第8章线性变换的可对角化问题习题课(09-10第二学期).pdf

高等代数与解析几何 第8章第8章线线性变换的可对角化性变换的可对角化 问题习题课问题习题课 一 主要内容一 主要内容 二 典型例题二 典型例题 高等代数与解析几何 一 主要内容一 主要内容 定理定理 8 1 1 设设n维线维线性空间性空间V的的线性变线性变换换 在基在基 12 n 和基和基 12 n 下的矩阵分别为下的矩阵分别为 A B 如果如果由基由基 12 n 到基到基 12 n 的过的过渡矩渡矩阵阵 为为T 就是就是 1 212 nn T 那么那么 1 BTAT 定义定义 8 1 1 设设 A B是数域是数域K上两上两个个n阶矩阵阶矩阵 如如 果存在果存在K上一个上一个n阶可阶可逆矩阵逆矩阵T 使得使得 1 BTAT 就就 称称B与与A相似相似 记作记作 A B 矩阵的相似关系满足矩阵的相似关系满足反身性反身性 对称性对称性和和传递性传递性 高等代数与解析几何 有了矩阵相似的概念之后 有了矩阵相似的概念之后 定理定理8 1 1可以补充可以补充 成 成 定理定理定理定理8 1 28 1 2 线性变换在不同基下所对应的矩阵是线性变换在不同基下所对应的矩阵是线性变换在不同基下所对应的矩阵是线性变换在不同基下所对应的矩阵是 相似的 相似的 相似的 相似的 反过来 如果两个矩阵相似 那么它们可反过来 如果两个矩阵相似 那么它们可反过来 如果两个矩阵相似 那么它们可反过来 如果两个矩阵相似 那么它们可 以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵 定义定义8 2 1 设设A是数域是数域K上的上的n阶方阶方阵阵 如果对于如果对于 数数K 存在非零列向量存在非零列向量x 使得使得Axx 那么那么 称为矩阵称为矩阵A的特征的特征值值 根根 x称为矩阵称为矩阵A的属于的属于特特征征 值值 的特征向量的特征向量 矩阵矩阵A的的特征方特征方程程和和特征多项式特征多项式 高等代数与解析几何 求矩阵求矩阵A的特征值与特征向的特征值与特征向量量的具体步骤为 的具体步骤为 1 求出求出矩阵矩阵A的全部特征值的全部特征值 12 k 2 对于对于每个特征值每个特征值 求出齐次线性方程组求出齐次线性方程组 1 2 0 n IA x x x 的一个基础解系的一个基础解系 12 n r 令令 1122 n rn r xkkk 则则0 x 时时 x就是矩阵就是矩阵A的属于特征的属于特征值值 的特征向量的特征向量 高等代数与解析几何 定理定理 8 2 1 设设n阶矩阵阶矩阵 ijn AaM 的特征的特征 值为值为 12 n k 重重特特征值算作征值算作 k 个特征值个特征值 则则 1 1 12n A 2 2 121122nnn aaa 推论推论 8 2 2 n阶方阵阶方阵A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A的的 特征值均为非零特征值均为非零数数 把与把与对角对角矩阵矩阵相似相似的的矩矩阵阵称称为为可对可对角化角化矩矩阵阵 如 如 果矩阵果矩阵 A是可对角化矩阵 我是可对角化矩阵 我们们也说也说 A 可对角可对角化 化 高等代数与解析几何 定理定理 8 2 3 n阶矩阶矩阵阵A可对可对角化角化的充的充要条要条件是件是矩矩 阵阵A有有n个线性无关的特个线性无关的特征向征向量量 若若n阶矩阵阶矩阵 A 可对可对角化 求矩阵可逆矩阵角化 求矩阵可逆矩阵P使 使 1 P AP 的方的方法 其中法 其中 是对角是对角矩阵 矩阵 1 求出1 求出n n 矩阵矩阵A的的全部特征值 全部特征值 2 对每个特征2 对每个特征值求线性无关的特征值求线性无关的特征向量 向量 3 如果线性无3 如果线性无关的特征向量为关的特征向量为n个 则可断个 则可断定定A可对角化可对角化于 于 12 n diag 对角线上为对角线上为A的全部特征值的全部特征值 有些可相同 有些可相同 4 构造4 构造 PP的第的第i列就是列就是A的属于的属于 i 的特征向量 的特征向量 高等代数与解析几何 定理定理 8 2 4 8 2 4 矩阵矩阵A的属于不同特征值的特的属于不同特征值的特 征向量是线性无征向量是线性无关的 关的 定理定理 8 2 5 8 2 5 如果如果 12k 是矩阵是矩阵A的不同的特的不同的特征征 值 值 而而而而 1 i iir 是属于是属于特征值特征值 i 的的线性无关线性无关的特征的特征向向 量 量 1 2 ik 那么向量组那么向量组 1 1111 k rkkr 也也 线性无关 线性无关 推论推论 8 2 6 设8 2 6 设A是数域是数域K上的上的n n 方阵 如方阵 如 果果A的特征多项式在的特征多项式在K中有中有n个不同的根 则个不同的根 则A可可 对角化 对角化 高等代数与解析几何 定理定理 8 2 7 n阶矩阵阶矩阵 ijn AaMK 属于特征属于特征 值值 0 的线性无关特征的线性无关特征向量有向量有k个个 那么那么 A的特征多项式的特征多项式 必有因子必有因子 0 k 定理定理 8 2 7 的一个等价说法是 的一个等价说法是 矩阵矩阵 A 的特征的特征子空子空 间间 0 V 的维数的维数 0 的重数的重数 定理定理 8 2 8 n阶矩阵阶矩阵 ijn AaMK 可对角化可对角化 的充要条件是 的充要条件是 每个每个k重特重特征值征值K 且且 rankIAnk 高等代数与解析几何 定理定理 8 3 1 设设V是数域是数域K上的上的n维线性空间 维线性空间 是是 V的线的线性性变变换 换 则则 可对可对角化的角化的充分必要充分必要条件是存在条件是存在 V的一的一个个基基 12 n 使 使得得 iii 这里 这里 1 2 i K in 定义定义 8 3 1 设设V是数是数域域K上的线性空上的线性空间 间 是是K中中 的一个数 的一个数 是是V的一个线性变换的一个线性变换 如果存在如果存在V的非的非零零 向量向量 使得 使得 那么 那么 称称 为为 的一的一个特征值 个特征值 而非零向量而非零向量 称为称为 的的 属于特征值属于特征值 的一个特征向的一个特征向量量 高等代数与解析几何 定理定理 8 3 2 设设V是数域是数域K上一个线性空间上一个线性空间 是是 V 的一个线的一个线性变换性变换 在在V的一个基的一个基 12 n 下的下的 矩阵为矩阵为A 如果如果 0K 那么 那么 1 是是 的特征值的特征值 是矩阵是矩阵A的特征值 的特征值 2 1 2 12 n n x x x 是是 的属于特征的属于特征值值 的特征向量的特征向量 1 2 n x x x 是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值 的特的特 征向量征向量 高等代数与解析几何 推论推论 8 3 3 线性变换属于线性变换属于不同特征值的特征向不同特征值的特征向量量 是线性无关的是线性无关的 推论推论推论推论8 3 38 3 3如果如果如果如果 1 1 2 2 k k 是线性变换是线性变换是线性变换是线性变换 的不同的特征值 而的不同的特征值 而的不同的特征值 而的不同的特征值 而 1 i iir 是属于特征值是属于特征值是属于特征值是属于特征值 i i 的线性无关的特征向量 的线性无关的特征向量 的线性无关的特征向量 的线性无关的特征向量 i i 1 1 k k 那么向量那么向量那么向量那么向量 1 1111 k rkkr 组组组组也线性也线性也线性也线性 无关无关无关无关 高等代数与解析几何 定理定理 8 3 4 设设V是数域是数域K上上n维线性维线性空间空间 是是 V的一的一个线性变换个线性变换 在在V的一个基的一个基 12 n 下下 的矩阵为的矩阵为A 那么那么 可对角化可对角化 A可对角化可对角化 高等代数与解析几何 1 如果如果 的特的特征值均属于征值均属于K且互且互不不相相等等 则则 可可 对角化 对角化 2 n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换 可以可以对角化的充对角化的充 分必要条件是下分必要条件是下述之一成立 述之一成立 i 有有n个线性无关的特征个线性无关的特征向量 向量 ii 对于对于 的的 i k重特重特征值征值 i K 且且V的特征子空的特征子空 间间 i i VV 的维数恰为的维数恰为 i k iii V是是 的特征子空间的的特征子空间的直和直和 根据根据矩阵矩阵可对可对角化角化的的条条件件可可得得出出线线性性变变换换在某在某个个 基下的矩阵是对基下的矩阵是对角形矩阵的条件如下角形矩阵的条件如下 高等代数与解析几何 定义定义 8 3 2 8 3 2 设设V是数域是数域K上的一个上的一个n维线性维线性空空间间 是是V的一个线性变换 的一个线性变换 关于关于V的任意基的矩阵的任意基的矩阵A 的特的特征多征多项式项式 A f 称 称为为 的特的特征多征多项项式式 记记作作 f 定理8 定理8 3 3 5 哈密尔顿 5 哈密尔顿 凯莱 凯莱 H Ha amilmilt ton Con Caylaaylay 定理 y 定理 设设A是数是数域域K上一上一个个n阶矩阶矩阵 阵 A fIA 是是A的的 特征多项式 则矩阵 特征多项式 则矩阵 1 1122 1 0 nnn Ann fAAaaaAA I 推论推论推论推论8 3 68 3 6设设设设 是有限维空间是有限维空间是有限维空间是有限维空间 V V 的线性变换 的线性变换 的线性变换 的线性变换 f f 是是是是 的特征多项式 那么的特征多项式 那么的特征多项式 那么的特征多项式 那么 f f 高等代数与解析几何 定义定义 8 4 1 设设 是数域是数域K上线性空间上线性空间V的一个线的一个线 性变换性变换 W是是V的子空间的子空间 如果对如果对W中的任意向量中的任意向量 都有都有 属于属于W 就称就称W是线是线性性变变换换 的不的不变子空变子空 间间 简称简称 子空间子空间 定定理理 8 4 1 8 4 1 若若W是是 子 子空间空间 在 在W中规中规定定 W 则 则 是是W的线性的线性变换 变换 这这 时时 称为称为 在在W上上的的限制 记为限制 记为 W 高等代数与解析几何 定理定理 8 4 2 设设 是数域是数域K上线性空间上线性空间V的一的一个线个线 性变性变换换 W是是V的的一个非零一个非零子空间子空间 12 r 是是 W的一的一个基个基 则则W是是 的不变子空间的的不变子空间的充分必要条件充分必要条件 是是W的基的基向量向量的象的象 12 r 全属全属于于 W 高等代数与解析几何 现在讨现在讨论线论线性变性变换换 的不变的不变子空间子空间与化与化简简 的矩的矩 阵的关系 阵的关系 1 设设 是数域是数域K 上上n维维线性空间线性空间V的一的一个线性个线性 变 换 变 换 W是是 的 不 变 子的 不 变 子 空空 间 间 W的 维 数 为的 维 数 为 0 rrn 在 在W中任中任取一取一个基个基 12 r 把 把它它 扩充为扩充为V的一个基 的一个基 121 rrn 由于由于 1 2 i ir 仍属于仍属于W 所以 所以 i 可可 由由W 的基的基 12 r 线性表线性表示示 设 设 高等代数与解析几何 11112121 21212222 1122 11 112 12 1 1 1122 rr rr rrrrrr rrrr rrn rn nnnrnrnnn aaa aaa aaa aaaa aaaa 由此由此知知 在在V的一的一个基个基 121 rrn 下下 的矩阵为 的矩阵为 高等代数与解析几何 1111 11 1 1 1 11 1 00 00 rrn rrrr rrn rrrn n rnn aaaa aaaa A aa aa 把把A写 成写 成 分 块分 块 矩 阵矩 阵 有有 1112 22 0 AA A A 其 其 中中 111 11 1 r rrr aa A aa 是一是一个个r r矩阵 它正是矩阵 它正是 W 在在W的基的基 12 r 下的矩阵 下的矩阵 高等代数与解析几何 2 2 当当 12 VWW 且 且 12 W W都是都是V的的 不变不变非非 平凡子空间时 平凡子空间时 若取若取 12 W W的基分的基分别别是是 12 r 12 rrn 则由 则由 11 WW 22 WW 知知 在在V的基的基 12 r 12 rrn 下的下的矩阵矩阵 为 为 11 22 A A A 其 中其 中 11 A为为 1 W 在在 1 W的 基的 基 12 r 下 的 矩下 的 矩 阵 阵 22 A为为 2 W 在在 2 W的基的基 12 rrn 下下的矩阵 的矩阵 从而从而 在在V的基的基 11 rrn 下的下的矩阵为矩阵为准准 对角矩阵 对角矩阵 高等代数与解析几何 进 一进 一 步 步 如如 果果 12s VWWW 且 且 12 s W WW 都 是都 是 子 空 间 那子 空 间 那 么么 分 别 在分 别 在 12 s W WW 中 选中 选 取 基 作 成取 基 作 成V的 一的 一 个个 基基 12 1112121 s iissi 其中 其中 12s iiin 则 则 在这个基下的矩阵是准对角在这个基下的矩阵是准对角 矩阵矩阵 12 s Adiag A AA 这 这里里 k i阶矩阵阶矩阵 k A是是 k W 在所取的在所取的 k W的基下的矩阵 的基下的矩阵 1 2 ks 由此可知 由此可知 矩阵分解为准对角形与空间分解为矩阵分解为准对角形与空间分解为矩阵分解为准对角形与空间分解为矩阵分解为准对角形与空间分解为 不变子空间的直和是相当的不变子空间的直和是相当的不变子空间的直和是相当的不变子空间的直和是相当的 高等代数与解析几何 上述讨上述讨论论说说明明 对对于于n维线维线性空间性空间V的一的一个线个线性变性变 换换 如果能 如果能将将V分解成若干分解成若干个个 子空间子空间的的直和 直和 则则 可适当可适当选取选取V的一个的一个基 使基 使 在这个基在这个基下的矩下的矩阵有阵有比较比较 简单的形状 准对角矩阵 简单的形状 准对角矩阵 特特别别地地 如果如果能够将能够将V分解分解成若成若干干个个一一维维 子 子空空 间间的的直和直和 则 则可适可适当选当选取取V的一个的一个基基 使使 在这个在这个基基下下 的矩阵是对角矩的矩阵是对角矩阵 阵 这个 这个命命题的逆命题也题的逆命题也成立 成立 即即 可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是V可分解为一维可分解为一维 子空间 子空间 的直和 的直和 高等代数与解析几何 二 典型例题二 典型例题 例例 1 1 设三维线性 设三维线性空空间间V的线性变换的线性变换 A 在基 在基 1 2 3 下的矩阵是下的矩阵是 求求 A 在基 在基 3 1 2 下的矩阵下的矩阵 100 031 212 A 高等代数与解析几何 1 1 设三维线性空间设三维线性空间V的线性的线性变变换换 A 在基 在基 1 2 3 下的矩阵是 下的矩阵是 100 031 212 A 求求 A 在基 在基 3 1 2 下的矩阵 下的矩阵 解 解 由基由基 1 2 3 到基到基 3 1 2 的过渡矩阵为 的过渡矩阵为 010 001 100 X 所以所以 A 在基 在基 3 1 2 下的矩阵为下的矩阵为 1 221 010 103 BXAX 高等代数与解析几何 例 2例 2 设设 1 ii ABik 证明 证明 11 22 kk AB AB AB 证明 证明 高等代数与解析几何 例例 3 3 证明 证明 11100 111000 111000 nn n 证明证明 1 设1 设 11100 111000 111000 nn n AB A的特征多项式为的特征多项式为 高等代数与解析几何 1 111 111 111 n IAn 所以所以A的特征值为 的特征值为 12 0 1 nn 重重 方程组方程组 2 0IA x 仅有一仅有一个独立方程 就是个独立方程 就是 12 0 n xxx 因此它的基础解系包因此它的基础解系包含含1n 个线性无关解 个线性无关解 就是就是说说 A有有 n个线性无关的个线性无关的特征向量 从而特征向量 从而A可对角化可对角化 B为对角为对角 阵 对角线上恰好是阵 对角线上恰好是A有有n个特征值 所以个特征值 所以 AB 高等代数与解析几何 证明证明 2 要求可2 要求可逆矩阵逆矩阵 12n Pppp 使得 使得 1 PAPB 或或APPB 即 即 121 00 n ApApApnp 所以得到 所以得到 112 0 0 n Apnp ApAp 注意还要使得注意还要使得 12 n ppp 线性无关 线性无关 易知取易知取 1 1 1 1 p 2 1 1 0 0 p 1 0 0 1 n p 高等代数与解析几何 即可 就是 令 即可 就是 令 111 110 101 n P 就有就有P可逆且可逆且 1 PAPB 因而 因而 AB 高等代数与解析几何 例 4例 4 设设 A 是线性空间是线性空间 2 MK上的上的线性变换 使线性变换 使 得 得 A 1212 1 1 4 4 2 MP 求求 A 特特征值和特征子空间征值和特征子空间 解 取解 取 2 MK的一个基的一个基 1234 10010000 00001001 eeee 则则 高等代数与解析几何 A 1113 12121010 14 140010 eeee 同样有同样有 A 224 01 01 eee A 313 20 24 40 eee A 423 02 24 04 eee A 1212 1 1 4 4 高等代数与解析几何 于是于是 A 在基在基 1234 e e e e下的矩阵为下的矩阵为 1020 0102 1040 0104 A A 113 eee A 224 eee A 313 24eee A 423 24eee A的特的特征多项式为 征多项式为 22 2 3 IA A的特的特征值为 征值为 12 2 3 这也就是变换这也就是变换 A 的特征值 矩阵的特征值 矩阵A的属于特征值的属于特征值 1 2 的线性无关的特的线性无关的特征向量是 征向量是 高等代数与解析几何 20 02 10 01 所以变换所以变换 A的属于特征值的属于特征值 1 2 的线性无关的特征的线性无关的特征 向量是向量是 113224 2 2 ee ee A 的属于特征的属于特征 值值 1 2 的特征子空间是 的特征子空间是 21324 2 2 VLeeee 高等代数与解析几何 矩阵矩阵A的属于的属于特征值特征值 2 3 的的线线性无性无关的特征向关的特征向 量是量是 10 01 10 01 所以变换所以变换 A属于特征值属于特征值 2 3 的线性无关的特征向的线性无关的特征向 量是量是 313424 ee ee A 的属于特征值的属于特征值 2 3 的特征子空间是 的特征子空间是 31324 VL ee ee 1020 0102 1040 0104 A 高等代数与解析几何 例 5例 5 已知线性变换已知线性变换 A 在 在基基 1 2 3 下的矩阵为下的矩阵为 321 222 361 A 问 问 A 是否可对角化 是否可对角化 在在可可对角对角 化时 化时 求出一组基求出一组基 1 2 3 使 使 A 在基 在基 1 2 3