2006-2007年度热力学与统计物理标准答案(A).pdf

2006 2007年度 热力学与统计物理 标准答案 A 2003级期末考试缓考 补考试卷 A卷 及参考答案 考试时间 2007年03月18日08 30 10 30 考试地点 B1 110 考试情况 应考52人 实考50人 缺考2人 106012003025 林亚田 106012003035 严宝杰 一填空题 每题2分 共10分 x 体系由溶质 例如溶解于水中的盐 和溶剂 例如水 组成 而且溶解未达到饱和状态 此系统 包含一相 y 对于孤立系或绝热系 体系在平衡态时熵为最大 z 描写由 N 个双原子分子组成的理想气体状态的 空间是 14N 维的 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态 a b 和 c 中 一个粒子处在状态 a 一个粒子处 在状态 b 如果它们是 Boltzmann 粒子 即经典粒子 则这一分布出现的概率是2 9 统计物理认为 宏观物理量 如内能 压强等 是相应微观量的统计平均值 二判断题 每题2分 共10分 正确的请在答题纸相应位置写上 T 错误的请写 上 F x 理想气体向真空自由膨胀过程是非准静态过程 T y 任何体系经过可逆过程熵不变 经过不可逆过程熵增加 F z 从单一热源吸引热量全部用于对外做功是不可能的 F 能量均分定理是适用于处于温度为 T 的热平衡状态的经典系统 T Boltzmann分布是对应于孤立系的平衡态分布 所以满足 Boltzmann 分布的熵一定最大 T 三简答题 每题6分 共18分 x 当独立变量选为温度和体积时 特性函数是什么 为什么 答 当独立变量选为 T V 时 特性函数是 F 1分 由自由能的全微分 dF SdT pdV 1分 即可得 S F T V p F V T 1分 热力学与统计物理标准答案 A 共 8 页 第 1 页 2006 2007年度 热力学与统计物理 标准答案 A 所以 U F TS F T F T V 1分 G F pV F V F V T 1分 H U pV F T F T V V F V T 1分 这样 S U G H p 物态方程 全部都用已知量表示之 y 简述固体热容量的经典理论与 Einstein 理论的异同点 答 固体热容量的经典理论认为 固体中的每一个原子在其平衡位置上作微小的简谐振动 整个固体可以看作是 3N 个线性 谐振子的集合 1分 每一个线性谐振子的能量为 p2 2m 1 2m 2q2 1分 根据能量均分定理 每个线性谐振子的平均能量为 kT 因此 U 3NkT CV 3Nk 1分 而 Einstein 模型 固体中的每一个原子在其平衡位置上作微小的简谐振动 整个固体可以看作是 3N 个线性 谐振子的集合 1分 认为每一振子都以同一频率 振动 且能量是量子化的 n n 1 2 这是它与经 典模型最大的不同点 1分 计算配分函数 Z P n 0 e n 从而得到 U CV 1分 z 近独立粒子的最概然分布包括哪三种统计分布 答 近独立粒子的最概然分布包括以下三种统计分布 Boltzmann 分布 al l e l 2分 Bose 分布 al l e l 1 2分 Fermi 分布 al l e l 1 2分 四证明题 每题12分 共36分 x 试证能态方程 U V T T p T V p 证明 依题意 选择 T V 为独立变量 此时系统的内能和熵可以形式地表示为 U U T V S S T V 3分 所以有 dU U T V dT U V T dV 1 dS S T V dT S V T dV 2 热力学与统计物理标准答案 A 共 8 页 第 2 页 2006 2007年度 热力学与统计物理 标准答案 A 3分 而根据热力学第一定律 有 dU TdS pdV 3 2分 2 代入 3 即有 dU TdS pdV T S T V dT S V T dV pdV T S T V dT T S V T p dV 4 1分 比较 4 和 1 中 dV 的系数 有 U V T T S V T p 5 1分 又由 Maxwell 关系 有 S V T p T V 1分 所以 5 可以改写为 U V T T p T V p 6 上式即为能态方程 1分 y 试证明在相同的压强降落下 气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降 落 证明 本题即要求证 T p S T p H 0 1分 令 T T p H p S 1分 则利用复合函数偏微分关系可得 T p S T p H T H p H p S 2分 所以 有 T p S T p H T H p H p S 1分 又根据热力学第一定律 dU TdS pdV 1分 及焓的定义式 H U pV 1分 可得焓的全微分为 dH TdS V dp 1分 热力学与统计物理标准答案 A 共 8 页 第 3 页 2006 2007年度 热力学与统计物理 标准答案 A 所以 有 H p S V 1分 又根据定压热容量的定义 有 Cp H T p 1分 所以 有 T p S T p H T H p H p S V Cp 0 2分 即 在相同的压强降落下 气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降 落 z 试根据 Maxwell 速度分布律证明 速度的涨落为 v v 2 kT m 3 8 证明 由 Boltzmann 分布得知 处于能量为 l的第 l 个能级上的粒子数为 al le l N Z le l 当系统的能量分布可以看成是连续的情况下 则从上式可以得到 处在 空间中体积元 dqdp 内的粒子数为 dN N Z e dqdp hr 而依题意 有 1 2m p2 x p 2 y p 2 z r 3 所以 配分函数 Z Z e dqdp hr Z e 2m p 2 x p 2 y p 2 z dxdydzdpxdpydpz h3 V h3 Z e 2mp 2 xdpx 3 V h3 2m 3 2 V h3 2 mkT 3 2 所以 有 dN N Z e dqdp hr Nh3 V 2 mkT 3 2e p2 x p2y p2z 2mkT dxdydzdpxdpydpz h3 N V 2 mkT 3 2e p2 x p2y p2z 2mkT dxdydzdpxdpydpz 所以 在体积 V 内 动量处在 px到 px dpx py到 py dpy pz到 pz dpz内的粒子数为 dN p N 2 mkT 3 2e p2 x p2y p2z 2mkT dpxdpydpz 7 热力学与统计物理标准答案 A 共 8 页 第 4 页 2006 2007年度 热力学与统计物理 标准答案 A 换用球坐标表示 则在体积 V 内 动量大小处在 p 到 p dp 方向在 到 d 到 d 内的粒子数为 dN p N 2 mkT 3 2e p2 2mkTp2sin d d dp 考虑任意方向 则在体积 V 内 动量大小处在 p 到 p dp 内的粒子数为 dNp 4 N 2 mkT 3 2e p2 2mkTp2dp 8 由于动量与速度之间的关系 p mv px mvx py mvy pz mvz 所以 有 dp mdv dpx mdvx dpy mdvy dpz mdvz 所以由 7 可得 在体积 V 内 速度处在 vx到 vx dvx vy到 vy dvy vz到 vz dvz内的粒 子数为 dN v N 2 mkT 3 2e m v2 x v2y v2z 2kT m3dvxdvydvz N m 2 kT 3 2 e m v2 x v2y v2z 2kT dvxdvydvz 换句话说 在体积 V 内 粒子的速度处在 vx到 vx dvx vy到 vy dvy内的概率为 dn v dN v N m 2 kT 3 2 e m v2 x v2y v2z 2kT dvxdvydvz f vdvxdvydvz 9 同样地 由 8 可得 在体积 V 内 速度大小 即速率 处在 v 到 v dv 内的粒子数为 dNv 4 N 2 mkT 3 2e mv2 2kTm3v2dv 4 N m 2 kT 3 2 e mv2 2kTv2dv 换句话说 在体积 V 内 粒子的速度大小 即速率 处在 v 到 v dv 内的概率为 dnv dNv N 4 m 2 kT 3 2 e mv2 2kTv2dv fvdv 10 以上式 9 和 10 就分别是在三维理想气体中分子的速度分布和速率分布 亦即为 Maxwell 速 度分布律和速率分布律 f v m 2 kT 3 2 e m v2 x v2y v2z 2kT fv 4 m 2 kT 3 2 e mv2 2kTv2 分别是在三维理想气体中分子的速度分布函数和速率分布函数 2分 又因为速度的涨落为 v v 2 v2 2v v v2 v2 2v v v2 v2 2 v v v2 v2 v2 2分 热力学与统计物理标准答案 A 共 8 页 第 5 页 2006 2007年度 热力学与统计物理 标准答案 A 而宏观量是相应微观量的统计平均值 1分 所以平均速率为 v Z v dNv N Z vdnv 1分 Z v4 m 2 kT 3 2 e mv2 2kTv2dv 4 m 2 kT 3 2Z 0 e mv2 2kTv3dv 1分 4 m 2 kT 3 2 1 2 m 2kT 2 8kT m 1 2 1分 速度平方的平均值为 v2 Z v2 dNv N Z v2dnv 1分 Z v24 m 2 kT 3 2 e mv2 2kTv2dv 4 m 2 kT 3 2Z 0 e mv2 2kTv4dv 1分 4 m 2 kT 3 2 3 8 v u u t m 2kT 5 3kT m 1分 所以速度的涨落为 v v 2 v2 v2 3kT m 8kT m kT m 3 8 1分 即 速度的涨落为 v v 2 kT m 3 8 五计算题 每题13分 共26分 x 若以纵坐标表示温度 T 横坐标表示熵 S 构成 T S 图 试在图中画出可逆 Carnot 循环过程 的曲线 并利用 T S 图求出可逆 Carnot 循环的效率 解 首先 将 p V 图中的可逆 Carnot 循环转化为 T S 图中的 Carnot 循环 4分 热力学与统计物理标准答案 A 共 8 页 第 6 页 2006 2007年度 热力学与统计物理 标准答案 A T2 T1 p V 3 2 4 1 由图中可以得到 工质从1态到2态的等温膨胀过程中所吸收的热量为 Q1 Z 2 1 TdS 1分 Z 2 1 T1dS 1分 T1 S2 S1 1分 工质从3态到4态的等温压缩过程中所放出的热量为 Q2 fl fl fl fl Z 4 3 TdS fl fl fl fl 1分 fl fl fl fl Z 4 3 T2dS fl fl fl fl 1分 T2 S4 S3 T2 S3 S4 T2 S2 S1 1分 T2 S2 S1 1分 所以 可逆 Carnot 循环的效率为 1 Q2 Q1 1分 1 T2 S2 S1 T1 S2 S1 1 T2 T1 1分 即 可逆 Carnot 循环的效率为 1 T2 T1 y 单原子分子理想气体 其能量表达式为 p2 x p 2 y p 2 z 2m 试求该系统的自由能和熵 解 依题意 单原子分子理想气体的能量表达式为 p2 x p 2 y p 2 z 2m 1分 粒子的自由度为 r 3 2分 热力学与统计物理标准答案 A 共 8 页 第 7 页 2006 2007年度 热力学与统计物理 标准答案 A 所以 粒子的配分函数为 Z Z e dqdp hr 2分 Z e p2 x p2y p2z 2m dxdydzdpxdpydpz h3 V h3 Z e 2mp 2 xdpx 3 1分 V h3 2 m 3 2 1分 所以系统的自由能为 F NkT lnZ 2分 NkT l