的关系如图2-5所示，画出它们的哈斯图，并说明哪一个是全序关系，哪一个是良序关系？图2-527. 若，设“”是A上的整除关系。(1) 画出偏序集的哈斯图；(2) 求出的最大元、最小元、极大元和极小元。28设N为自然数集，下述4个集合哪些是拟序、偏序、线序、良序集合？(1) (2)(3) 1. 设A=a,b, R是P(A)上的包含关系，R= ?解答与分析：首先根据幂集定义，可以得到P(A)=,a, b, a, b ，又根据关系的定义，可以得到P(A)上的包含关系R=(, ), (,a), (,b), (,a, b), (a, a), (a, a, b), (b, b), (b, a, b, (a, b, a, b)。2A=1,2,3,4, 为A上的大于关系，为A上的小于等于关系，则和的矩阵表示为？解答与分析：考察利用矩阵表示关系，可以先写出关系，根据题意可以得到，=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)，当时，集合上的二元关系的关系矩阵是一个n阶方针，其元素非1即0，是按中任意两个元素是否有关系来确定的，据此写出的矩阵，又根据和的关系，将中的1元素变为0，0元素变为1，可以得到的矩阵。 3. 已知集合，写出关系的关系矩阵。解答与分析：对于从到的二元关系，其关系矩阵是一个矩阵，初学者可以采用上题的方式，将关系中的元素列举出来，也可以采用列表的方式，将A中的元素竖排，将B中的元素横排作为表头，然后根据条件 ，如果满足则对应表中的元素为1，否则为0，再根据该表写出矩阵。12351106111711181114. 已知集合和A上的二元关系R,画出R的关系图: 解答与分析：集合A中有六个元素，因此在关系图上有六个点，根据二元关系中的有序对按照从第一元素到第二元素的方向连线，如果是(x,x)，则在点x处绘制自环，方向不限，根据题意，R的关系图如图2-1所示：图2-15. 设，和是上的两个关系，试求(1) (2) (3) 解答与分析：先求出和中的有序对，再根据关系的运算性质求出交、并、补。根据题意：因此可以得到：(1) (2) (3)= 6. 设，上的关系，试求复合关系。解答与分析：根据复合关系的定义，关系中有序对，只要，则有。因此，7.设，是从到的关系，试求逆关系。解答与分析：根据逆关系的定义，将R中每个有序对内的元素位置互换，可以得到8. 设集合，二元关系R和S分别为，求 ，解答与分析：根据定义，是由R中有序对的第一元素组成的集合，则有；是由S中有序对的第二元素组成的集合，则有；将S中有序对的第一元素4添加到中，可以得到9. 设和是集合上的关系，其中，求：(1) (2) (3) 解答与分析：(1)和(2)是求复合关系， (3)是求关系的三次幂，根据复合关系和关系的幂的定义，可以得到(1) (2) (3) ,10. 集合，判断下列关系是否具有自反关系?解答与分析：判断是否具有自反关系，可以根据定义，对于有序对已经列出且数量不多的关系，先看集合A中的所有元素的有序对(x,x)是否都在二元关系中。此题中，不是自反关系，因为对于所有的;不是自反关系，因为；是自反关系。11. 集合，判断下列关系是否具有对称或反对称关系?解答与分析：根据对称关系和反对称关系的定义，因为均出现在中，同样均出现在中，因此是对称关系，但不是反对称关系；不是对称关系，因为，同样，但，但，所以属于反对称关系；即是对称关系，也是反对称关系。12判断下列关系是否为可传递的关系？解答与分析：根据传递关系的定义， 因为，所以不是可传递的关系，和是可传递的关系，因为没有出现的情况。13. 设，A上的下列关系是否是传递的？如果不是，请举出反例。解答与分析：根据定义，是传递的；不是传递的，因为，但；不是传递的，因为14. 设，请写出(1) A上所有的自反关系(2) A上所有的反自反关系(3) A上所有的对称关系(4) A上所有的反对称关系(5) A上所有的传递关系解答与分析：(1) 由于=，根据自反的定义，A上的自反关系必须包含，所以A上的自反关系有4种，分别是，(2) 根据反自反的定义，A上的反自反关系必须不包含，所以A上的反自反关系也包括4种，分别是空关系，。(3) 根据对称的定义，A上的对称关系R，如果, 则，所以考虑在，中选取0个，1个，2个，和3个有序对构成的集合，一共有8种，分别是空关系，。(4) 根据反对称的定义，A上的反对称关系R，如果，则，所以考虑在的子集中删去同时含有和的4个子集后，其他子集都是反对称关系，共有12种，分别是空关系，。(5) 对于A上传递关系R,如果，必须有和。所以A上共有13种传递关系，分别是空关系，。15. 请给出满足下列条件的二元关系的实例(4) 既是自反的又是反自反的(5) 既是对称的又是反对称的(6) 既是自反的又是对称的解答与分析：(1) 设R是集合A上的二元关系，如果R是自反的和反自反的，都有，是矛盾的。因此，只有空集上的空关系既是自反的又是反自反的。(2) 集合A上的恒等关系既是对称的又是反对称的。(3) 集合A上的恒等关系既是自反的又是对称的。16. 描述实数集R上的二元关系S的性质：解答与分析：S不具有自反性，因为取；S也不具有反自反性，因为取；因为，所以S不是对称的；S是反对称的，因为设；S是传递的，因为对于。17. 设S为X上的二元关系，证明若S是自反的和传递的，则。解答与分析：要证明，即证明和同时成立。证明：对任意的, 所以；另外，对任意的，所以；由此可知，。18. 设R是上的关系，求：(1)R的自反闭包 (2)R的对称闭包解答与分析：根据定理可以求出， 。19. 设，R是A上的二元关系，如图2-2所示，求(1)和(2)分别画出和图2-2解答与分析：首先可以根据图2-2写出关系R包含的有序对，然后求出，在此题中，可以看出，和的关系图如图2-3所示所示。图2-320. 判断整数集Z上的下列二元关系是否为Z上的等价关系，并说明理由。解答与分析：判别Z上的关系R是否是等价关系，可根据等价关系的定义，若R即是自反的、对称的，又是传递的，则一定是等价关系。若三条中只需一条不满足，则不是等价关系。不是Z上的等价关系，因为它不满足对称性。例如，有，但;是Z上的等价关系。因为,是自反的，若，则，于是，是对称的。若且，则，两式相乘，由此得，是传递的。21. 设，试判断A上的关系和是否为等价关系，若是，则写出集合A中每个元素生成的等价类。解答与分析：根据等价关系的定义，判断关系是否同时具有自反、对称，和传递性；求等价关系的等价类，可有定义求出。是等价关系，应为它具有自反性、对称性和可传递性，不是等价关系，不满足传递性。对于元素a，因为，所以a生成的等价类；对于元素b，因为，所以b生成的等价类。类似地，。22. 设，判定下列各集合是否是S的一个划分：(1)(2)(3)(4)解答与分析：根据划分的定义，不是，因1属于中的两块；因4属于S但不属于中的任何一块，所以不是；是S的一个划分。不是，因不是S的子集。23 求集合的所有划分。解答与分析：A的每个划分可以含有1个、2个、3个或4个不同集合，这些划分是：A共有15个划分。24考虑任务集T, 它包含了拍摄一张室内闪光照片必须按顺序完成的任务，包括第一步，打开镜头盖；第二步，照相机调焦；第三步，打开闪光灯；第四步，按下快门按钮。在T上定义关系R如下：当且仅当或者任务必须在任务之前完成。判断R是否是偏序关系，并画出关系图。解答与分析：根据偏序关系的定义，需要判断R是否具有自反，反对称和传递性。在判断是否具有上述性质时，可以根据性质的定义或者相关的判定定理，也可以画出关系图之后，根据关系图来判断。关系图如图2-4所示。在关系图中，每个节点都有自环，则具有自反性，任意两个节点要么有且仅有一条边相连，要么没有边相连，而且如果1到2相连，2到3相连，则1到3必然有边相连，因此具有传递性。还可以判定具有反对称性，因此R是偏序关系。图2-425. 判断下列关系是否为全序关系。(1) 集合， A上的关系;(2) 实数集上R的小于等于关系解答与分析：根据全序关系的定义，首先需要判断它是偏序关系，然后看是否对任意，都有或者，在此题中，(1) 根据偏序关系的定义可以得到它是自反，反对称和传递的，因此是偏序关系；另外(，因此是全序关系。(2) 实数集上R的小于等于关系是偏序关系，并且任意两个元素都存在关系，因此是全序关系。26. 给定集合上4个偏序关系的关系如图2-5所示，画出它们的哈斯图，并说明哪一个是全序关系，哪一个是良序关系？图2-5解答与分析：可以根据关系图分别写出关系R中包含的有序对，再画出哈斯图，并且依据定义判断全序关系和良序关系。在此题中，(1) 由的关系图可知：，对应的哈斯图如图2-6(a)所示，既不是良序也不是全序关系。(2) 由的关系图可知：，对应的哈斯图如图2-6(b)所示。X的一非空子集不存在最小元，故不是良序关系，且，所以也不是全序关系。(3) 由的关系图可知：对应的哈斯图如图2-6(c)所示。即是全序关系也是良序关系。(4) 由的关系图可知：，对应的哈斯图如图2-6(d)所示。即不是全序关系也不是良序关系。图2-627.