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第一章统计物理的基本原理第一章统计物理的基本原理 一般的宏观系统都由大量的微观粒子组成一般的宏观系统都由大量的微观粒子组成 尽管原则上允许对这些大量的 微观粒子建立运动方程来研究它们的运动 尽管原则上允许对这些大量的 微观粒子建立运动方程来研究它们的运动 但在实际操作上几乎不可能但在实际操作上几乎不可能 我们可 以设想大量的粒子由于相互作用 我们可 以设想大量的粒子由于相互作用 它们的运动应该是杂乱无章的它们的运动应该是杂乱无章的 但我们看到的 宏观系统的运动却是很规则的 但我们看到的 宏观系统的运动却是很规则的 这些规则性如何从研究微观粒子的运动出发而 得出 这些规则性如何从研究微观粒子的运动出发而 得出 这就是统计物理学的任务这就是统计物理学的任务 为叙述方便为叙述方便 我们先假设微观粒子服从经典力学规律我们先假设微观粒子服从经典力学规律 我们来研究经典统计 物理学 我们来研究经典统计 物理学 第一个基本的概念是相空间第一个基本的概念是相空间 考虑考虑N个粒子构成的一个系统个粒子构成的一个系统 粒子在粒子在3维 空间中运动 维 空间中运动 有有3N个自由度个自由度 系统的动力学状态可用 表示 系统的动力学状态可用 表示 它们是它们是N个粒子的坐标和动量个粒子的坐标和动量 可简写为可简写为 这是一个这是一个6N维的相空间维的相空间 相空间中的每一点都代表着系统的一特定的状态相空间中的每一点都代表着系统的一特定的状态 粒子的坐标和动量随时间变化粒子的坐标和动量随时间变化 相空间中代表系统状态的点也在运动相空间中代表系统状态的点也在运动 它的运动曲线称为相轨迹它的运动曲线称为相轨迹 3131NN ppqqLL pq 设想一个孤立的宏观系统设想一个孤立的宏观系统 如左图所示如左图所示 它的其中一部分它的其中一部分 图中橙色部分图中橙色部分 与整体相比很小与整体相比很小 这个子系统与它的周围这个子系统与它的周围 环境有着复杂的作用环境有着复杂的作用 直接解这个子系统的粒子的运动方直接解这个子系统的粒子的运动方 程是不可能的程是不可能的 但正是由于这种复杂性但正是由于这种复杂性 导致了一种统计导致了一种统计 方法方法 统计分布函数统计分布函数 系统的代表点的轨迹系统的代表点的轨迹 令为子系统相空间的一个小体积元令为子系统相空间的一个小体积元 只要时间 足够长 只要时间 足够长 相轨迹会多次穿过这个小体积元相轨迹会多次穿过这个小体积元 令系统呆在这个体积元 里的时间 令系统呆在这个体积元 里的时间 当总时间趋于无限长时当总时间趋于无限长时 将趋于某个极限将趋于某个极限 q pq p t T TTt Ttw T lim 这个量表示了在任意时刻这个量表示了在任意时刻 观察到子系统观察到子系统 的代表点的代表点 处于相体积元处于相体积元内的几率内的几率 pq 取无限小的相体积元取无限小的相体积元 NN dpdpdpdqdqdqdqdp 321321 LL 这个量表示了在任意时刻这个量表示了在任意时刻 观察到子系统观察到子系统 的代表点的代表点 处于相体积元处于相体积元 内的几率可写为内的几率可写为 dqdp dqdpqqppdw NN 3131 LL 3131NN qqppLL 称为统计分布函数称为统计分布函数 统计平均统计平均 统计分布函数是归一的统计分布函数是归一的 qpHE 1 dqdp dqdpqpqpHE 确定统计分布函数是统计物理的一个基本问题确定统计分布函数是统计物理的一个基本问题 一旦得到它一旦得到它 系统的所有物理量 就可计算出来 系统的所有物理量 就可计算出来 比如能量的平均值为比如能量的平均值为 这称作统计平均这称作统计平均 它显然等于时间平均它显然等于时间平均 T T dttHE 0 lim 刘维定理刘维定理 设想我们对一系统观测了很长时间设想我们对一系统观测了很长时间 把时间分成大量把时间分成大量 极限下极限下 无穷多无穷多 的时间 间隔 的时间 间隔 在各个瞬间在各个瞬间 系统代表点为系统代表点为 这些相空间中的点 的分布密度正比与统计分布函数 这些相空间中的点 的分布密度正比与统计分布函数 L 21 tt qp L 21 AA 我们把这些一个系统在不同时间上存在的态我们把这些一个系统在不同时间上存在的态 形式地形式地 设想为 大量设想为 大量 极限下极限下 无穷多无穷多 的相同的系统以这些态同时存在的相同的系统以这些态同时存在 比方说比方说 在在 这些相同的系统 处在代表的态上 这些相同的系统 处在代表的态上 这些点的分布密度正比与统计分布函数这些点的分布密度正比与统计分布函数 由于处于平衡态由于处于平衡态 在以后的任何时刻在以后的任何时刻 这些点的分布密度正比与统计分布函 数 这些点的分布密度正比与统计分布函 数 0 t L 21 AA 如果我们短时间跟踪这些代表点如果我们短时间跟踪这些代表点 系统可看做是准封闭的系统可看做是准封闭的 即与外界无能量即与外界无能量 物质交换物质交换 系统的哈密顿量将不含时间系统的哈密顿量将不含时间 qp qp 这些代表点将在相空间中运动这些代表点将在相空间中运动 对某个相体积元对某个相体积元 有些代表点流出有些代表点流出 有些代表点有些代表点 流进流进 但总数应不变但总数应不变 我们来看一下这个条件会导致什么结果我们来看一下这个条件会导致什么结果 0 v div t 将这些代表点看作在相空间中运动的粒子将这些代表点看作在相空间中运动的粒子 粒子数守恒要求有粒子数守恒要求有 1 33 3 i i N i i i i i i N i i i i i N i i p p q q p p q q p p q q vdiv 2 2 2121 1 n vvvv v 令令 n 为沿的单位矢量为沿的单位矢量 1 cv n vvvv v 2 2 2121 2 由于刚性壁的作用由于刚性壁的作用 粒子动量并不守恒粒子动量并不守恒 但能量是守恒的但能量是守恒的 即使考虑了粒 子间的碰撞 即使考虑了粒 子间的碰撞 即即 tconsvmvmtan 2 1 2 12 2 2 1 若初始速度大小都为若初始速度大小都为 则则 v 2 2 2 2 1 2vvv 的变化范围为的变化范围为 21 vv vvvv2 2 21 碰撞能否是粒子在速度空间中各态历经碰撞能否是粒子在速度空间中各态历经 v v v v 两粒子初速度大小都为两粒子初速度大小都为v 与与x轴夹为轴夹为45度度 若无相互作用若无相互作用 由于刚性壁的反 射 由于刚性壁的反 射 粒子在速度空间中的代表点为图中的四点粒子在速度空间中的代表点为图中的四点 发生一次碰撞发生一次碰撞 碰撞后的可 能的速度范围是什么样的 碰撞后的可 能的速度范围是什么样的 若若 21 vvvv 则则 21 vv 可能范围为图中可能范围为图中 浅橙色线上浅橙色线上 若若 21 vvvv 则则 21 vv 可能范围为图中可能范围为图中 浅绿色区域浅绿色区域 c v 1c v 没有一个系统是绝对的封闭的 没有一个系统是绝对的封闭的 封闭的封闭的 的含义为与外界交换的能量与系统的含义为与外界交换的能量与系统 的总能量相比非常微小 完全可以忽略 但即使是很微小的能量变化也会使系统的总能量相比非常微小 完全可以忽略 但即使是很微小的能量变化也会使系统 在大量的微观态之间跃迁 下面首先讨论一个气体系统在一个能量层中的微观态在大量的微观态之间跃迁 下面首先讨论一个气体系统在一个能量层中的微观态 的数目 然后在代进一个实际系统 这个例子会给我们一些直观的印象 的数目 然后在代进一个实际系统 这个例子会给我们一些直观的印象 1 系统体积为 系统体积为V 其中有其中有3N个无相互作用的粒子个无相互作用的粒子 粒子质量为粒子质量为m 求总能量在 求总能量在 E m p E N i i 3 1 2 2 的相体积 的相体积 这个相体积大小为这个相体积大小为3N维的球壳维的球壳 1 2 3 2 2 3 3 22 3 2 3 3 1 2 3 1 2 N mE V E ydpdqd N N N EmymE N EmpE N N i i N i i LLL 按半量子论证按半量子论证 这个相体积中的量子态数为这个相体积中的量子态数为 N N N h N mE V E 3 2 3 1 2 3 2 320 1 1 10 2 3 mVKTNNkTE J Rhc universe 41 34 101 2 360024365 1063 6 2020 20 103341020 105 1232027 2320 41 3 2 3 1063 6 71 2 10 1038 1105 11067 114 32 1038 1105 1 101 2 1 2 3 2 N N N h N mE V E 20 20 20 105 4144 1086 105 44 44 1010 10 10 10 一个波长为宇宙半径的光子能使下面的气体系统可能发生跃迁的量子态数一个波长为宇宙半径的光子能使下面的气体系统可能发生跃迁的量子态数 为多少 为多少 N E 从下面式子中可以看出 能量的变化与系统的总能量 之比尽管已经非常微小了 但系统由于这样的能量 变化而发生跃迁的量子态数却仍然巨大无比 因为 量子态数是个 从下面式子中可以看出 能量的变化与系统的总能量 之比尽管已经非常微小了 但系统由于这样的能量 变化而发生跃迁的量子态数却仍然巨大无比 因为 量子态数是个googleplex数 数 讨论讨论 平衡态的定义 平衡态的定义 声音的能量最后跑到哪儿去了 声音的能量最后跑到哪儿去了 估计一个气体系统一秒钟要经历多少个微观态估计一个气体系统一秒钟要经历多少个微观态 综上所述