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听课随笔第二章 函数概念与基本初等函数第一节 函数的概念与图像2.1.3函数的简单性质奇偶性(2)【学习导航】 学习要求 1熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题【精典范例】一函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例1：已知奇函数在上是增函数，求证：在上也是增函数【证明】设，则，在上是增函数，是奇函数，在上也是增函数说明：一般情况下，若要证在区间上单调，就在区间上设二利用函数奇偶性求函数解析式：例2：已知是定义域为的奇函数，当时，求的解析式，并写出的单调区间【解】设，则，由已知得， 是奇函数， 当时，； 又是定义域为的奇函数， 综上所述： 的单调增区间为，单调增区间为和说明：一般情况下，若要求在区间上的解析式，就在区间上设例3：定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围【解】原不等式化为，是奇函数，原不等式化为，是减函数， 又的定义域为，解得，由和得实数的取值范围为追踪训练一1. 设是定义在r上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是 （b ） a d与a的取值无关2. 定义在上的奇函数，则常数 ， ；3. 函数是定义在上的奇函数，且为增函数，若，求实数a的范围。解：定义域是 即 又 是奇函数 在上是增函数 即 解之得 故a的取值范围是思维点拔：一、函数奇偶性与函数单调性关系若函数是偶函数，则该函数在关于对称的区间上的单调性是相反的，且一般情况下偶函数在定义域上不是单调函数；若函数是奇函数，则该函数在关于对称区间上的点调性是相同的追踪训练1已知是偶函数，其图象与轴共有四个交点，则方程的所有实数解的和是 （c） 4 2 0 不能确定2. 已知偶函数在上是增函数，若，则必有（ c ） 3. 是奇函数，它在区间（其中）上为增函数，则它在区间上（d） a. 是减函数且有最大值 b. 是减函数且有最小值 c. 是增函数且有最小值 d. 是增函数且有最大值4已知函数，且，则 5定义在实数集上的函数f(x)，对任意，有且。（1）求证；（2）求证：是偶
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