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数论难题讲解1、有两个整数,它们的和恰好是两个数字相同的两位数,它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数.111A=BC B+C=11D分析与解 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=16+17，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了。可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111=373，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍（想想为什么？）3倍就不是两位数了。把九个三位数分解：111=373 222=376=743333=379 444=3712=746555=3715 666=3718=749777=3721 888=3724=7412999=3727把两个因数相加，只有（74+3=）77和（37+18=）55的两位数字相同。所以满足题意的答案是74和3，37和18。 2、把一个三位数的百位和个位上的数字互换,得到一个新的三位数,新旧两个三位数都能被4整除,这样的三位数共有多少个.Abc与cba都能被4整除，关键看末两位数字。因为B的位置不动，先枚举看看，当B为0时有408,804，为1时有612,216，依次类推B的0-9十种选择都有三个与之对应，因此为有20个这样的三位数。还有428,824,236,632等等直到296,692。我考虑时先把404,808也想进去了，一琢磨不对劲，这样不满足得到新的三位数这一条件。 3、1-9这九个数字各一次,组成三个能被9整除的三位数,要求这三个数的和尽可能大,求这三个数。九个数的和为45，要求每个数都是9的倍数，只能把45拆成18+18+9，和为9的拆成的最大三位数为621，其它两个就好处理了，最高位为9与8，再搭配应954,873，与621这三个数。4、96个同学围成一圈,从某个同学开始1-15报数.如果报数一圈一圈地循环进行下去那么有没有人把1-15这15个数都报过.第一个小朋友报过哪几个数.没有人把15个数都报过。每个人报五个数就会周期变化，因为96除以90余6，每次报数都顺次加6，第一个小朋友报了1后，再报的是7，是因为报到90共6个15结束。再开始从91到96，报1到6再轮到第一个小朋友时报7了，其实就是加了6，下一轮再加6，报13，再下一轮加6得减去一个15，报4，下一轮报10再加6超过15得减15又报1个出现循环。这是因为加了5个6时正好是30的两倍，正好出现循环。其它人同样如此虽报的数不一样但总是五个一周期。因此第一个人报了1,7，13,4，10这五个数。题目：数学老师将一个两位自然数的各位数字和告诉了学生甲，将的约数个数告诉了学生乙。现在学生甲和乙开始谈话，下面是他们的谈话内容。 甲先说：我不知道是几。 乙再说：我现在也不知道是几，但我知道是奇是偶。 甲又说：我现在知道是几了。 乙最后说：我也知道了。 假设这两位学生都非常聪明。求是多少？ 本题属于逻辑推理与数论结合的一道十分有趣的综合题。需要你静下心来认真琢磨，推敲。答案为30。这道题甲乙对话中的每一句的作用都很关键，尤其最后乙说我也知道了。这道题可采用穷举与逐步约束，或者叫枚举与筛选。先来看甲和乙有可能知道那些数。甲知道n的各位数字和可能为左列，可能的数n为右列。n的各位数字和 n110211，20312,21,30413，22,31,40514,23,32,41,50615,24,33,42,51,60716,25,34,43,52,61,70817,26,35,44,53,62,71,80918,27,36,45,54,63,72,81,901019,28,37,46,55,64,73,82,911129,38,47,56,65,74,83,921239,48,57,66,75,84，931349,58,67,76,85,941459,68,77,86,951569,78,961679,88,971789,981899 乙可能知道的数是两位自然数的约数个数，最小为2，最大只能是12，约数12举例为2235(或7)：乙可能得到的数n 的类型N（这里还得去掉1位数）1无A0无2A111,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97（2,4，8,10,5，11,4，10,5，7,11,8,14,7，13,8，10,16,11,17，16）3A225（7）,49（13）4A3 AB,27,10,155A416,816A5 AB232,18,12,50,98,757A664(10)8A7 无 AB3ABC83=24(6)85=40(4)87=56(11)811=88(16)272=54(9)23530（3）23742（6）2311=66（12）2313=78（15）25770（7）9A8无A2B249=36(9)10AB4163=48(12)165=80(8)11A10无12AB5 A2B 3 A2BC323=96(15)89=72(9)435=60(6)437=84(12)925=90(9)然后，我们按照对话逐句分析。甲说我不知道n是几，则从表1可知道甲知道的数字和不会是1或18，因为数字和是1或18的数只有一种情况，一推便知。这个较易理解。第一句话第一次约束不起多少作用。乙再说的话：“知道是奇是偶。还不知道这个数是几。”分两种情况：怎么凭约数个数知道一个数是奇数呢？从上表看出乙知道的数如为2，那就确定n为奇数，因为有两个约数的两位数一定是质数，两位质数一定都是奇数。从上表看出乙知道的数如为3，那就确定n为奇数，因为有三个约数的两位数一定是质数的平方，只能是5的平方25或7的平方49。怎么凭约数个数知道一个数是偶数呢？从表二可看出，2的6次方开始都是偶数了，指数再高要么超过100，要么至少用到一个2，只要逼得必须用上一个2，那乙就可以确定这个数是偶数了。因此这个约数个数一定大于等于7，能确定这个100以内的数一定是偶数，还要不能判断出它是多少，那这个约数个数不能是7，9，与11。乙若知道7这个数是64,9则为36。那乙知道的数能判断出偶数的只有三种情况：8，10，与12。上面第二句话的这次约束非常重要。把n的约数和缩小到，2，3,8，10,12。以上这些都是聪明学生甲可以根据乙的话推出来的，乙知道的数只能是2、3，乙能判断n为奇数，或是8,10，或12，乙能判断n是偶数。上面乙能判断是奇是偶的数我已在括号内注上了数字和。那甲根据自己知道的数就能又说：我现在知道是几了。说明甲知道的这个数字和占据关键位置。仔细分析（从括号中注明数字和的乙能判断是奇是偶的数中去找），甲知道数字和为：2，能判断有11，3，能判断有30，4，有13,31,405，有23,416，有42,247，有43,25，8，有17,71,809，有54,9010，有37,7311，有29,83,47,5612，有48,84，6613，有49.6714，能判断有59，15，有96，7816，有88，7917，能判断有89没划横线的都出现两种以上情况，甲知道的数字和要是2,3，14,17就能根据“乙能判断的是奇是偶”来判断出是11或30,59,89。这是根据第三句话作出的又一关键约束。 再回看这几个数的约数个数，11,59,89都是两个约数，如果乙知道的是2，则11,59,89都有可能，这时第四句话就说不出来。只有30，约数个数是8，如果乙知道的是8，则甲根据数字和能判断的数独一无二只有30一个，因此这道题的答案是30。这是第四句的约束终于得到了答案。在前提甲乙知道两位数的数字和与约数和的情况之下，由四句对话约束四次可推出答案。要做出或看明白这道题需要有一定程度的数论与逻辑推理基础。为了详细说明，上面的话，有些罗嗦，欢迎更简洁的思路与描述，一起切磋。再来一道全球十强企业面试题，考考你逐步约束的推理能力：小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都知道张老师的生日