第七章 统计物理初步.pdf

第二篇 热力学 统计物理第二篇 热力学 统计物理 复习 力学的研究对象与内容结构复习 力学的研究对象与内容结构 研究对象 研究对象 1 描述物体的运动状态描述物体的运动状态 2 寻求物体具有某种运动状态的原因寻求物体具有某种运动状态的原因 低速运动 经典力学低速运动 经典力学高速运动 狭义相对论高速运动 狭义相对论 运动学运动学动力学动力学物理规律的对称性物理规律的对称性 内容结构内容结构 瞬时效应 牛顿三定律 时间累积效应 动量定理 空间累积效应 功能原理 瞬时效应 牛顿三定律 时间累积效应 动量定理 空间累积效应 功能原理 伽利略变换 洛仑兹变换 伽利略变换 洛仑兹变换 理想模型 引物理参量 特殊运动规律 理想模型 引物理参量 特殊运动规律 研究方案研究方案 物 体 的 任 意 运 动 物 体 的 任 意 运 动 物体的转动物体的转动 物体的平动物体的平动 物体的振动物体的振动 质点的运动质点的运动 质点系运动质点系运动 研究方法总结研究方法总结 内容结构是研究对象要求的逻辑展开内容结构是研究对象要求的逻辑展开 研究方案的设置必须遵循 繁杂研究方案的设置必须遵循 繁杂 简单简单 繁杂的原则繁杂的原则 物理模型是定量化研究的前提物理模型是定量化研究的前提 篇序篇序 研究热运动的规律及其对物质宏观性质的影响研究热运动的规律及其对物质宏观性质的影响 研究物质热运动与其它运动形态之间的转化规律研究物质热运动与其它运动形态之间的转化规律 一 热学的研究对象一 热学的研究对象 二 研究方法二 研究方法 1 统计物理研究方法统计物理研究方法 从物质的微观结构出发 依据每个粒子所遵循的力学规律 用统计的方法研究宏观物体的热力学性质 从物质的微观结构出发 依据每个粒子所遵循的力学规律 用统计的方法研究宏观物体的热力学性质 优点 优点 深入热现象的本质对其作出理论解释 能够解释决定 宏观物理量的微观决定因素 物理过程与物理意义清晰 深入热现象的本质对其作出理论解释 能够解释决定 宏观物理量的微观决定因素 物理过程与物理意义清晰 缺点 缺点 定量统计 需要理想近似物理模型 因而常带有近似 色彩 与实验结果有一定误差 定量统计 需要理想近似物理模型 因而常带有近似 色彩 与实验结果有一定误差 2 热力学研究方法热力学研究方法 由观察和实验总结出热力学定律 用严密的逻辑推理方法研 究宏观物体的热力学性质 由观察和实验总结出热力学定律 用严密的逻辑推理方法研 究宏观物体的热力学性质 优点 优点 热力学根据热现象给出普遍 可靠的结果 可用来验 证微观理论的正确性 热力学根据热现象给出普遍 可靠的结果 可用来验 证微观理论的正确性 缺点 缺点 常带有经验或半经验性质 不能从本质上阐述热现象 的深刻含义以及宏观测量对微观测量的依赖关系 常带有经验或半经验性质 不能从本质上阐述热现象 的深刻含义以及宏观测量对微观测量的依赖关系 三 本篇内容结构三 本篇内容结构 第七章 统计物理初步 第八章 热力学基础 第七章 统计物理初步 第八章 热力学基础 第七章 统计物理初步第七章 统计物理初步 内容结构内容结构 一 热现象的微观实质一 热现象的微观实质 气体动理论的基本观念气体动理论的基本观念 二 描述热学系统的微观 宏观参量与理想统计模型二 描述热学系统的微观 宏观参量与理想统计模型 三 建立热力学统计理论三 建立热力学统计理论 四 热力学统计理论的初步应用四 热力学统计理论的初步应用 7 1 气体动理论的基本观念 气体动理论的基本观念 7 2 平衡态 描述热力学系统的参量与理想统计模型 平衡态 描述热力学系统的参量与理想统计模型 7 3 平衡态下理想气体压强 温度的微观本质 平衡态下理想气体压强 温度的微观本质 7 4 能均分定理 能均分定理 7 5 麦克斯维速度与速率分布 麦克斯维速度与速率分布 7 6 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布 7 1 气体动理论的基本观念气体动理论的基本观念 一 气体动理论的基本观念一 气体动理论的基本观念 1 物质是由大量分子组成的物质是由大量分子组成的 原子 分子线度数量级 原子 分子线度数量级 10 10m 2 分子在不停地做无规则热运动分子在不停地做无规则热运动 分子 原子微粒无规则运动遵守 经典力学或量子力学规律 分子 原子微粒无规则运动遵守 经典力学或量子力学规律 理想气体自由膨胀是不可逆的 swf分子间的相互作用 swf 砷化镓表面砷原子的排列砷化镓表面砷原子的排列 3 分子之间存在相互作用力分子之间存在相互作用力 ts rr f 分子相互作用的四参数方程分子相互作用的四参数方程 ts 为正参数数 因不同材料而不同为正参数数 因不同材料而不同 分子之间的相互作用力和分子自身的无规则热运动是物质 以某种物态存在的两个相互对立 相互制约因素 分子之间的相互作用力和分子自身的无规则热运动是物质 以某种物态存在的两个相互对立 相互制约因素 课外阅读文献课外阅读文献 1 Sun Jiuxun Yang Hongchun Quantum corrected cell model for an anharmonic generalized Lennard Jones solid Journal of physics and Chemistry of solids 2002 6 2 孙久勋孙久勋 严格可解四参数双原子分子势函数严格可解四参数双原子分子势函数 物理学报物理学报 Vol 48 No 11 二 热现象的微观实质二 热现象的微观实质 热现象是大量微观粒子力学运动的宏观表现形式热现象是大量微观粒子力学运动的宏观表现形式 通过对这些微观粒子力学运动的统计 可以描述热学系 统的所有热现象 通过对这些微观粒子力学运动的统计 可以描述热学系 统的所有热现象 统计物理研究方法统计物理研究方法 7 2 描述热力学系统的参量与理想统计模型描述热力学系统的参量与理想统计模型 一 热力学系统 平衡态一 热力学系统 平衡态 1 热力学系统热力学系统 简称系统简称系统 在给定范围内 由大量微观粒子所组成的宏观客体 热力学系统可以由各种物态或这些物态的混合态构成 在给定范围内 由大量微观粒子所组成的宏观客体 热力学系统可以由各种物态或这些物态的混合态构成 2 系统的外界系统的外界 简称外界简称外界 能够与所研究的热力学系统发生相互作用的其它物体能够与所研究的热力学系统发生相互作用的其它物体 3 平衡态平衡态 在不受外界条件影响下 热力学系统的所有可观察的宏 观物理性质不随时间变化而变化的状态 在不受外界条件影响下 热力学系统的所有可观察的宏 观物理性质不随时间变化而变化的状态 理想气体自由膨胀是不可逆的 swf 高温高温 低温低温 传热杆传热杆 例 杆的热传导在稳定情形下 并 不处于热平衡状态 例 杆的热传导在稳定情形下 并 不处于热平衡状态 2 热力学系统的热力学系统的所有可观测物理量所有可观测物理量都都 不随时间变化不随时间变化而变化而变化 3 热力学系统处于平衡态时 系统内部 一定 热力学系统处于平衡态时 系统内部 一定不存在各种 流 不存在各种 流 4 热力学系统的平衡态是一种热力学系统的平衡态是一种动态平衡动态平衡 又称热动平衡又称热动平衡 5 平衡态是一个平衡态是一个理想模型理想模型 是实际热力学系统的理想近似 是实际热力学系统的理想近似 讨论讨论 1 热力学系统必须不受外界条件影响热力学系统必须不受外界条件影响 即不与外界有热量交换 或不对外界作功 即不与外界有热量交换 或不对外界作功 二 描述热力学系统的参量二 描述热力学系统的参量 1 描述热力学系统的微观参量描述热力学系统的微观参量 统计物理认为 热力学系统的宏观热学性质可以由对微观 粒子力学运动加以统计得到 因此 热力学系统的微观参 量就是指微观粒子的力学参量 包括 统计物理认为 热力学系统的宏观热学性质可以由对微观 粒子力学运动加以统计得到 因此 热力学系统的微观参 量就是指微观粒子的力学参量 包括 速度参量速度参量 2 vvv动量参量动量参量 mvp 能量参量能量参量 质量参量质量参量 i m 2 描述热力学系统的宏观参量描述热力学系统的宏观参量 宏观参量 宏观参量 确定平衡态的宏观性质的参量确定平衡态的宏观性质的参量 几何参量 几何参量 如体积 如体积 V 力学参量 力学参量 如气体压强 如气体压强 P 化学参量 化学参量 如混合气体各化学组分的质量和摩尔数等如混合气体各化学组分的质量和摩尔数等 电磁参量 电磁参量 如电场 磁场强度等如电场 磁场强度等 说明说明 如果在所研究的问题中既不涉及电磁性质又无须考虑与化 学成分有关的性质 系统中又不发生化学反应 则不必引入 电磁参量和化学参量 此时只需体积和压强就可确定系统的 平衡态 我们称这种系统为 如果在所研究的问题中既不涉及电磁性质又无须考虑与化 学成分有关的性质 系统中又不发生化学反应 则不必引入 电磁参量和化学参量 此时只需体积和压强就可确定系统的 平衡态 我们称这种系统为简单系统简单系统 或 或PV系统系统 3 温度参量与温标温度参量与温标 给定上述的一组热力学宏观状态参量 就唯一确定了一个 宏观热力学平衡状态 温度参量不是一个必须的独立参量 给定上述的一组热力学宏观状态参量 就唯一确定了一个 宏观热力学平衡状态 温度参量不是一个必须的独立参量 上述所有宏观热力学参量都不直接与热现象相关上述所有宏观热力学参量都不直接与热现象相关 1 引入温度参量的原因引入温度参量的原因 2 引入温度参量的实验依据引入温度参量的实验依据 热力学第零定律热力学第零定律 A 实验定律实验定律 热力学第零定律热力学第零定律 如果热力学系统如果热力学系统A B与与C同时处于 平衡态 那么 同时处于 平衡态 那么 A与与B也处于平衡态也处于平衡态 C AB A 导热壁导热壁 B 导热壁导热壁 B 热力学第零定律与温度参量的引入热力学第零定律与温度参量的引入 热力学第零定律表明热力学第零定律表明 一个系统处于某一平衡态 是由系 统内部机制决定的一种内禀属性 即 一个平衡态对应系 统的一个内禀属性 一个系统处于某一平衡态 是由系 统内部机制决定的一种内禀属性 即 一个平衡态对应系 统的一个内禀属性 两个或多个热力学系统处于同一平衡态 表示它们具有共 同的内禀属性 这个内禀属性可以用一个数学参量加以描 述 两个或多个热力学系统处于同一平衡态 表示它们具有共 同的内禀属性 这个内禀属性可以用一个数学参量加以描 述 温度是描述系统平衡态内禀属性的热学参量温度是描述系统平衡态内禀属性的热学参量 温度参量的定量引入温度参量的定量引入 参 热学 李椿 章立源 钱尚武 高等教育出版社 参 热学 李椿 章立源 钱尚武 高等教育出版社 P33 3 温标温标 A A 温标温标温标温标 温度的数值表示法 温度的数值表示法 B 建立温标的三要素建立温标的三要素 测温物质测温物质 被选择用来测量其它系统温度的物质 被选择用来测量其它系统温度的物质 测温属性测温属性 利用测温物质某种随温度变化的属性来标度其它 系统的温度 这种属性 称为测温属性 被选择的测温属性常常要求随温度作线性或准线性变化 利用测温物质某种随温度变化的属性来标度其它 系统的温度 这种属性 称为测温属性 被选择的测温属性常常要求随温度作线性或准线性变化 固定点固定点 选择测温属性的某特殊平衡态作测温数值的固定点 选择测温属性的某特殊平衡态作测温数值的固定点 CO2定压 定压 水银水银 铂 铂铑 热电偶 铂 铂铑 热电偶 铂电阻铂电阻 1000 0 1 0 2 0 3 0 4 C 温标的分类温标的分类 自学与课外作业 查阅资料 给出上述各类温标的定义 并 对其优缺点作简要评述 自学与课外作业 查阅资料 给出上述各类温标的定义 并 对其优缺点作简要评述 三 理想气体模型三 理想气体模型 经验温标 热力学温标 国际温标经验温标 热力学温标 国际温标 经验温标经验温标 以某种确定物质的测温属性为标准 来测量其它 物质的温度 称这样的温标为经验温标 以某种确定物质的测温属性为标准 来测量其它 物质的温度 称这样的温标为经验温标 说明说明 被测物质与用作测温标准物质随温度变化的特性不一 定一致 从而使被测物质随温度的变化不再成线性变化 被测物质与用作测温标准物质随温度变化的特性不一 定一致 从而使被测物质随温度的变化不再成线性变化 定义一 忽略分子间相互作用 力的气体模型 定义一 忽略分子间相互作用 力的气体模型 CO2定压 定压 水银水银 铂 铂铑 热电偶 铂 铂铑 热电偶 铂电阻铂电阻 1000 0 1 0 2 0 3 0 4 说明说明 1 理想气体模型的微观特点理想气体模型的微观特点 A 分子本身的线度与分子之间的平均距离相比可以忽略不计分子本身的线度与分子之间的平均距离相比可以忽略不计 B 除碰撞的瞬间外 分子之间及分子与器壁之间都无相互作用除碰撞的瞬间外 分子之间及分子与器壁之间都无相互作用 2 平衡态下理想气体的基本假设平衡态下理想气体的基本假设 A 分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞分子之间以及分子与器壁之间的碰撞是完全弹性碰撞 B 容器任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置占优势容器任一位置处单位体积内的分子数不比其它位置占优势 C 分子沿任意方向的运动不比其它方向占优势分子沿任意方向的运动不比其它方向占优势 zyx vvv 定义二 严格遵守理想气体状态方程的气体定义二 严格遵守理想气体状态方程的气体 理想气体状态方程理想气体状态方程 RT M pV 一 热现象的微观实质一 热现象的微观实质 气体动理论的基本观念气体动理论的基本观念 二 描述热学系统的微观 宏观参量与理想统计模型二 描述热学系统的微观 宏观参量与理想统计模型 7 1 气体动理论的基本观念 气体动理论的基本观念 7 2 平衡态 描述热力学系统的参量与理想统计模型平衡态 描述热力学系统的参量与理想统计模型 小结小结 一一 热力学系统 平衡态热力学系统 平衡态 一一 气体动理论的基本观念气体动理论的基本观念 二二 热现象的微观实质热现象的微观实质 二二 描述热力学系统的参量描述热力学系统的参量 1 描述热力学系统的微观参量描述热力学系统的微观参量2 描述热力学系统的宏观参量描述热力学系统的宏观参量 3 温度参量与温标温度参量与温标 三 理想气体模型三 理想气体模型 7 3 平衡态下理想气体压强 温度的微观本质平衡态下理想气体压强 温度的微观本质 一 统计规律一 统计规律 1 统计规律的概念统计规律的概念 1 伽尔顿实验伽尔顿实验 A 实验现象实验现象 少量小球分别下落 分布在各格小球数量具有偶然性少量小球分别下落 分布在各格小球数量具有偶然性 大量小球单个下落 分布在各格小球数量基本相同大量小球单个下落 分布在各格小球数量基本相同 同时落下许多刚性小球时 分布在各格小球数量基本相同同时落下许多刚性小球时 分布在各格小球数量基本相同 B 实验结论实验结论 在一定条件下 大量偶然事件的集合 表现为相同的分布结果在一定条件下 大量偶然事件的集合 表现为相同的分布结果 2 统计规律统计规律 在一定条件下 大量偶然事件的集合 表现为相同的分布结 果 这种规律性 称为统计规律 在一定条件下 大量偶然事件的集合 表现为相同的分布结 果 这种规律性 称为统计规律 2 统计规律的数学描述统计规律的数学描述 1 概率概率 大量偶然事件中 出现某一物理结果的可能性 大量偶然事件中 出现某一物理结果的可能性 N N P A N A lim N为所有的偶然事件数 为所有的偶然事件数 NA为出现物理结果为出现物理结果A的偶然事件数的偶然事件数 讨论讨论 A 只有对大量偶然物理事件统计时 才能使用几率的概念只有对大量偶然物理事件统计时 才能使用几率的概念 B 所有物理结果的几率和等于所有物理结果的几率和等于1 即称几率满足归一化条件 即称几率满足归一化条件 i i P1 10 A P 2 物理量的统计平均值物理量的统计平均值 定义 每一可能事件的物理量值与其对应几率的乘积定义 每一可能事件的物理量值与其对应几率的乘积 nn nn N PWPWPW N NWNWNW W 2211 2211 lim 涨落现象 某次测量值与统计平均值之间存在的偏离现象涨落现象 某次测量值与统计平均值之间存在的偏离现象 涨落现象是统计物理的重要特征涨落现象是统计物理的重要特征 二 压强的微观实质二 压强的微观实质 1 压强的微观实质压强的微观实质 由于大量分子与器壁碰撞而对器壁施以作用力的宏观统计结果由于大量分子与器壁碰撞而对器壁施以作用力的宏观统计结果 2 压强公式压强公式 取器壁的一个面积微元 设单位体积取器壁的一个面积微元 设单位体积z方向速率为方向速率为viz的气体分 子数为 的气体分 子数为ni 气体分子与器壁发生弹性碰撞的作用时间为 气体分子与器壁发生弹性碰撞的作用时间为 t x y z iziizi mvtfvmtf2 2 t 时间范围内 所有速率为时间范围内 所有速率为viz的分子对压强的贡献的分子对压强的贡献 对压强的贡献为 对压强的贡献为 2 izi ii i mvn s fN p z方向能与器壁碰撞的各种速率的分子 对压强的贡献为 方向能与器壁碰撞的各种速率的分子 对压强的贡献为 i izi i i mvnpp 2 每一个每一个z方向速率为方向速率为viz气体分子对压强的贡献为气体分子对压强的贡献为 2 tsvnN izii t 时间范围内能够与器壁碰撞的分子数为 再考虑到平衡态下沿各方向气体分子运动 相同 即 时间范围内能够与器壁碰撞的分子数为 再考虑到平衡态下沿各方向气体分子运动 相同 即 3 2 22 2v vvv zyx 于是 于是 3 2 vnm p i zizi i izi i i vnmvnmmvnpp 2 22 2 2 1 vm k 记分子的平均平动能记分子的平均平动能 kz nvnmvnmp 3 2 3 1 22 于是于是 说明说明 A 压强的微观实质是大量分子对单位容器壁施以冲量的结果压强的微观实质是大量分子对单位容器壁施以冲量的结果 B 压强是一个统计物理量 具有涨落现象 讨论少数分子的 压强没有意义 压强是一个统计物理量 具有涨落现象 讨论少数分子的 压强没有意义 C 影响理想气体压强的参量 分子数密度 分子的平均平动能影响理想气体压强的参量 分子数密度 分子的平均平动能 三 温度的微观实质三 温度的微观实质 mN A 定义摩尔质量定义摩尔质量 1 改写理想气体状态方程改写理想气体状态方程 T N R nRT VN N RT VmN M RT V M pRT M pV AAA nkTp 理想气体状态方程可改写为理想气体状态方程可改写为 V N n 其中 其中 123 1002 6 molN A 123 103806513 1 KJ N R k A 玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数 2 温度的微观实质温度的微观实质 kT np nkTp k k 2 3 3 2 说明说明 A 温度的微观实质 表示分子平均平动能的大小 或分子的无规则运动的剧烈程度 温度的微观实质 表示分子平均平动能的大小 或分子的无规则运动的剧烈程度 B 适用条件 理想气体 大量分子系统 例 设混合气体的体积为 适用条件 理想气体 大量分子系统 例 设混合气体的体积为V 温度为 温度为T 其各总气体可视为理 想气体 个成分气体的质量分别为 其各总气体可视为理 想气体 个成分气体的质量分别为M1 M2 气体的摩尔质 量为 气体的摩尔质 量为 1 2 证明证明 V RTMMM ppp k k 2 2 1 1 21 证明 证明 1 对混合气体 理想气体的总压强可表示为对混合气体 理想气体的总压强可表示为 2 222 2 111 2 1 2 2 321 2 1 1 2 1 321 1 3 1 3 1 vmnvmn N vm lll N N vm lll N p N i ix N i ix 2 由于由于 RT M pV 于是于是 RT M Vp 1 1 11 RT M Vp 2 2 22 RT M Vp i i ii 将上式相加 易得将上式相加 易得 V RTMMM ppp k k 2 2 1 1 21 k pppp 21 道尔顿分压定律道尔顿分压定律 7 4 能均分定理能均分定理 一 分子运动的自由度一 分子运动的自由度 定义 确定分子的空间位置所需要的独立坐标参量数 称为 分子运动的 定义 确定分子的空间位置所需要的独立坐标参量数 称为 分子运动的自由度自由度 例 例 单原子气体气体单原子气体气体 确定单原子空间平动位置需确定单原子空间平动位置需3个自由度个自由度 刚性双原子气体刚性双原子气体 刚性双原子分子质心位置 刚性双原子分子质心位置 3个平动自由度 刚性双原子质心连线转轴的空间转动位置 个平动自由度 刚性双原子质心连线转轴的空间转动位置 2个转动自由度个转动自由度 非刚性双原子气体非刚性双原子气体 质心位置 质心位置 3个平动自由度 质心连线转轴的空间转动位置 个平动自由度 质心连线转轴的空间转动位置 2个转动自由度 非刚性双原子分子沿质心连线上的振动位置 个转动自由度 非刚性双原子分子沿质心连线上的振动位置 1个振动自由度个振动自由度 非刚性多原子分子非刚性多原子分子 质心空间位置 质心空间位置 3个平动自由度 非刚性多原子过质心转轴的空间转动位置 个平动自由度 非刚性多原子过质心转轴的空间转动位置 2个转动自由度 每个原子绕过质心转轴的空间转动位置 个转动自由度 每个原子绕过质心转轴的空间转动位置 1个转动自由度 多原子分子沿每个质心连线的振动位置 个转动自由度 多原子分子沿每个质心连线的振动位置 3n 6个振动自由度个振动自由度 二 能量按自由度均分定理二 能量按自由度均分定理 1 特例特例 单原子气体分子能量与自由度的关系 单原子气体分子的能量 单原子气体分子能量与自由度的关系 单原子气体分子的能量kT k 2 3 将单原子气体分子能量表示为各自由度上能量的和的形式将单原子气体分子能量表示为各自由度上能量的和的形式 222 222 222 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zyx zyx zyxk vmvmvm vvv vmvmvm 联立上述两个步骤 可得联立上述两个步骤 可得 kTvmvmvm zyx 2 1 2 1 2 1 2 1 222 单原子气体分子在每一个自由度上获得相同的能量 均为单原子气体分子在每一个自由度上获得相同的能量 均为kT 2 1 2 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 理想气体的能量按自由度均分 每一自由度上获取的能量为理想气体的能量按自由度均分 每一自由度上获取的能量为 kTsrt k 2 2 1 其中 其中 t 平动自由度 平动自由度 r 转动自由度 转动自由度 s振动自由度振动自由度 由于一个振动自由度总对应于一个振动势能与振动动能 因而 其能量应为自由度数的 由于一个振动自由度总对应于一个振动势能与振动动能 因而 其能量应为自由度数的2倍 倍 三 理想气体的内能三 理想气体的内能 1 气体的内能气体的内能 理想气体的动能 振动势能 分子间相互作用势能的和理想气体的动能 振动势能 分子间相互作用势能的和 2 理想气体内能的能均分公式理想气体内能的能均分公式 RTsrt M kTsrtN M N M E AkA 2 2 1 2 2 1 例 例 1mol理想气体的内能理想气体的内能 RTsrtEmol 2 2 1 单原子气体分子单原子气体分子 RTEmol 2 3 刚性双原子气体刚性双原子气体 RTEmol 2 5 非刚性双原子气体非刚性双原子气体 RTEmol 2 7 刚性多原子气体刚性多原子气体 RTEmol 2 6 结论 理想气体的内能取决于气体分子的自由度数及温度结论 理想气体的内能取决于气体分子的自由度数及温度 例 水蒸汽分解为同温度的氢气与氧气 即例 水蒸汽分解为同温度的氢气与氧气 即 222 2 1 OHOH 求 此过程中内能的增量求 此过程中内能的增量 不记振动自由度不记振动自由度 解 解 H2 O O2 H2分子的自由度分别为分子的自由度分别为6 5 5 1mol H2 O的内能的内能2 6 1 RTE 1mol H2的内能的内能2 5 1 RTE 1mol O2的内能的内能2 5 1 RTE 内能增量内能增量 RTRTRTE 4 3 3 2 5 2 1 1 7 5 麦克斯维气体速率分布规律麦克斯维气体速率分布规律 一 葛正权实验一 葛正权实验 1 实验装置实验装置 O S1 S2 S3 C G P P O 铋蒸汽源 蒸汽压 铋蒸汽源 蒸汽压100pa 温度可测 温度可测 C 有固定转轴的滚筒 半径 有固定转轴的滚筒 半径r 9 4cm 500转转 分 装置处于气压为 分 装置处于气压为10 3pa的真空环境中的真空环境中 2 实验原理实验原理 A 当当C不转动时 铋蒸 汽沉积在 不转动时 铋蒸 汽沉积在p处处 B C转动时 通过转动时 通过s3的 铋蒸汽沿直线到达 的 铋蒸汽沿直线到达G 需要一定时间 所需要一定时间 所 到达的位置与到达的位置与r v 有关有关 C p 的位置计算 设滚筒的直径为的位置计算 设滚筒的直径为D 则 则p 的位置满足的位置满足 O S1 S2 S3 C G P P v D v DD l D rppl v D t v D t 222 2 D 实验分析方法 铋蒸汽成带状分布 取等宽窄带 则每一 窄带的厚度比表示相应速率区间的分子数比 实验分析方法 铋蒸汽成带状分布 取等宽窄带 则每一 窄带的厚度比表示相应速率区间的分子数比 3 实验结论实验结论 在确定实验条件下 分 布在任一速率区间的分 子数与总分子数的比值 是确定的 在确定实验条件下 分 布在任一速率区间的分 子数与总分子数的比值 是确定的 二 麦克斯维速率分布规律二 麦克斯维速率分布规律 设气体的总分子数为设气体的总分子数为N 处在速率 的分子数为 则麦克斯维速率分布规律表示为 处在速率 的分子数为 则麦克斯维速率分布规律表示为 vvv N vvfvve kT m N N kT mv 2 4 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 4 ve kT m vf kT mv 其中其中 理解理解 A 分布函数分布函数f v 的物理意义的物理意义 vN N vfvvf N N 在单位速率间隔区间 速率为在单位速率间隔区间 速率为v的气体分子数占总分子数的比值 发现分子处于速率为 的气体分子数占总分子数的比值 发现分子处于速率为v的单位速率间隔区间的几率的单位速率间隔区间的几率 B 分布函数的归一化条件分布函数的归一化条件 1 limlim 0 00 dvvf N dN dvvNfdNvvf N N vv C 理想气体在不同温度下的分布曲线理想气体在不同温度下的分布曲线 具有很大或很小速率的分子数很少 温度升高 分子系统的平均平动能增大 具有很大或很小速率的分子数很少 温度升高 分子系统的平均平动能增大 v f v T 73k T 273k T 1273k 三 用麦克斯维速率分布规律求三种统计速率三 用麦克斯维速率分布规律求三种统计速率 1 最可几速率最可几速率 与分布函数极大值对应的速率与分布函数极大值对应的速率 2 2 2 3 2 2 4 ve kT m vf kT mv 由由 0 dv vdf 及及 可得最可几速率 的计算公式为可得最可几速率 的计算公式为 p v RTRT m kT v p 414 1 22 其中用到关系式其中用到关系式 R m k N R k mN A A 2 平均速率平均速率 dv N vfvN N dN vv N N vpvv i i ii i i 0 dvve kT m dvvfv kT mv 0 3 2 2 3 0 2 2 4 RTRT m kT v60 1 88 于是于是 3 方均根速率方均根速率 0 2 0 2 2 dvvfvdv N vfNv v RTRT m kT v732 1 33 2 v f v vp v 2 v 例 用气体总分子数例 用气体总分子数N 气体速率 气体速率v和速率分布函数和速率分布函数f v 表示以 下各量 表示以 下各量 A 速率大于速率大于v0的分子数的分子数 B 速率大于速率大于v0的那些分子的平均速率的那些分子的平均速率 C 多次观察某一分子的速率 发现其速率大于多次观察某一分子的速率 发现其速率大于v0的几率的几率 解 解 A 因因 0 0 v vv dvvfNNdvvNfdN 0 0 0 0 0 v v v v vvdvvf dvvfv dvvfN dvvfvN N dN vvB C 多次观察某一分子处在某速率区间的几率 等于系统中处 于该速率区间的分子数与总分子数的比值 多次观察某一分子处在某速率区间的几率 等于系统中处 于该速率区间的分子数与总分子数的比值 0 0 v v dvvf N dvvfN p N N p 7 6 玻尔兹曼分布规律玻尔兹曼分布规律 一 分布空间的相关概念一 分布空间的相关概念 1 速度区间速度区间 气体分子在速度区间 上的分布 气体分子在速度区间 上的分布 xxx dvvv yyy dvvv zzz dvvv 2 位置空间位置空间 气体分子在位置空间 上的分布 气体分子在位置空间 上的分布 dxxx dyyy dzzz 3 状态区间状态区间 气体分子同时在速度区间 和位置空间上的分布 气体分子同时在速度区间 和位置空间上的分布 dxdydzdvdvdv zyz 二 玻尔兹曼分布规律 气体在状态区间的分布 二 玻尔兹曼分布规律 气体在状态区间的分布 dvv