第一讲 椭圆及其标准方程精编(含答案).doc

第一讲 椭圆及其标准方程一【基础知识讲解】 1、椭圆定义：（1）第一定义： 文字语言形式:平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆,其中两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 符号语言形式:|MF1|+|MF2|=2a|F1F2| (M为动点，F1、F2为定点，a为常数) 注意：|2a|F1F2|非常重要，这是因为，当|2a|=|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；当|2a|b0）； （2） 焦点在y轴上的方程：（ab0）； （3）当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m0,n0，且 m不等于n) （4） 参数方程：称它们为标准方程，是因为它的形式最简单，这与利用对称性建立直角坐标系有关。同时，还应注意理解下列几点： (1) 标准方程中的常数b源于b2=a2-c2，常数a和b决定椭圆的大小和扁平程度，是椭圆的定形条件。 (2) 焦点F1(-c,0)、F2(c,0)的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型。也就是说，知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有多种类型. (3) 任何一个椭圆，只需选择适当的坐标系，其方程均可写成标准形式。当且仅当椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有上述的标准形式。二【例题讲解】 1、椭圆的第一定义考点1：椭圆的判断1判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出的值 ；答案：表示园；是椭圆；不是椭圆（是双曲线）； 可以表示为 ，是椭圆，2.设定点，动点满足条件，则动点的轨迹是 （ C ） A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段或不存在 D. 不存在变式训练1. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_. 解析：椭圆方程化为+=1.焦点在y轴上，则2，即k0，0k1.答案：0k12.，方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ D ） A. B. C. D. 考点2：椭圆的焦点与焦距1. 已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则MNF2的周长为（ B ） A.8 B.16 C.25 D.322. 椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|等于( C ) A. B. C. D.4 3 椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距 离为（ A ） A.5 B.6 C.4 D.10 4若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是( A ) （A） （B） （C） （D） 5点P是长轴在x轴上的椭圆上的点，F1, F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是(D) a2- b2 （A）1 （B）a2 （C）b2 （D）c2PF1*PF2=PF1*(2a-PF1)=2aPF1-PF12=a2-a2+2aPF1-PF12=a2-(a-PF1)2因此当PF1=a时有最大值a2当PF1=a+c时有最小值b2 6椭圆短轴的两端点为B1, B2，过其左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的比例中项(O为中心)，则等于(B ) a2=2bc （A） （B） （C） （D） 变式训练 1 椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的周长为 答案：2 化简方程：答案：3. 已知4，则曲线和有 （ B ）A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴考点3：椭圆第一定义的应用 1 椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是 答案：14 2.椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点， 则（为坐标原点）的值为（ ） A4B2 C8 D解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A3在椭圆上取三点，其横坐标满足x1+x3=2x2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r1, r2, r3，则有( A ) （A）r1, r2, r3成等差数列 （B）r1, r2, r3成等比数列 （C）成等差数列 （D）成等比数列变式训练 1. (广雅中学20122013学年期中考)已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-1-2=72. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=_。解析的周长为，=8考点4：求动点的轨迹这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。1 动点P到两定点 (-4,0)， (4,0)的距离的和是8，则动点P的轨迹为 _ 答案：是线段，即 2.ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A的坐标为.依题意得 ， 顶点A的轨迹方程为 .说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（，）与(0，6)应舍去.3.已知定圆x2+y2-6x-55=0，动圆M和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M的轨迹及其方程 分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论： 上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆 解 已知圆可化为：圆心Q(3，0)，所以P在定圆内 设动圆圆心为，则为半径 又圆M和圆Q内切，所以，即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，故动圆圆心M的轨迹方程是： 4.在ABC中，BC=24，AC、AB的两条中线之和为39,求ABC的重心轨迹方程.分析：以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=39=26.根据椭圆定义可知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为 (0) 变式训练1.已知轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为 因为点为椭圆上的点，所以有 ，即所以点的轨迹方程是 2.长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在轴、轴上滑动，点M分AB的比为，求点M的轨迹方程解：设动点的坐标为，则的坐标为 的坐标为 因为，所以有 ，即所以点的轨迹方程是 2、椭圆的标准方程考点1：求椭圆的标准方程1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；两个焦点坐标分别是（0，2）和（0,2）且过（,） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.(5)焦点在轴上，与轴的一个交点为P(0，10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 所以所求椭圆标准方程为 2 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知，又 所以所求标准方程为 另法： 可设所求方程，后将点 （,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程(3)椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： ，2c=6.所求椭圆的方程为：.(4) 椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 .所求椭圆方程为： （5）椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为：（，）在椭圆上，.又P到它较近的一焦点的距离等于2，c（），故c=8.所求椭圆的标准方程是. 2.已知椭圆的焦点是，为椭圆上一点，且是和的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且120，求.选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设4， 2c=2， 椭圆的方程为.（）设，则60由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故3. 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况4. 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值解：方程变形为因为焦点在轴上，所以，解得又，所以，适合故5. 已知椭圆的中心在原点，且经过点，求椭圆的标准方程分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程解：当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，代入得，故椭圆的方程为当焦点在轴上时，设其方程为由椭圆过点，知又，联立解得，故椭圆的方程为6.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为7. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程解：设两焦点为、，且，从椭圆定义知即从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，可求出，从而所求椭圆方程为或8.已知椭圆方程，长轴端点为，焦点为，是椭圆上一点，求：的面积（用、表示）分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限由余弦定理知： 由椭圆定义知： ，则得 故 9.已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式解：如图所示，设动圆和定圆内切于点动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法 10. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：如图所示，椭圆的焦点为，点关于直线的对称点的坐标为（9，6），直线的方程为解方程组得交点的坐标为（5，4）此时最小所求椭圆的长轴：，又，因此，所求椭圆的方程为变式训练1.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 2.已知方程表示椭圆，求的取值范围解：由得，且满足条件的的取值范围是，且说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆3.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为(，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程解：设所求椭圆方程为(，)由和两点在椭圆上可得即所以，故所求的椭圆方程为三【课后习题】 1.方程表示椭圆，则的取值范围是（ B ）. .） . . ）2.椭圆的焦点坐标是（ C ） A.(5，0) B.(0，5) C.(0，12) D.(12，0) 3.已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ A ） A.2 B.2 C.2 D.4. (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是（ D ）A4a B2(ac) C2(a+c) D以上答案均有可能 OxyDPABCQ解析按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(ac);(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面5.已知三角形ABC的一边长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程 解：以BC边为x轴，BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆， 其方程为：若以BC边为y轴，BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系，则A点的轨迹是椭圆，其方程为：6.已知B，C是两个定点，BC6，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程解：以BC所在直线为轴，BC中垂线为轴建立直角坐标系，设顶点，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得所以顶点A的轨