概率论与数理统计试卷分析.pdf

Aans 1 杉达 国商 会计等 杉达 国商 会计等 专业 2006 专业 2006 级 专级 专 科 科 概率论与数理统计 试卷 A 评析 得分得分 阅卷人阅卷人 一 单项选择题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 每小题的四个备 选答案中选出一个正确答案 并将正确答案的序号填在题中的括号内 一 单项选择题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 每小题的四个备 选答案中选出一个正确答案 并将正确答案的序号填在题中的括号内 1 随意地投掷一均匀的骰子两次 则这两次出现的点数之和为 8 的概率为 A 5 36 B 4 36 C 3 36 D 2 36 讲评 考点 古典概型 P A A 的样本点数 的样本点数 本题 s t s t 1 2 3 4 5 6 36 A 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 A 5 所以 P A 5 36 选 A 2 设随机变量 X 的密度函数为 f x 2x 0 x A 0 其他 则 A A 1 4 B 1 2 C 1 D 2 讲评 考点 随机变量的密度函数性质 f x dx 1 本题 1 f x dx 0 A 2xdx x2 0 A A2 A 1 选 C 3 二维随机变量 X Y 的联合分布律为 P X xi Y yj 1 12 i 1 2 3 4 yj 1 2 3 则 P X x1 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 1 讲评 考点 二维离散随机变量的联合分布律与边缘分布 X 的边缘分布列为 P X xi j 1 pij pi 本题 P X x1 P X x1 Y y1 P X x1 Y y2 P X x1 Y y3 1 12 1 12 1 12 1 4 选 A 4 设随机变量 X 满足 E X2 8 D X 4 EX 0 则 EX A 1 B 2 C 3 D 4 讲评 考点 随机变量的数字特征的基本性质 D X E X2 EX 2 本题 EX 2 E X2 D X 8 4 4 EX 2 选 B 5 总体 X N 1 为未知参数 X1 X2 X3为 X 的一个样本 下面 4 个关于 的无偏估计量中最 有效的一个是 A 1 3X1 2 3X2 B 1 4X1 1 2X2 1 4X3 C 1 6X1 5 6X2 D 1 3X1 1 3X2 1 3X3 讲评 考点 线性无偏估计量中 方差最小的为组合系数全部相等的线性无偏估计量 本题 1 3X1 1 3X2 1 3X3因的组合系数全部为 1 3 所以是最有效的 选 D 6 假设检验时 当样本容量一定时 缩小犯第 类错误的概率 则犯第 类错误的概率 A 变小 B 变大 C 不变 D 不确定 讲评 考点 假设检验时 犯第 类错误的概率与犯第 类错误的概率的关系 当样本容量一定 时 犯第 类错误的概率减少则犯第 类错误的概率增大 反之犯第 类错误的概率增大则犯第 类错误的概率减少 本题 缩小犯第 类错误的概率 则犯第 类错误的概率增大 选 B Aans 2 得分得分 阅卷人阅卷人 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 不写解答过程 将正确的答案写在每小题的空格内 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 不写解答过程 将正确的答案写在每小题的空格内 7 若事件 A 与 B 相互独立 且 P A 0 4 P A B 0 6 则 P B P AB 讲评 考点 事件的运算 互相独立事件与逆事件的概率的计算 加法公式 P A B P A P B P AB A 与 B 相互独立 P AB P A P B A 与B 也独立 本题 0 6 P A B P A P B P AB 0 4 P B 0 4P B P B 1 3 因为 A 与B 也独立 所以 P AB P A P B 0 4 2 3 4 15 填 1 3 4 15 8 若随机变量 X 服从泊松分布 且 P X 1 P X 2 则 P X 3 讲评 考点 泊松分布 X P 分布律为 P X k k k e k 0 1 2 3 本题 P X 1 P X 2 1 1 e 2 2 e 2 所以 P X 3 3 3 e 4 3e 2 填 4 3e 2 9 设 X N 2 且概率密度 f x 1 6 e x 2 2 6 则 2 讲评 考点 正态分布 X N 2 密度函数 f x 1 2 e x 2 2 2 x 本题 对照密度函数 f x 1 6 e x 2 2 6 与公式 f x 1 2 e x 2 2 2 得到 2 2 3 填 2 3 10 设随机变量 X 服从 1 3 上的均匀分布 则 P 1 2 X 3 2 讲评 考点 均匀分布 X U a b 密度函数 f x 1 b a a x b 0 其他 已知密度函数求概率 本题 X 密度函数 f x 1 2 1 x 3 0 其他 P 1 2 X 3 2 1 3 2 f x dx 1 2x 1 3 2 1 4 填 1 4 11 在三次独立试验中 事件 A 至少出现一次的概率为 37 64 则事件 A 在一次试验中出现的概率 为 讲评 考点 二项分布 X B n p 分布律为 P X k Cn kpk 1 p n k k 0 1 2 3 n 本题 X B 3 p 所求的为 p P X 1 1 P X 0 1 C3 0p0 1 p 3 1 1 p 3 37 64 1 p 3 27 64 p 1 4 填 1 4 12 设随机变量 X 服从二项分布 B 100 0 2 则 EX E 2X 1 讲评 考点 二项分布 X B n p 的数学期望 EX np 期望算子的性质 E aX bY aEX bEY 本题 X B 100 0 2 则 EX np 100 0 2 20 E 2X 1 2EX 1 41 填 20 41 得分得分 阅卷人阅卷人 三 计算题 本大题共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 三 计算题 本大题共 5 小题 每小题 7 分 共 35 分 13 甲袋中有三个白球 二个黑球 乙袋中装有一个白球 二个黑球 由甲袋中任取一球投入乙袋 Aans 3 再从乙袋中任取一球 1 求从乙袋中取出的是黑球的概率 2 已知从乙袋中取出的是黑球 求从甲袋中放入乙袋也是黑球的概率 讲评 考点 全概率公式 当事件 B 发生都是由另外一些事件 Aj发生而引起的 并且已知 Aj发 生下 B 发生的条件概率 则要用全概率公式来计算 注意前提 A1 A2 An构成 的一个分斥 全概率公式 P B i 1 n P B Ai P Ai 本题设事件 B 表示乙袋取出黑球 设事件 A1表示由甲袋取出白球 设事件 A2表示由甲袋取出黑球 由已知 P A1 3 5 P A2 2 5 P B A1 2 4 P B A2 3 4 1 则从乙袋中取出的是黑球的概率为 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 3 5 1 2 2 5 3 4 3 5 2 所求的为 P A2 B P A2 P B A2 P B 2 5 3 4 3 5 1 2 14 某射手有 3 发子弹 射一次命中的概率为 2 3 如果命中了就停止射击 否则一直独立地射到 子弹用尽 求 1 耗用子弹 X 的分布列 2 EX 讲评 考点 离散型随机变量的分布列与期望 解 1 设事件 Ak为第 k 次射击命中目标 k 1 2 3 设耗用子弹数为 X 则 X 的值为 1 2 3 P X 1 P A1 2 3 P X 2 P A1 A2 1 3 2 3 2 9 P X 3 P A1 A2 A3 A1 A2 A3 2 27 1 27 1 9 则 X 的分布列为 X 1 2 3 P 2 3 2 9 1 9 2 EX 1 2 3 2 2 9 3 1 9 13 9 15 随机变量 X 服从 1 3 上的均匀分布 求 X 的分布函数 讲评 考点 均匀分布的密度函数与分布函数 解 X 的密度函数 f x 1 2 1 x 3 0 其他 当 x 1 时 F x x f t dt x 0dt 0 当 1 x 3 时 F x x f t dt 1 1 x 1 0dt 1 x 1 2dt x 1 2 当 3 x 时 F x x f t dt 1 1 3 3 x 1 0dt 1 3 1 2 dt 3 x 0dt 1 所以 X 的分布函数为 F x 0 x3 16 已知随机变量 X 与 Y 的分布律分别为 X 1 0 1 P 1 3 1 2 1 6 Y 0 1 P 1 2 1 2 且 P XY 0 1 求 1 X Y 的联合分布律 2 X Y 是否相互独立 讲评 考点 二维的联合分布律 与独立的判别方法 解解 根据已知条件 P XY 0 1 P XY 0 0 P 1 1 0 P 1 1 0 再根据边缘分布得到 P 1 0 1 3 P 1 0 1 6 同理得到 P 0 0 0 P 0 1 1 2 所以 X 和 Y 的联合分布为 X Y 0 1 1 1 3 0 0 0 1 2 1 1 6 0 因为 P X 1 Y 0 1 6 但 P X 1 P Y 0 1 6 1 2 1 12 所以 X 与 Y 不独立 Aans 4 17 随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1 6 1 3 1 3 1 6 求 Y1 2X 1 Y2 X2的分布律 讲评 考点 离散随机变量的函数的分布律 设离散型随机变量 X 的分布律为 X x1 x2 xk P p1 p2 pk 则 X 的函数 Y g X 的分布律为 Y g x1 g x2 g xk P p1 p2 pk 当 g xj 有相同情况时 概率为相应之和 解解 因为 X 1 0 1 2 Y1 1 1 3 5 Y2 1 0 1 4 P 1 6 1 3 1 3 1 6 所以 Y1的分布律为 Y1 1 1 3 5 P 1 6 1 3 1 3 1 6 及 Y2的分布律为 Y2 0 1 4 P 1 3 1 2 1 6 得分得分 阅卷人阅卷人 四 综合应用题 本大题共 3 小题 共 17 分 四 综合应用题 本大题共 3 小题 共 17 分 18 一批建筑用木柱 其中长度小于 3m 的概率为 0 2 现从这批木柱中任取 100 根 问其中至少有 30 根长度小于 3m 的概率 2 5 0 9938 6 分 讲评 考点 二项分布与大数定理 棣莫弗棣莫弗 Demoiver 拉普拉斯拉普拉斯 Laplace 定理定理 设随机变量Yn n 1 2 3 服从参数为 n p 的二项分布 即 Yn B n p 则对任意实数 x 恒有 lim n P Yn np npq x x x 1 2 e t 2 2 dt a b 1 2 e t 2 2 dt 这一定理说明 服从二项分布 B n p 的随机 变量 Yn作标准化后的随机变量Yn np npq的极限分布是标准正态分布 N 0 1 解解 设 100 根木柱中 长度小于 3m 的根数为 X 则 X B n p 其中 n 100 p 0 2 EX np 20 DX np 1 p 16 所求的为 P X 30 1 P X 30 1 P X EX DX 30 EX DX 1 P X EX DX 30 20 16 1 2 5 1 0 9938 0 0062 19 总体 X 服从参数为 的指数分布 f x e x x 0 0 x0 为未知参数 X1 X2 Xn为样 本 试求参数 的极大似然估计量 5 分 讲评 考点 极大似然估计量的求法 解解 似然函数 L i 1 n e xi ne xi xi 0 两边取对数 lnL nln i 1 n Xi 利用导数求驻点 dlnL dL n 1 i 1 n Xi 0 解得 的最大似然估计量 L n i 1 n Xi 1 X 20 某校大二学生的概率统计成绩服从正态分布 N 2 从中任取 25 名学生的成绩 经计算得平 均成绩X 72 2 分 样本标准差 S 8 求总体均值 的置信水平为 95 的