概率论与数理统计及其实际应用.doc

概率论与数理统计及其实际应用姓名：杨利萍 学号：11109066摘要： 简要介绍了概率论与数理统计的方法和思想，举实例用方差分析判断防锈能力的问题，说明概率统计在解决问题中的高效性、简捷性和实用性。关键词：概率论 数理统计 实际应用1引言概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科, 是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。随着科学技术的发展，概率论与数理统计在众多的学科及生产实际部门中得到了越来越广泛的应用。特别是随着我国经济建设迅猛的发展，这方面的要求越来越多。本文将就概率论与数理统计的方法和思想，在实际应用中展开一些讨论，从中可以看出概率论与数理统计在解决问题中的高效性、简捷性和实用性。2概率论与数理统计的方法和思想2.1概率论概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。 随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。例如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某程度的对称性。大数定律及中心极限定理就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变情况随机过程。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动），这就是随机过程。随机过程的统计特性、计算与随机过程有关的某些事件的概率，特别是研究与随机过程样本轨道(即过程的一次实现)有关的问题，是现代概率论的主要课题。2.2数理统计数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议.数理统计是以概率论为基础，从实际观测资料出发，研究如何合理的搜集资料（数据）来对随机变量的分布函数、数字特征等进行估计、分析和推断。更具体地说：数理统计学是研究从一定总体中随机抽出一部分（称为样本）的某些性质，以此对所研究总体的性质作出推测性的判断。数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点，以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料为随机现象选择数学模型，且利用数学资料来验证数学模型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律性。3实例分析概率论和数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域和日常生活中，下面利用该知识详细分析一个实例。有四种不同牌号的铁锈防护剂（简称防锈剂），现要比较其防锈能力。试验：制作40个大小形状相同的铁件（实验样品），然后把它们随机分为4组，每组10件样品.在每件样品上涂上同一牌号的防锈剂，最后把40个样品放在一个广场上让其受日晒、风吹和雨淋，一段时间后在观察其防锈能力。评分：防锈能力无测量仪器，只能请专家评分。五位受聘专家对评分标准进行讨论，取得共识。样品无锈评100分，全锈了评0分。他们在不知牌号的情况下进行独立评分。最后把一个样品的5个评分的平均值作为给样品的防锈能力。现要比较四个水平的防锈能力是否存在差异。四种不同牌号记为A1，A2，A3，A4。其防锈能力数据如下表所示。防锈能力数据表因子（防锈剂）A12345678910A143.93946.743.844.247.743.638.943.640A289.887.192.790.687.792.486.188.190.889.1A368.469.368.566.47068.170.665.263.869.2A436.245.240.740.539.340.343.238.740.939.7看起来比较随机的评分，仔细观察后会发现，每组数据分布都比较集中。假如样本数量多，画出其频率直方图，很容易判断样本的分布规律，但是样本数量不多，画出其频率直方图并不能得到有效的结果，因此不再赘述频率直方图。由于每组数据分布集中，我们可以首先对其样本均值和样本方差进行分析，样本均值是反映数据集中趋势的一项指标，样本方差是衡量一组数据的离散程度的统计量。通过对这四组数据的分析，可知A1，A2，A3，A4的样本平均值分别为43.1400，89.4400，67.9500，40.4700，样本方差分别为9.0004，4.9204，4.7028， 5.9357。可以直观的看到A2和A3的防锈能力明显比A1， A4的要好，A2又明显优于A3，A1和A4不相上下.Matlab计算程序如下 clear all A1=43.9 39 46.7 43.8 44.2 47.7 43.6 38.9 43.6 40;%防锈剂A1的防锈能力A2=89.8 87.1 92.7 90.6 87.7 92.4 86.1 88.1 90.8 89.1;%防锈剂A2的防锈能力A3=68.4 69.3 68.5 66.4 70 68.1 70.6 65.2 63.8 69.2;%防锈剂A3的防锈能力A4=36.2 45.2 40.7 40.5 39.3 40.3 43.2 38.7 40.9 39.7;%防锈剂A4的防锈能力a1=mean(A1) %防锈剂A1的防锈能力样本平均值a2=mean(A2) %防锈剂A2的防锈能力样本平均值a3=mean(A3) %防锈剂A3的防锈能力样本平均值a4=mean(A4) %防锈剂A4的防锈能力样本平均值aa1=var(A1) %防锈剂A1的防锈能力样本方差aa2=var(A2) %防锈剂A2的防锈能力样本方差aa3=var(A3) %防锈剂A3的防锈能力样本方差aa4=var(A4) %防锈剂A4的防锈能力样本方差a1 = 43.1400a2 = 89.4400a3 = 67.9500a4 = 40.4700aa1 = 9.0004aa2 = 4.9204aa3 = 4.7028aa4 = 5.9357可以利用单因素方差分析法来比较四个水平的防锈能力是否存在差异。单因素方差分析法即某个可控制因素A对结果的影响大小可通过如下实验来间接地反映，在其它所有可控制因素都保持不变的情况下，只让因素A变化，并观测其结果的变化，这种试验称为“单因素试验”。因素A的变化严格控制在几个不同的状态或等级上进行变化，因素A的每个状态或等级成为因素A的一个水平。若因素A设定了s个水平，则分别记为 A1，A2，As。数学模型： 显著性影响问题转化为因素A不同水平下各随机变量总体的均值是否相等问题，即检验假设 是否成立 记号 不同水平下的试验结果，i=1,2,s；j=1,2,ni；n=n1+n2+ns：试验总数；总平均：；总变差平方和：；组内平方和（误差平方和）：，随机因素的影响；组间平方和（因素平方和）：，水平差异的影响；H0的拒绝域为：检验结果：高度显著：；显著：；有一定影响：；无显著影响：。可构造方差表来完成计算：方差来源Source平方和SS自由度df均方MS比值F显著性ProbF因素A的影响Columnss-1随机因素的影响Errorn-sTotaln-1这是一个等重复实验的单因子实验。防锈剂是因子，四种不同牌号是水平，记为A1，A2，A3，A4。Matlab程序如下 score=A1;A2;A3;A4 P=anova1(score) %单因素方差分析输出结果方差分析表和箱形图如下:由箱形图可看出4种防锈剂的防锈能力存在高度显著差异。由于p值小于0.01，拒绝零假设。这里p值为零，猜想是由于太小，而近似为零的。为验证此猜想，现比较A1和A4是否存在显著差异。Matlab程序如下 score1=A1; A4 P1=anova1(score1) %单因素方差分析输出结果方差分析表和箱形图如下：由于p1值为0.0424小于0.05，拒绝零假设，4种防锈剂的防锈能力存在显著差异。由此猜想得到验证，四种防锈剂的防锈能力存在显著差异的结论成立。概率统计知识渗透到生活的各个角落，例如目前社会上流行的一种抽奖促销手段，消费者从一个放有16黄白各半乒乓球的箱子中随意抽取8个，黄球代表10分，白球代表5分，以相加的分数作为中奖的分数，中奖规则如下:80分或40分为一等奖，奖金50元；75分或45分为二等奖，奖金5元；70分或50分为三等奖，奖金2元；65分或55分为四等奖，交现金1元送巧克力一块；60 分则罚款二元。看似很诱人的抽奖，但是顾客十之八九都得到五等“奖”。我们从概率的角度去分析,可以发现这其实是一个不放回抽样的摸球问题，只不过搞活动的人将球数等价的划成了分数，增加了几分玄机。经计算发现，中大奖的机会几乎为0，是小概率事件，在一次试验中是几乎不可能发生的。而需要顾客自掏腰包的奖项的比例却高达80%以上。假如我们能利用自己的知识对这种现象稍加分析，就会避免上当。4结论数学理论与现实世界联系密切，我们要理解对数学方法产生的背景和思想，善于利用所学到的数学知识、数学方法分析解决实际问题。概率论与数理统计在我们的生活中几乎无处不在，学过之后就要善于把它应用到实际生活中，这将使我们受益无穷。参考文献1盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计M.北京:高等教育出版社,20092沈恒范.概率论与数理统计教程M.北京:高等教育出版社,2003