哈工大《信号与系统》课程讲义第一章.pdf

1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 一 信号一 信号 1 1 概念概念 消息消息 信号信号 信息信息 函数函数 图像图像 MessageMessage SignalSignalInformationInformation FunctionFunction 具体内容 表现形式 消息有效成分 具体内容 表现形式 消息有效成分 信号表达式 单值函数 信号表达式 单值函数 信号信号 消息的运载工具和表现形式消息的运载工具和表现形式 消息传递方式的历史消息传递方式的历史 光信号光信号 声信号声信号 电信号电信号 现代 现代 GPS 网络网络 信号 信号传输信号 信号传输 信号交换信号交换 信号处理信号处理 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 2 2 分类分类 信号函数表达式确定性信号函数表达式确定性 确定信号 能表示成时间确定函数 用在控制系统中确定信号 能表示成时间确定函数 用在控制系统中 随机信号 不能表示成时间确定函数 只能知道其概率随机信号 不能表示成时间确定函数 只能知道其概率 分布 用在通信系统中分布 用在通信系统中 周期性周期性 周期信号 周期信号 非周期信号 非周期信号 伪随机信号 伪随机信号 T 很大的周期信号很大的周期信号 混沌信号混沌信号 Chaos Signal f tf tnTT 为 周期 周期 T 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 时间函数取值连续性时间函数取值连续性 抽样抽样 模拟模拟 抽样抽样 量化量化 数字数字 A D转换转换 信号信号 信号信号 信号信号 连续时间连续时间 模拟 连续幅度模拟 连续幅度 离散幅度离散幅度 离散时间离散时间 抽样 连续幅度抽样 连续幅度 数字 离散幅度数字 离散幅度 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 例例1 判断信号类型 习题 判断信号类型 习题1 1 t f t a 4 3 2 1 只取只取4 3 2 1 t f t b 连续时间信号连续时间信号 模拟信号模拟信号 连续时间信号连续时间信号 离散幅度离散幅度 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 例例1 判断信号类型 习题 判断信号类型 习题1 1 离散时间信号离散时间信号 数字信号数字信号 离散时间信号离散时间信号 抽样信号抽样信号 1 2 3 只取只取 3 2 1 t f t c t f t d 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 例例1 判断信号类型 习题 判断信号类型 习题1 1 离散时间信号离散时间信号 数字信号数字信号 离散时间信号离散时间信号 数字信号数字信号 e f 1 只取只取 0 1 n x n 1 只取只取 1 1 n x n 1 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 自变量个数自变量个数 一维 语音一维 语音f t 多维多维 二维 图像二维 图像f x y 三维 视频三维 视频f x y t 四维 电磁波四维 电磁波f x y z t 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 信号的能量和功率特性信号的能量和功率特性 2 Ef tdt 连续 能量 能量 2 n Ex n 离散 功率 功率 2 2 2 1 0lim T T T Pf tdt T 21 0lim 21 N N nN Px n N 非能量非功率 非能量非功率 E P 能量为能量为 有限值有限值 功率为功率为 有限值有限值 周期信号 周期信号 有限时间有限时间 内信号 内信号 非周期信非周期信 号 号 实际应用实际应用 中信号 中信号 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 调制系统中调制系统中 调制信号调制信号 载波信号载波信号 已调信号已调信号 低频信号低频信号 调制信号调制信号 已调已调 信号信号 信道信道接收端接收端 解调解调 0 cos t 载波信号载波信号 低频信号低频信号 调制调制 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 3 信号分析 信号描述 运算 分解 频谱分析 相信号分析 信号描述 运算 分解 频谱分析 相 关分析 信号检测关分析 信号检测 4 信号变换信号变换 源自信号的正交分解源自信号的正交分解 傅氏变换 拉氏 傅氏变换 拉氏 变换 变换 Z变换 变换 DTFT DFT 5 信号处理信号处理 信号变换是其中一部分 服务于信号传信号变换是其中一部分 服务于信号传 输输 变换 滤波 压 变换 滤波 压 缩 增强 分割缩 增强 分割 6 信号传输 媒质信号传输 媒质 光纤 电话 电报 网络 涉及光纤 电话 电报 网络 涉及 编码 调制 解调 解码 关心保密性 有效性 编码 调制 解调 解码 关心保密性 有效性 可靠性可靠性 7 信号交换 如电子数据交换 程控交换机等信号交换 如电子数据交换 程控交换机等 8 信号检测 信号分析重要分支信号检测 信号分析重要分支 二 系统二 系统 1 概念概念 系统 若干相互作用和相互依赖的事物所组 系统 若干相互作用和相互依赖的事物所组 成的具有特定功能的整体成的具有特定功能的整体 系统 电路 网络 系统 电路 网络 i 系统强调功能与特性 关心全局 系统强调功能与特性 关心全局 ii 电路强调结构与参数 关心局部电路强调结构与参数 关心局部 广义系统分类 广义系统分类 物理 非物理 自然 人工物理 非物理 自然 人工 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 e t r t 利用系统完成信号的利用系统完成信号的 传输 交换和处理传输 交换和处理 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 2 信号与系统关系 信号与系统关系 相辅相成相辅相成 离开信号 系统无存在必要 离开信号 系统无存在必要 信号必须通过系统得以传输和处理 信号必须通过系统得以传输和处理 连续时间系统连续时间系统 离散时间系统离散时间系统 混合系统混合系统 r t x n x n y n e t y n e t r t 微分方程微分方程 差分方程差分方程 3 分类 数学模型表示分类 数学模型表示 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 L C 寄存器记忆电路寄存器记忆电路 记忆系统记忆系统 即时系统 输出决定于同时刻输入即时系统 输出决定于同时刻输入 代数方程代数方程 动态系统 输出与历史输入有关动态系统 输出与历史输入有关 微分 差分方程微分 差分方程 R 无记忆系统无记忆系统 集总参数 只含集总参数元件集总参数 只含集总参数元件 常微分方程常微分方程 分布参数 含有分布参数元件分布参数 含有分布参数元件 偏微分方程偏微分方程 R L C 传输线传输线 波导波导 时间函数 时间函数 时间函数 空间位置 时间函数 空间位置 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 时变 参数随时间变化时变 参数随时间变化 时不变时不变 参数不随时间变化 参数不随时间变化 e1 t e2 t r1 t r2 t a1e1 t a2e2 t a1r1 t a2r2 t e t r t e t t0 r t t0 线性系统线性系统 叠加性 均匀性 叠加性 均匀性 非线性系统非线性系统 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 稳定系统稳定系统 有界输入 有界输入有界输出有界输出 不稳定系统不稳定系统 e tMr tKt 因果因果系统系统 输出变化出现在输入变化之后 即 输出变化出现在输入变化之后 即 非因果系统 非因果系统 时刻输出只与时刻输出只与及及 0 tt 0 tt 时刻输入有关 如时刻输入有关 如 1 r te t 1 r te t 0 tt 因果信号 因果信号 t 0时接入系统的信号 有始信号 时接入系统的信号 有始信号 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 可逆 不同激励可逆 不同激励不同响应不同响应 不可逆 不同激励不可逆 不同激励相同响应相同响应 如如 5 r te t 2 r te t 如如 系统系统 e1 t r1 t 逆系统逆系统 e2 t e1 t R u i CL q i 线性时不变 线性常系数微分方程线性时不变 线性常系数微分方程 2 2 d qdq LCRCqCu dtdt ii 线性时变 变参数线性微分方程线性时变 变参数线性微分方程 2 2 d qdq LC tRC tqC t u dtdt iv 非线性时变 变参数非线性微分方程非线性时变 变参数非线性微分方程 2 2 2 d qdq LC tRC t iqC t u dtdt iii 非线性时不变 非线性常系数微分方程非线性时不变 非线性常系数微分方程 2 2 2 d idi LCRCiiCu dtdt 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 4 4 线性时不变系统 线性时不变系统 Linear Time InvariantLinear Time Invariant LTILTI 2 Cconstant CC t vRi vRi 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 满足叠加性 满足叠加性 满足均匀性 满足均匀性 满足时不变特性满足时不变特性 00 ttrttetrte 1122 1212 e tr te tr t e te tr tr t tartaetrte 线性线性 线性时不变系统线性时不变系统 LTI 系统系统 若起始状若起始状 态非态非0 必须将外必须将外 加激励与加激励与 起始状态起始状态 的作用分的作用分 别处理 别处理 才满足叠才满足叠 加性和均加性和均 匀性匀性 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 满足微 积 分特性 满足微 积 分特性 因果特性 因果特性 若若不存在激励 不存在激励 且且起始状态为起始状态为0 则则 线性常系数微分方程描述的系统满足因果性 线性常系数微分方程描述的系统满足因果性 即 线性时不变系统未必就满足因果性即 线性时不变系统未必就满足因果性 dt tdr dt tde trte 0 tt 0 t tt e tr tedrd 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 例例2 判断系统特性判断系统特性 线性 时不变 因果 稳定线性 时不变 因果 稳定 10 1010 2 2 2 r e tr te t e te tt e tetttttr ii ii 时不变时不变 111222 312 331212 2 2 2 2 2 e tr te te tr te t e tae tbe t r te tae tbe tar tbr t i i 线性线性 2 tetr 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 iii iii 因果 因果 0 2t 时刻输入决定时刻输入决定时刻输出时刻输出 0 t MteMte 2 iv iv 稳定稳定 2 tetr r tet i i 线性 线性 111222 312 331212 e tr tete tr tet e tae tbe t r tetaetbetar tbr t 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 ii ii 时变 时变 1 1011 00 0 0 e tr tet e te ttr tetett r ttett r tr tt 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 r tet iii iii 非因果 非因果 e tMetM iV iV 稳定 稳定 2t 时刻输出由时刻输出由时刻输入决定时刻输入决定2t 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 10110 00 1 0 0 cos cos cos o c s e tr te tt e te ttr te tte ttt r tte ttt tr tt t r ii ii 时变时变 111222 312 331212 cos cos cos cos e tr te tte tr te tt e tae tbe t r te ttae tbe ttar tbr t i i 线性线性 cos r te tt iii iii 因果因果 MtteMte cos iv iv 稳定稳定 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 cos r te tt 时刻的响应只决定于时刻的响应只决定于时刻的激励时刻的激励 0 tt 0 tt e t r tp i i 非线性非线性 ii ii 时不变时不变 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 12 31212 1122 312 2 112 3 e tet e tae tbetae tet ab e tr tpe tr tp r tr tar tb e tae tbe t r tpppp r t 01 1 10 0 e t e t te t r e tr tp e t tr t e tt ppt iii iii 因果因果 时刻的响应只决定于时刻的响应只决定于时刻的激励时刻的激励 0 tt 0 tt e t e tMpK iv iv 稳定稳定 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 5 系统分析 已知系统分析 已知e t 和系统求响应和系统求响应r t 系统系统 e t r t 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 方法方法 i 描述方法 输入描述方法 输入 输出描述法 状态变量描述法输出描述法 状态变量描述法 ii 求解方法 求解方法 时域时域 经典 卷积 数值经典 卷积 数值 变换域变换域 频域 复频域 频域 复频域 Z域 域 FFT 非线性方法非线性方法 人工神经网 遗传算法 模糊理论人工神经网 遗传算法 模糊理论 步骤步骤 i 建立数学模型 用框图或数学表达式描述建立数学模型 用框图或数学表达式描述 ii 求解数学模型 已知数学模型和输入激励求解数学模型 已知数学模型和输入激励 t r ted e t r t i 相加相加ii 倍乘倍乘iii 积分积分 e2 t e1 t r t 12 r te te t 框图中三种基本单元框图中三种基本单元 e t r t ae t a r t 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 根据微分方程画框图规则根据微分方程画框图规则 第一种情况 右端只包含输入本身第一种情况 右端只包含输入本身 1010 qaqa qxqxaqa q x q q q 0 a 1 a 移项 最高阶导数项左边 其余右边 移项 最高阶导数项左边 其余右边 积分器 最高阶导数项作为第一个积分器输入 积分器个数等于方程阶次 积分器 最高阶导数项作为第一个积分器输入 积分器个数等于方程阶次 标量乘法器标量乘法器 相加相加 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 第二种情况 右端包含输入及其高阶导数第二种情况 右端包含输入及其高阶导数 1010 ya ya yb xb x 引入辅助函数引入辅助函数q t 使满足 使满足10 qa qa qx 1010110010 ya ya ybqb qa bqb qa bqb q 得 得 10 ybqb q 则 则 0 b q x q q 0 a 1 a 1 b y 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 例例3 根据图写微分方程或根据微分方程画框图 根据图写微分方程或根据微分方程画框图 e t a0 r t b0 0 00 1 adr t e tr t bbdt 00 dr t a r tb e t dt 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 1 2 1 ab tetar txtxtartetabxa te dt tde btar dt tdr trtabrdttedttratbetabr e t r t a b x t 1 2 bx tx t dtr t a x t dte tx t 11 a r t dte t dt ar te t br t abab 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 2 2 23 2 d r tdr tde t r te t dtdtdt 解 令解 令 2 11 1 2 23 d r tdr t r te t dtdt 2 11 1 2 23 d r tdr t r te t dtdt 2 3 e t 1 r t 1 1 2 2 dr tde t e tr tr t dtdt 2 r t 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 1 e t r t 2 2 3 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 322 322 33 2 d r td r tdr td e tde t r t dtdtdtdtdt 1 2 e t r t 3 3 1 6 系统综合系统综合 已知激励和响应 求系统已知激励和响应 求系统 关系 分析是综合的基础关系 分析是综合的基础 1 1 信号与系统研究内容信号与系统研究内容 系统系统 e t r t 7 系统工程学 系统工程学 利用系统理论利用系统理论设计和优化设计和优化系统工程系统工程 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 一 典型连续时间信号一 典型连续时间信号 1 指数信号 指数信号 参数参数a的含义的含义 i a 0 幅度增长 幅度增长 ii a 0 直流 直流 iii a0 1 移位 左移 移位 左移 f t f t t0 右移右移 f t f t t0 t0 0 2 反褶 反褶 f t f t 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 例例1 已知已知 f t 如下图 画出如下图 画出 f 3t 2 2 1 0 t 1 f t 102t 1 f t 3 20t 1 f t 2 10t f 3t 2 1 3 2 解 解 f t f t f t 2 f 3t 2 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 已知已知 f t 定义域为定义域为 1 4 求 求 f 2t 5 的定义域的定义域 i 方法一 方法一 f t f t 4 1 f t f t 5 1 6 f t 5 f 2t 5 1 3 2 1254621 1 3 2 tt t ii 方法二 方法二 解 解 作用 突出信号变化部分作用 突出信号变化部分 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 df t f t dt t dftf 21 tftftf 4 微分微分 6 信号相加 信号相加 0 f t t0t dt tdf 5 积分 积分 作用 使信号突变部分平滑作用 使信号突变部分平滑参见参见P12图图1 15 参见参见P12图图1 14 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 1212 Rf t f tdt 7 信号相乘 信号相乘 8 卷积 卷积 1212 f tf tf tff td 9 相关 相关 21 tftftf 常用在调制解调中常用在调制解调中 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 三 奇异信号三 奇异信号 1 定义 含有不连续点 跳变点 或其导数与积分 定义 含有不连续点 跳变点 或其导数与积分 有不连续点有不连续点 0 0 00 0 tt r tt tttt 3 延迟单位斜变 延迟单位斜变 t t0t0 10 r t t0 1 0 0 0 t r t tt 2 单位斜变 单位斜变 r t t 1 10 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 t ttr k tf 0 2 5 三角脉冲 三角脉冲 k 0t f2 t 1 k r tt f t kt 4 截平斜变 截平斜变 k 0t f1 t 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 0 0 1 0 t t tu 1 u t 0 t 6 单位阶跃 单位阶跃 定义 定义 2 1 0 u t 0处 无定义或可定义为处 无定义或可定义为 dt tdr tu 关系 关系 物理背景 物理背景 t 0时刻加入激励时刻加入激励 作用 表示信号单边特性和窗特性作用 表示信号单边特性和窗特性 r t t 1 1 0 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 05101520 1 0 5 0 0 5 1 t sin t Heaviside t i 例例 sin 1 ttutf 2 1012345 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 t exp t Heaviside t Heaviside t 3 ii 例例 20 t f teu tu tt 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 7 延迟单位阶跃 延迟单位阶跃 8 矩形脉冲 矩形脉冲 tututR 1 0t tR 22 G tu tu t 1 0t tG 2 2 0 0 0 1 0 tt tt ttu 1 t0 t u t t0 0 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 9 符号函数 符号函数 0 0 1 1 1 2 sgn t t tut 1 0 t 1 sgn t 10 单位冲激 单位冲激 物理背景 时间极短幅度极大现象的理想化物理背景 时间极短幅度极大现象的理想化 极限定义方法 极限定义方法 2 2 1 lim 0 tututi 矩形脉冲 矩形脉冲 1 0 t t t 0点有冲激 但无法给出值 点有冲激 但无法给出值 用面积表明冲激强度用面积表明冲激强度 tE 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 t et 2 1 lim 0 iii 双边指数脉冲 双边指数脉冲 2 0 1 lim t et iv 钟型脉冲 钟型脉冲 1 1 lim 0 tutu t tii 三角脉冲 三角脉冲 limSa k k tkt v 抽样脉冲 抽样脉冲 见见P18 1 sa sa 1 kkk kt dtkt dt k 面积 面积 三种方法都没有回答三种方法都没有回答t 0时值的大小 因而广义函数时值的大小 因而广义函数 狄拉克定义 狄拉克定义 狄拉克函数狄拉克函数 0 0 1 tt t dt 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 基本性质 基本性质 00 t f t dtfd fdf tt iii 偶函数 偶函数 证明 证明 00 tfdttftt iv 延时抽样延时抽样 t d du tu tt dt v 与与 u t 关系关系 0 0 t f t dtft fdt ii 抽样特性 抽样特性 定义之一 广义函数定义之一 广义函数 0 tftft i 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 理解 理解 2 1 22 2 1 2 0 t tt t tvc tvc tic F1 C i 阶跃电压作用在电容上将产生冲激电流 阶跃电压作用在电容上将产生冲激电流 由于冲激电流的存在 允许电由于冲激电流的存在 允许电 容两端电压跳变容两端电压跳变 ii 阶跃电流作用在电感上将产生冲激电压 阶跃电流作用在电感上将产生冲激电压 由于冲激电压的存在 允许电由于冲激电压的存在 允许电 感电流跳变感电流跳变 0 dt tdv ti c c 2 2 1 t 0 0 t tic t 0 c v t 1 t 0 2 2 0t 1 c v t 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 11 冲激偶 冲激偶 dt td t 定义 定义 性质性质 00 tfdttftt iii 0t dt i 正负两个冲正负两个冲 激的面积抵激的面积抵 消消 0 t f t dtf ii 0 t f t dtf ttt f t dtf 形成过程形成过程 注意 正负极性的两个冲激函数的强度注意 正负极性的两个冲激函数的强度 2 1 dt tds 2 1 t 0 1 0 t t 0 0 t s t 0 t 求求 导导 求求 导导 t 0 1 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 例例2 绘图 绘图 解 解 0 lim 3 lim 0 tt f tf t i 2 03602ln2 ttt f teeet ii 令令 2 3 0312042ln2 2ln2 8 ttt f teeetf iii 令令 2 9 0324083ln2 3ln2 32 ttt fteeetf iv 令令 t0 f t 8 3 2ln2ln22ln3 3 63 2 tueetf tt 三点一限法三点一限法 过零点 驻点 拐点过零点 驻点 拐点 零时刻和无穷远处零时刻和无穷远处 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 tutetf t e 1 21t0 f t 例例2 绘图 绘图 解 解 0 lim 0 lim 0 tt f tf t i 1 001 1 tt f tetetf e ii 令令 iii 令令 2 1 002 2 ttt fteetetf e 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 sinttu sin 0 tutt sin 0 tttu sin 00 ttutt sin 0 tutt 0 t sin 0 tttu 0 t 0 sin t sin 00 ttutt 0 t sinttu 0 t 1 2 信号描述与信号运算信号描述与信号运算 例例3 求下列函数值 求下列函数值 dttte t dtte tt 2 3 1 35 2 解 解 211 dttte t 1 t ettdt 1 11 t ettdte 0 1 3 信号分解信号分解 一 直流分量与交流分量一 直流分量与交流分量 2 2 2222 22 1 lim 2 1 lim 1 lim 1 lim 2 2 2 2 2 2 T TA T DAADD T AD TT dttf T fdttftfff T dttff T dttf T P T T T T T T 3 平均功率 平均功率 直流功率直流功率 交流功率交流功率 注 若为周期信号不必加注 若为周期信号不必加T 1 直流分量 直流分量 信号平均值信号平均值 dttf T f T T T D 2 2 1 lim定义 定义 2 交流分量 交流分量 0 1 lim 2 2 DDA T ffdttf T T T 特性 特性 DA ftftf 定义 定义 1 3 信号分解信号分解 二 偶分量与奇分量二 偶分量与奇分量 3 平均功率 平均功率 偶分量功率偶分量功率 奇分量功率奇分量功率 oeo T e T oeoe TT PPdttf T dttf T dttftftftf T dttf T P T T T T T T T T 2 2 2 2 2 2 2 2 1 lim 1 lim 2 1 lim 1 lim 22 22 2 注 若为周期信号不必加注 若为周期信号不必加T tftf ee 特性 特性 偶函数 即偶函数 即 1 偶分量 偶分量 2 tftf tfe 定义 定义 i 奇函数 即奇函数 即 ii 平均值为平均值为0 即 即 oo f tft 0 1 2 2 dttf T T T o 2 奇分量 奇分量 特性 特性 2 tftf tfo 定义 定义 1 3 信号分解信号分解 例例1 1 求下面信号的奇分量和偶分量 求下面信号的奇分量和偶分量 解 解 f t t 10 2 3 1 t1 10 2 3 f t 1 2 0 t e f t 1 1 t1 1 1 0 o f t 1 1 3 信号分解信号分解 先将信号近似为矩形窄脉冲分量先将信号近似为矩形窄脉冲分量 的叠加 的叠加 1111 tttuttutf 1 1 1111 111 11 1 t t f tf tu ttu ttt u ttu ttt f tt t 三 脉冲分量三 脉冲分量 1 信号分解为冲激信号叠加 信号分解为冲激信号叠加 1 tf 1 t 1 t t0 f t 1 3 信号分解信号分解 取极限取极限 dttttftf 00 ii 可得抽样特性 可得抽样特性 1 1 1 1 111 11 0 1 111 0 111 lim lim t t t t u ttu ttt f tf tt t f tttt f ttt dtf tftd i 1 3 信号分解信号分解 11 11 1111 111 11 1 0 0 tt tt f tfu tf tf ttu tt f tf tt fu ttu tt t 2 将信号分解为阶跃信号之和 将信号分解为阶跃信号之和 设设 f t 0 t 0 取极限取极限 1 11 0 1 0 df t f tfu tu tt dt dt 先将信号近似为阶跃信号分量先将信号近似为阶跃信号分量的叠加 的叠加 1111 ttuttftf 1 tf 11 ttf 0 f 1 t 1 t 0t f t 1 3 信号分解信号分解 四 实部分量与虚部分量四 实部分量与虚部分量 tjftftf ir 2 22 2 tftftftftf ir 3 4 实际不存在 但可借助其来研究实信号或简化运算 实际不存在 但可借助其来研究实信号或简化运算 tjftftf ir 1 2 2 r i f tft f t f tft f t j 1 3 信号分解信号分解 矢量内积定义 矢量内积定义 其中其中 2 1 ii i x y X Y 12 12 x x y y X Y 五 正交函数分量五 正交函数分量 1 二维空间正交矢量 二维空间正交矢量 22 12 2 xx XX X 矢量长度定义 矢量长度定义 X的二阶范数的二阶范数 矢量的模同概念矢量的模同概念 V CYY X X YCY 用一个二维矢量用一个二维矢量Y 近似另一个矢量近似另一个矢量X 222 2 2 2 coscos C XXYX Y YY Y Y 若若 C 0 此时 此时X Y 正交 即正交 即 0 0 90 C VXY用用CY 近似近似 X 误差 误差 最小误差是垂直情况 此时最小误差是垂直情况 此时 见见P322 6 30 1 3 信号分解信号分解 12 12 XXX XX 2 X 1 X X 任何二维矢量均可分解为两个正交矢量任何二维矢量均可分解为两个正交矢量 由二维空间可推广到由二维空间可推广到n维维空间空间 i n 维空间两个矢量的内积维空间两个矢量的内积 1212 1 n nnii i x xxy yyx y XYX Y ii n 维空间矢量的长度维空间矢量的长度 2 2 1 n i i x XX X iii n 维空间一个矢量维空间一个矢量 Y 表示另一个矢量表示另一个矢量 X 误差最小时误差最小时 C X Y Y Y 当当0 C XY 2 正交函数 正交函数 1 3 信号分解信号分解 用用近似近似 何时误差何时误差最小最小 112 tfttt 2121 tfctf 122 c f t 给出区间才有意义给出区间才有意义 dttfctf tt t t 2 2121 12 2 12 1 令 令 则 则 0 12 2 dc d 22 11 2 12 2 12 2121 22 0 tt tt c f t f t dtft dt tttt 即 即 2 1 2 1 2 2 21 12 t t t t dttf dttftf c 选择方均误差最小选择方均误差最小 1 3 信号分解信号分解 dttftftftf t t 2 1 2121 当当时 时 与与正交正交0 12 c 1 tf 2 tf 定义函数内积定义函数内积 22 21 12 tftf tftf c则 则 两函数正交条件 两函数正交条件 2 1 1212 0 t t f tf tf t f t dt 1 3 信号分解信号分解 4 02 2 1 2 cos 0 cos sin sinsin 2 0 2 2 0 22 21 12 tt tdt tdttdt tftf tftf c 2121 tfctf 解解 使使最小 可得最小 可得 ttfsin 4 1 即 即 例例2 用 用逼近逼近 2 sin 0 2 f tt t 1 1 0 1 2 t f t t 12 c 求求 见见P326 图 图6 5 1 3 信号分解信号分解 0 2sin 2 1 sin sin cos sin 2 0 12 dtt tt tt c解解 ttcossin 即 即 12 c 例例3 用 用sint在区间在区间内来逼近内来逼近cost 求 求 0 2 1 3 信号分解信号分解 3 正交函数集 正交函数集 2 1 2 1 2 0 t ij t t ii t g t gt dtij gt dtK 即 即 0 ij iii g t g tij g t g tK 满足满足 1122 n g t g tgt tt 定义 函数集定义 函数集 n r rrnn tgctgctgctgctf 1 2211 f t 用正交函数集的线性组合近似 何时误差最小 用正交函数集的线性组合近似 何时误差最小 信号的基函数表示法 函数集为正交函数集信号的基函数表示法 函数集为正交函数集 1 3 信号分解信号分解 2 1 22 1 21 1 n t rr t r f tc g tdt tt 22 11 2 1 2 tt ii tt i it iii i t f t g t dtf t g t dt f t g t c g t g tK gt dt 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 22 0 0 0 2 0 n t rr t r ii n t iirr t r i r i t iiii t i f tc g tdt cc f tc g tc g tdt c c f t g tc gt dt c 将将代入代入 i c 2 1 3 信号分解信号分解 2 1 2 1 222 111 2 1 2 1 21 222 11 21 222 11 21 2 min 22 1 21 1 1 1 2 1 2 n t rr t r nn ttt rrrr ttt rr nn t rrrr t n t r r r t r r f tc g tdt tt ft dtcgt dtcf t g t dt tt ft dtc Kc K tt ft dtc K tt 2 1 t i t i i f t g t dt c K 1 3 信号分解信号分解 复变函数正交特性复变函数正交特性 2 1 0 21 t t tftf ii 正交条件正交条件 1 tgtg r iii 正交函数集定义正交函数集定义 2 1 2 1 2 0 t ij t t ii t g t gtdt ij g tdtK 2 1 2 1 2 2 21 22 21 12 t t t t dttf dttftf tftf tftf ci n r r t cdttf tt 1 2 2 12 min 2 12 1 归一化正交函数集归一化正交函数集 1 i K 即即 归一化正交函数集 归一化正交函数集1 2 1 2 dttg t t i 1 3 信号分解信号分解 4 完备正交函数集 完备正交函数集 满足等式满足等式 i 为为 1 n 的任意正整数 的任意正整数 12 n g t g tg t 2 1 2 0 t t x t dt 0 2 1 t t i dttgtx 定义方法二 定义方法二 之外不存在函数之外不存在函数x t 则称此函数集为完备正交函数集则称此函数集为完备正交函数集 n r rr tgctf 1 定义方法一 若定义方法一 若在在内近似表示内近似表示 12 n g t g tg t 12 t t 2211 tgctgctgctf rr 则称此函数集为完备正交函数集 此时则称此函数集为完备正交函数集 此时 若令若令 2 1 22 1 21 1 limlim 0 n t rr tnn r nf tc g tdt tt 等式等式 研究问题 研究问题 1 3 信号分解信号分解 帕塞瓦尔方程 帕塞瓦尔方程 1 i K 1 2 2 2 1 r r t t cdttf对对的归一化正交函数集 的归一化正交函数集 2 1 2 1 222 1 22 1 0 t rr t t rr t rr c g t dft dtctK 物理意义 物理意义 2211 tg