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数学 让你生活得更美好 湖北省十堰市东风高中 4 4 2 0 0 1 一 甘志国 德州市武城县第二中学 2 5 3 3 0 0 王月勤 宇宙之大 粒子之微 火箭之速 化工之巧 地 球之变 生物之谜 日用之繁 无处不用数学 一华罗庚 数学是科学的女皇 高斯 一门科学只有成功地运用数学 才算达到真 正完善的地步 马克思 发表在 人民日报 的文章 数学一撬起未来的杠 杆 该文曾选人高一 下 语文自读课本 中写道 数学 家们还介绍 美国国家研究委员会从1 9 8 4 年起 向美国政府 提出了四份关于美国数学和数学教育的报告 报告指出 高 技术的出现把我们的社会推到了数学技术的新时代 很少 有人认识到 被如此称颂的高技术 本质上是数学技术 报 告说 未来社会最好的工作和岗位 属于准备好了处理数学 问题能力的人 数学已不单是一f l q 科 而且是重要的潜在 资源 现今技术发达的社会里 扫除 数学盲 的任务已取代 了扫除 文盲 的任务 本文不想高谈阔论数学的重要作用 只是面向中学生谈 谈数学中最浅显的知识在日常生活中的用处 让你真正体会 到 数学 让你生活得更美好1 l 洗衣做饭 1 1 漂洗衣服悼3 在洗衣服时 衣服上已打好了肥皂 揉搓得很充分了 再 拧一拧 当然不能把水全部拧干 设衣服上还有残留污物的 水l 千克 用2 0 千克的清水来漂洗 怎样才能漂洗得更干净 方案1如果把衣服一下子放到2 0 千克的清水中 那么 连同衣服上那1 千克水 一共2 l 千克水 让污物均匀分布到 这2 l 千克水中 拧 干 后 衣服上还有1 千克水 所以污物 残留量是原来的者 方粟2通常我们会把2 0 干克水分两次用 比如 第一 次用5 千克 可使污物减少到言 再用1 5 千克水 污物又减 少到 的去 即嘉 分两次漂洗 效果好多了 方案3同样分两次漂洗 也可以每次用1 0 千克水 每 次可使污物减少到原来的青 两次漂洗后 污物减少到原有 量的面1 高中生可运用数列及其极限的知识对上述问题作一般 研究 从而你就可知如何把衣服漂洗得更干净 1 2 怎样买米p 3 小王和小李既是同学又是邻居 他们相约到一家商店去 买3 次米 假若米的单价是变化的 他们的购买方式也不一 样 小王每次总是买l O k g 米 小李每次只买1 0 元钱的米 试 问哪种买法合算 解设小王 小李各次买米的单价分别是正数吐 n 2 吗 单位 元 k g 得 小王买米的平均价格是n 塑鱼眚掣 生警 元 k g 小李买米的平均价格是卢 而 1 i 0 矿x3 而 口l 2口3 气 丁 卜了 元 k g o l口2口3 由三元均值不等式 可以证得a 口 即小李买米的方法 合算 此结论鲜为人知 t 1 3 怎样使用液化气最节省燃气 随着人们生活水平的普遍提高 加之使用燃气的快捷和 便利 液化气早已走进了寻常百姓家 在使用液化气当中 困 扰人们的一个普遍问题是 开关旋纽旋至多大时 最节省燃 气 即热效率最高 文献 4 通过模拟函数的方法得出 将开 关旋纽旋至开关旋度的3 4 处可减少用气量 且耗费的时间 比使用最大火焰时不会有较大增加 该文还给出了物理分 析 当火焰太大时 喷出的大虽燃气不能与空气充分接触 燃 烧不充分 而火焰过小时 炉下不能维持较高温度 外部冷空 气会带走它的相当一部分热量 散热太快 这些均会导致热 效率不高 2 生活琐事 2 1 记住时间 推算星期几 同学们 你是否注意到 2 0 0 1 年1 月1 日是星期一 这一 页特殊的日历 又因为2 0 0 1 年是平年为3 6 5 天 3 6 5 被7 除的 余数是l 所以2 0 0 2 年1 月1 日是星期二 同理 可得2 0 1 0 年 1 月1 日是星期五 还可得2 0 1 0 年各月1 日依次是星期五 一 一 四 六 二 四 日 三 五 一 三 从而可得以下速算 2 0 1 0 年的每天是星期几的方法 同学们 只要你记住以下数字 4 0 0 35 1 3 62 4 0 2 它们分 5 7 万方数据 别是以上星期几的 几 减去l 把星期日的 日 看作7 所 以记不住这1 2 个数字时也可推导 你就可以迅速算出2 0 1 0 年中的任何一天是星期几 例如 2 0 1 0 年1 2 月1 7 日是星期几 只需用上述数字中的 第1 2 个数字 因为是1 2 月 2 加上日数 1 7 得1 9 再用1 9 7 得余数5 所以这一天是星期五 用以上方法还可解决公历 农历 星期几之间的联系 2 2 公平交易 1 某商店用一台两臂不等长的天平称散装化妆品 顾客要 买2 0 克 售货员先选l O 克的砝码放入左盘 置若干化妆品于 右盘使之平衡后给顾客 再将1 0 克的砝码放入右盘 置若干 化妆品于左盘使之平衡后再给顾客 请问 这种交易公平吗 解 设天平的支点为O 左臂长 右臂长鼻 两次称 得的实际质量分别为m m 得 l O x t m B X 口 粕21 0 x 口 所以m a 訾 訾 2 0 因为扎 x s 说明顾客所得的化妆品实际质量超过2 0 克 商店吃亏 2 3 装钱防盗 某人到商店去购买一件价格在l0 0 0 元以内的商品 为 防止钱被人偷去 他把钱装入1 0 个编号为l 1 0 的信封内 这1 0 个信封内装入的现金分别为2 0 2 1 2 2 2 8 l0 0 0 2 9 元 共9 9 9 元 然后他自信地说 无论商品的价格是多少元 10 0 0 以内的整数 他都可以从这些信封中拿出几个来准 确地支付这笔货款 可以举例验证 也可以用二进制的知识证明其一般情 形 2 4 分班问题 孩子受教育是每个家庭都密切关注的大问题 家长和孩 子要选择重点学校 还要选择重点学校里自己心目中的好 班 设一些学生的成绩排名依次是l 2 3 m 将他们 分成k 个班 通常用如下的 往复 法 这种分法可使各班之 间的平均成绩最接近 以下数阵就叫 分班数阵 H J 以a i I 五J 1 2 表示第i 班第 个学生原 来的名次 则 阿一墨一尹 笋一i 一1 j i E N i 已知口g 及 求i J 的公式是 江 1 一 一1 2 a g 一2 k j J 一1 J 掣 这样 若知道自己的成绩在年级中的排名及全部学生分 5 8 的班数k 就可算出自己分到哪个班及自己的成绩在这个班 的排名 2 5 科学预测 数学之父 泰勒斯曾预测出次年橄榄油会丰收 就在 当年把当地的榨油设备全部租赁下来 结果赚了很多钱 用 模拟函数的方法可以进行科学的预测 下面来预测 轿车何 时驶入寻常百姓家 轿车的价格和居民的家庭年收入是影响轿车驶入寻常 百姓家的两个重要因素 一般来说 1 0 万元是轿车进入家庭 的一个重要心理价位 考虑到中国加入W T O 及科技进步 汽 车材料成本下降 假设从今年起 轿车每年降价1 0 那么 去年为2 0 万元的轿车经过6 年时间可降至1 0 万元 另外 假 设去年某人年收入3 万元 年收入每年增长1 0 则经过5 年左右时间 此人年收入可望增至5 万元 三口之家的家庭 年收入约1 0 万元 不考虑其他因素 仅从价格角度看 经过5 年左右的时间 轿车就可驶入寻常百姓家 小康生活即将到 来 轿车生产前景美好1 3 谨防上当 3 1 摸彩骗局 街头巷尾经常可见一些不法分子设摊诱骗过路行人前 来摸彩 摊主有一只布袋 内装大小相同的红 白弹子各l O 只 摸一次1 元 每次摸出1 0 只 如果摸出的l O 只弹子全红 或全白 得奖1 0 0 0 元 如果摸出9 红1 白或l 红9 白 得奖1 0 元 如果摸出8 红2 白或2 红8 白 得奖1 0 元 如果摸出7 红 3 白或3 红7 白 得奖2 元 如果摸出6 红4 白 4 红6 白或5 红 5 白 没有奖 这个骗局粗看很诱人 因为1 1 种情况中有8 种可得奖 所以上当的人不少 摸彩者一般总是输的 而且摸得越多 输 得也越多 这是什么道理呢 在2 0 个弹子中 每次摸出1 0 个的不同情况共有c 器 1 1 8 47 5 6 种 而全红 全白的情况只有2 种 其概率是赢 l 2 1 0 5 一般地 摸出的l O 只弹子中共有k 只红弹 1 0 一k 只白 弹 j 0 1 I o 的情况为氏叫扩种 由此可算出摸出9 红1 白或1 红9 白的概率是0 0 0 10 8 3 8 红2 白或2 红8 白 的概率是0 0 21 9 2 7 红3 白或3 红7 白的概率是0 1 55 8 8 6 红4 白或4 红6 白的概率是0 4 77 3 9 5 红5 白的概率是0 3 43 7 2 而最后两种情况 不发奖 的概率加起来超过了 8 0 这样的情况出现的可能性很大 3 2 德梅尔发怒 5 1 前面是上别人的当 不懂数学有时也会上自己的当 1 9 世纪时 巴黎有一名赌徒德梅尔 他在咖啡馆里同别 人进行掷骰子赌博 把一颗骰子连掷4 次 如果6 点出现一次 以上 则对方赢钱 掷两颗骰子 连掷2 4 次 如果1 2 点出现一 次以上 则德梅尔赢钱 事先 德梅尔打了如意算盘 掷一颗骰子有6 种可能 掷 D 呀一 一 一 l 2 l 驰 一 l 2 1 一 矗 知后 后 3 1 2 l 弛 筋 后知 1 2 一 豇 万方数据 一次出现6 点的可能性为1 6 连掷4 次 出现6 点的可能性 为4 6 掷两颗骰子共有3 6 种可能 掷一次出现1 2 点 即两 个6 点 的可能性为1 3 6 连掷2 4 次出现1 2 点的可能性为 2 4 3 6 也等于4 6 所以德梅尔认为这种赌法对双方都是公 平的 他不会输 岂知事与愿违 在数天之内 他竞输去不少钱 盛怒之 下 他写信给当时著名的数学家帕斯卡 B l a i s eP a s c a l 1 6 2 3 一1 6 6 2 谴责数学是自相矛盾的 德梅尔的抱怨 有没有道理 实际上 德梅尔的算法是错误的 因为把一颗骰子连掷 c 4 4 次出现6 点的概率是1 一l 亭l 一0 51 7 7 把两颗骰子连 o 掷2 4 次出现1 2 点的概率是l f 誓1 0 49 1 4 j o 所以对方赢钱的概率较大 德梅尔输钱是理所当然的 4 破除迷信 我们可以用科学知识来澄清一些传闻 分清迷信和科 学 4 1 世界末日问题 相传在印度佛教圣地拿贝拿勒斯圣庙里 安放着一个黄 铜板 板上插着三根宝石针 其中仅有一根从下到上放着由 大到小的6 4 片金片 称为梵塔 昼夜都有一个值班的僧侣 按下列规则移动金片 一次只能移动l 片 且小片永远在大 片上面 当6 4 片金片都从一根针移到另一根针上时 世界就 将在一声霹雳声中毁灭 假设太阳系的寿命是5 0 0 亿年 僧 侣每秒移动一次金片 问是否真有 一声霹雳声 之时 此 问题是有名的 世界末E t 问题 解解决这个问题需要用到递推数列知识 设按规则 把n 片金片全部移到另一根针上共需6 次 即6 秒针 为了 移到第n 片金片 必须先按规则把上面的凡一1 片金片移到第 二根针上 这需要6 次 再把最下面的大片移到第三根针 上 最后通过b 次把第二根针上的几一l 片移到第三根针 上 这样就有关系式 b I 1 b 2 b 州 1 n 2 可得6 2 一1 凡EN 6 6 4 2 一1 即需要移动的 时间是2 酗一1 秒 如果一年以3 15 3 60 0 0 秒计算 那么僧侣 们须日夜不停地移动58 0 0 亿年之多才能完成 这远远超过 了太阳系的寿命 所以 一声霹雳声之时 纯属迷信传播或 数学游戏 不可当真 4 2 可以算出 人间一年 天上一天 帕 根据爱因斯坦 A l b e r tE i m t e i n 1 8 7 9 1 9 5 5 的相对论 在 高速运动的物体上 将发生明显的 尺缩 钟慢 效应 当地球 厂 1 上过去1 秒时 高速运动的宇宙飞船上只过去了 1 一 秒 其中光速c 3 0 万k m s 口是飞船航行的速度 厂 r 一 根据上述公式可以计算出 当飞船航速口2 1 一未事 c 0 9 99 9 96 2 5 c 时 就会出现 人间一年 天 飞船 上一 天 的情形 5 弄清道理 5 1 焦点访谈 为什么在7 3 8 播出 亲爱的同学们 你是否注意到中央电视台第一套节目 焦 点访谈 播出的时间是七点三十八分 焦点访谈 是时事政 治性较强的一个节目 应选择在晚上看电视节目人数最多的 黄金时间 播出 即应选在晚上七点到八点之间的一个时刻 播出 那为什么在晚上七点三十八开始播 焦点访谈 呢 这 个时间能突出 焦点 的含义吗 那么请你计算一下 晚上七点到八点之间的什么时刻 精确到分 时钟与分 钟重合 一 答案正是七点三十八分 同学们可自己解出 同学们由此可看出 焦点访谈 栏目主持人的喻意 用 时针 分针的重合来比喻时事 政治的 焦点 5 2 书刊长宽的设计 你知道书刊 杂志的宽与长是怎么设计的吗 是否与 黄 金数 0 6 1 8 有关呢 这里面有一定的科学道理 书刊 杂志 在阅读时总得打开 如果翻开后的形状与其原形相似 那么 看起来觉得美观 舒适 设原形宽 长分别为6 口 则有告 秀 得告 去 0 6 1 8 澄清了以前的错误猜测吧 亲自量一量 是否与以上结 论吻合 5 3 生E t 巧合 5 在有四 五十人参加的集会上 常发现有人生日相同 这 样的事情 已经不止一次地在校庆活动 体育比赛 广交会中 出现过 你能解释这种现象吗 可以认为 人在一年的3 6 5 天中哪天出生是等概率的 因此 二人生日不同的概率为p 学 三人中段 有两人同生日的概率为p 3 堑 薯篆P 堕盟 而n 个人 当中没有两人同生日的概率为以 兰鱼量兰兰垒兰兰 兰 兰垒三 璺 12 3 6 5 儿是 7 的减函数 如p 3 0 0 2 9 4 P 4 0 0 1 0 9 如果凡个人中至少有两人同生日的概率为吼 则吼 l P 从而有g 0 7 0 6 q 柏 0 8 9 1 当人数超过2 3 时 有人生日相同的概率就大于 了 6 经济效益 6 1 你是否决定打开另一只信封 7 在你的前面有2 只信封 你被告知这2 只信封中都放有 一些钱 而且其中一只信封中的钱是另一只信封中钱的2 倍 请你随意挑选一只信封把它打开 你看到了其中的钱数 5 9 万方数据 比如是1 0 0 元 现在请你决定是否要打开另一只信封 如果 不去打开 那么1 0 0 元钱就归你了 如果去打开 那么不管那 只信封中有多少钱 你只能拿那些钱 而不能拿原先的1 0 0 元钱 请问 你是否决定打开另一只信封7 结论很明显 另一只信封中可能有2 0 0 元钱 也可能只 有5 0 元钱 平均下来是1 2 5 元 比1 0 0 元多 所以你应该 跳 槽 去打开另一只信封 把 2 改成 正数口 时 也应打开 这正是 人挪活 树挪死 在一棵树上吊死 的数学模 型 6 2 美国人的金融意识 美国人非常重视金融意识 在他们编写的 代数 教科 书里有这样的问题 1 6 2 6 年 有人从印地安人手里以六十荷兰基尔特 相当 于2 4 美元 的代价借用纽约的曼哈顿岛 并在借据上注明 归还此岛时对方应还本付息 年利息6 但借据上没有注明利息是按单利还是按复利计算 事隔3 5 4 年之后的1 9 8 0 年 双方当事人的后代到法庭打 官司 说是利息支付不公 要求法院判明是非 法官请数学家做了计算 结果让法官的帽子都吓掉了 若按单利算 应付2 4 6 3 5 4 2 4 5 3 3 7 6 美元 若按复利算 应付2 4 1 6 一2 1 8 0 1 5 5 8 7 4 0 美 元 后者是2 1 8 亿美元之巨 即使是美国国库 一次也难以 拿出这么多钱 我们应当增强金融意识 在一个通货膨胀率很高的社会 里 把钱按单利存入银行 存期越长 吃亏就越大 6 3 加薪的学问怕o 学数学 要使人聪明 思维更加缜密 曾经在美国广为流 传的一道数学题是 老板给了两个加工资的方案 一是每年年末加l0 0 0 元 二是每半年结束时加3 0 0 元 请选一种 不擅长数学的 很容 易选择前者 一年加10 0 0 元总比两个半年共加6 0 0 元要多 其实 由于加工资是累计的 时间稍长 往往第二种方案更有 利 例如 在第二年的年末 以第一种方案可加10 0 0 2 0 0 0 30 0 0 元 而第二种方案在第一年加得3 0 0 6 0 0 9 0 0 元 第二年加得9 0 0 12 0 0 21 0 0 元 总数也是30 0 0 元 但到 第三年 第一种方案可加l0 0 0 2 0 0 0 30 0 0 60 0 0 元 而 第二种方案可加3 0 0 6 0 0 9 0 0 12 0 0 l 5 0 0 l8 0 0 63 0 0 元 比第一种方案多了3 0 0 元 以后会多得更多 因此 你若会在该公司干三年以上 包括三年 就应选择第二种 方案 6 4购物总价应是数量的严格递增函数 2 0 0 1 年第8 9 两期 数学通报 的封底均刊登了一份购 书的价格表如下 6 0 一次邮购一次邮购一次邮购一次邮购一次邮购 1 1 0 套 1 1 5 0 套5 1 1 0 0 套1 0 1 3 0 0 套3 0 0 套以上 每套3 7 元每套3 2 元 每套3 0 元 每套2 7 元 每套2 5 元 这份价格表体现r 多购价优 的商业特点 购物数量 达到一定程度后 价格可以优惠 但从这份价格表还可得 1 邮购1 0 套的总价比邮购1 1 套的总价还要多 但邮 购9 套的总价不会比邮购1 I 套的总价多 即此句话中