被忽视的数学阅读理解.pdf

中小学数学 中学版 初 中 阅读理解能力的培养 往往被师生误认为是语 文教学的重点工作 在数学教学中被大 多数人所忽 视 随着数学知识的生活化 生活问题的数学化 阅读 理解在考察学生的分析问题 解决问题能力方面显现 出不可替代的作用 加强阅读理解能力的培养 成为 数学教学中一个非常有价值的研究课题 现举例说明 如下 一 在 阅读理解 中 学会 自学 例 1 2 O 1 1 江 苏 南京 问题情境 已知 矩形 的面 积为a a 为常数 0 当该矩形的长为多少时 它的 周长最小 最小值是 多少 数 学模型 设该 矩形 的长 为 周长 为Y 则 Y与 的函数关系式为 Y 2 x 旦 0 探索研究 1 我们可以借鉴以前研究函数的经验 先探索 1 函数 Y z 0 的 图象性质 填写下表 在图1 中画出函数的图象 1 1 1 1 2 3 4 4 3 2 观察图象 写出该函数两条不同类型的性质 在 求 二次 函数 a x b x C n O 的 最 大 小 值 时 除 了通过观 察 图 象 还可 以通 过 配方 得 到 请 你 通 过 配 方 求 函 数 1 Y z 土 x 0 的最小值 5 h 4 3 2 l 一1 0 1 2 3 4 5 1 解决 问题 I箜 I 1 2 用上述方法解决 问题情境 中的问题 直接 写 出答案 解析本题从 提 出问题情境 一一建立数 学模 型一一实施探索研究一一回归解决问题 四个环节 教会学生应该如何进行实际问题 的研究 从而掌握解 决新问题的方法无非是借助数学模型 利用 已有知识 经验 把 新 问题转 化为 旧知识 来解 决 实现 化难 为 易 的目的 最终达到通过 自学能独立有效解决实际问题 的 目的 解 1 1 0 薹 2 薹 了1 0 1 7 函数 z o 的图象如图2 本题答案不唯一 下 列解法供参考 当 0 z1时 Y随 增 大 而增大 当 z 1 时函数 5 4 3 2 1 l 一 1 0 l 2 3 4 5 1 图 2 Y z O 的最小值 为2 一 f c f 2 2 f 一 2 2 当 一 0 即 x l 时 函 数 0 工 的最小值为2 2 当该矩形的长为 n时 它的周长最小 最小 值为4 口 二 在阅读理解中 学会类比 例 2 2 0 1 1 江苏苏州 如图3 小慧同学把一个正 三角形纸片 即AO A B 放在直线Z 上 D A 边与直线f 重合 然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋 转1 2 0 此时点O运动到了点O 处 点B运动到了点 日 处 J 慧又将三角形纸片A O B 绕 点按顺 时针方 向旋转 1 2 0 点A运动到了点A 处 点O 运动到了点 O 处 即顶点 O经过上述两次旋转到达 O 处 0 A B D2 Z 0 A 曰 图3 图4 第 固 页 中小学数学 中学版 初中 小慧还发现 三角形纸片在上述两次旋转过程 中 顶点0运动所形成的图形是两段圆弧 即 和 0 1 0 2 顶 点0所经过的路程是这两段 圆弧的长度之 和 并 且这两段 圆弧与直 线 f I 围成的 图形面积等 于扇 形 A O 0 的面 积 AA O B 的面积 和扇 形 B 0 0 的面 积 之和 小慧进行类比研究 如图4 她把边长为 l 的正方 形纸片O A B C放在直线2 上 O A边与直线2 重合 然后 将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转9 0 此 时点 0运动 到 了点 D 处 即点 处 点 C运动 到 了点 C 处 点 运 动 到 了 点 处 小 慧又 将 正 方 形 纸 片 A O C B 绕 点按顺时针方向旋转9 0 按上述 方法经过若干次旋转后 她提出了如下问题 问题 若正方形纸片 O A B C按上述方法经过3 次旋转 求顶点0经过的路程 并求顶点0在此运动过 程中所形成的图形与直线Z 围成图形的面积 若正方 形O A BC 按上述方法经过5 次旋转 求顶点0经过的路 程 问题 正方形纸片O A B C按上述方法经过多少 次旋转 顶点0经过的路程是 订 请你解答上述两个问题 解 析本题源 于生 活中的 i 个 小 的实 践活动 通 过 1 个学生 的旋转正三 角形纸 片的过程 观察 发现 了 其 中蕴含的规律 进一步类 比发现正方 形在旋转 的过 程中也有着类似的规律 从而把三角形 四边形的问 题转化为求扇形的周长和面积 由此可以看出 阅读 理解对培养学生的类比能力 归纳能力意义非凡 厶 5 解问题 如图5 正方形纸片O A B C 经过 3 次 旋转 顶点D 运动所形成的图形是三段弧 即画 和 0 1 0 2 以及 0 2 0 3 顶点0运动过程中经过的路程为 z f 萼 顶点0在此运动过程中所形成的图形与直线Z 围 成图形的面积为 2 旦 2 第 固 页 正方形O A B C经过5 次旋转 顶点0经过的路程为 萼 问题 方形O A B C经过4 次旋转 顶点0经过 的路程为 z f 2 0 f l 正方形纸片O A B C 经过了8 1 次旋转 三 在阅读理解中 学会归纳 例 3 2 0 1 1 四川内江 学们 我们 曾经研究过 n n 的正方形网格 得到了网格中正方形的总数的表 达 式 为 1 2 2 3 1 1 但 n为 1 0 0 时 应 如何计 算正方形的具体个数呢 下面我们就一起来探究并解 决这个 问题 首先 通过探究我们 已经知道 0 1 1 2 2 3 1 n 去r 凡 1 一1 时 我们可以这样做 1 观察并猜想 l 2 1 O 1 1 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 0 l 1 2 1 2 3 1 0 1 1 1 2 1 2 3 1 0 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 O 1 1 2 2 x3 1 2 3 4 1 斗 0 1 1 1 2 卜 1 2 1 斗 o 1 惜1 K卜 卜 2 汁 1 2 3 4 4 2 归纳结论 1 2 3 r L 2 1 0 l 1 1 2 1 2 3 1 一1 n 1 0 l 2 1 2 3 2 3 n 一 1 n 吉 3 实践应用 通 过 以上探 究过程 我们 就 可 以算 出当 n 为 1 0 0 中小学数学 中学版 初中 十字相乘法作为数式变形中非常特殊的一种形 式 在分解二次三项式 解一元二次方程等 问题中体 现了无与伦比的简洁性 遗憾的是很多版本的教材却 删掉了这一块的知识 使得许多老师不得不重新补充 给学生 今 日笔者在备课过程中偶然发现 了一个关于 十字相乘法的另类解释 在此与各位同行分享 浙教版中因式分解安排在七下第六章 是在第五 章整式的乘除之后学习的 即在学习因式分解之前 学生已经掌握了多项式乘法 平方差公式和完全平方 公式等必要的知识 十字相乘法分解因式主要针对 的 是二次三项式 但是并不是所有的二次三项式都能用 十字相乘法分解因式 那么对于能够用十字相乘法分 解因式的二次三项式 我们不妨做这样的对比 十字相乘法 分解 因式 另类解法分解 因式 题 目1 3 7 3 z 2 题 目1 2 7 2 原 式 z 一 所 以 1 X 2 1 I 3 z 3 1 x z 3 一 满足十字相乘法 的要求 z 2 z十1 故 3 z 2 1 Xz 2 题 目2 十 1 题 目2 红 1 因 为 原 式 1 5 一 所 以 1 2 1 1 3 2 x 3 5 一 勺 满足十字相乘法 的要求 故 2 x 3 z i 2 1 z 1 2 z 1 z z 1 2 x I 对于更多的例子这里不再一一赘述 从上表右栏 中的分解方法可以看出 对二次三项式的分解 可以 先将其配方 然后用平方差公式分解 最后将二次项 系数乘到括号里面去 将所有数字都转化成整数 这 样就可以得到和十字相乘法分解因式相同的结果 从 而初步证明了这种方法的可行性 在这个过程中 主要 是完全平方公式的配方和平方差公式分解因式两个 重要知识起作用 由此猜想 所有能够用十字相乘法因 式分解的二次三项式都可以采用配方和平方差进行 因式分解 对 于 二次 三项 式 的一般 形 式 凹 十如 c a 0 的验证 如下 f 以 z 鱼 卅去 卅去 去 一 b 一4 a c O 由此可知 若二次三项式 如 d a 0 满足 b 一4 a c 0 则该多项式必然可以分解因式 对于上述 验证结果 我们还可以得出这样的结论 若 一4 a c 是 完全平方数 则该二次三项式可以在有理数范围内分 解因式 反之只能在实数范围内分解因式 接上页 时 正方形网格中正方形的总个数是 解析本题通过研究正方形网格 中正方形的总 个数 引导学生阅读材料 首先观察等式中的数字排 列规律并猜想可能存在的规律 然后根据猜想归纳结 论 最后实践应用求出正方形网格中正方形的总个 数 在这个过 程中体会 从特 殊到一般 再从一般至 特 殊的思想 从而达到把复杂 问题简单化的目的 经历 阅读观察 找出规律 拆分数字 重新组合 恰当计算 形成公式 最后运用规律 解决问题的过程 解 1 I 3 4 4 3 X4 0Xl 1 2 2 3 3 4 1 2 l 2 3 n 0X 1 1 2 2 3 1 1 n 1 n l 告