江苏省苏泰州南通2010届高三第三次数学模拟考试word版.doc

南通市2010届高三第三次调研测试附加题部分21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤OAEBDFCA. 选修41：几何证明选讲如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线FD交的延长线于点连结交于点. 求证：.【证明】连结OF因为DF切O于F，所以OFD=90所以OFC+CFD=90因为OC=OF，所以OCF=OFC 因为COAB于O，所以OCF+CEO=90 5分所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因为DF是O的切线,所以DF2=DBDA所以DE2=DBDA 10分B. 选修42：矩阵与变换求矩阵的特征值及对应的特征向量.【解】特征多项式， 3分由，解得. 6分将代入特征方程组，得.可取为属于特征值1=1的一个特征向量 8分将代入特征方程组, 得.可取为属于特征值的一个特征向量 综上所述,矩阵有两个特征值；属于的一个特征向量为，属于 的一个特征向量为 10分C. 选修44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数） （1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.【解】（1）曲线的极坐标方程可化为. 2分又,所以曲线的直角坐标方程为. 4分 （2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得.6分 令,得,即点的坐标为(2,0). 又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1,0)，半径，则. 8分 所以 10分D选修45：不等式选讲设均为正数，且，求证【证明】因为，当且仅当时等号成立 又因为，所以 10分22. 必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤如图，在三棱柱中，顶点在底面上的射影恰为点B，且（1）求棱与BC所成的角的大小；（第22题）BACA1B1C1（2）在棱上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则 ，故与棱BC所成的角是 4分BACA1B1C1zxyP（2）设，则于是（舍去），则P为棱的中点，其坐标为 6分设平面的法向量为n1，则故n1 8分而平面的法向量是n2=(1,0,0)，则，故二面角的平面角的余弦值是10分23必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知函数，（1）证明：当时，；（2）求函数的的极值【解】（1），则.令，则. 1分当时， 在上为增函数.当x0时，在上为减函数. 3分所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0，所以，函数g(x)在上为减函数. 4分当x0时， 5分（2）函数的定义域是， 6分由（1）知，当时，当x0时， 所以，当时，在（1，0）上为增函数.当x0时，,在上为减函数. 8分故函数的单调递增区间为（1，0），单调递减区间为.故x=0时有极大值0 10分【填空题答案】10.3 2充分不必要 32 4 51 62 73 8 9 10(8，) 网 116 128 13 5u.k.s 141,3,5二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15. （本题满分14分）已知向量与共线，其中A是ABC的内角（1）求角的大小； （2）若BC=2，求ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状.【解】（1）因为m/n,所以5u.k.s. 2分所以，即， 3分即. 4分因为 , 所以. 5分故，. 5u.k.s 7分（2）由余弦定理，得 . 8分 又， 9分 而，（当且仅当时等号成立） 11分所以. 12分ABCDEF（第16题）GBO当ABC的面积取最大值时，.又，5u.k.s故此时ABC为等边三角形.14分16. （本题满分14分）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面ABE，AE=EB=BC=2,F为CE上的点，且平面ACE.（1）求证：AE/平面BDF；（2）求三棱锥DACE的体积.【证明】（1）设，连结.因为面,面，所以.因为,所以为的中点. 5u.k.s3分在矩形中，为中点，所以. 5分因为面,面，所以面. 7分（2）取中点，连结.因为,所以. 因为面,面,所以, 所以面. 9分因为面,面，所以.因为面,面,所以. 又，所以平面. 11分又面,所以.所以,.12分故三棱锥的体积为. 5u.k.s14分17 . （本题满分15分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A、5u.k.sB、C，田忌的3匹马分别为a，b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A，a，B，b，C，c. 两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜. （1）如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率； （2）颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马. 那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？【解】记A与a比赛为（A，a），其它同理5u.k.s（l）（方法1）齐王与田忌赛马，有如下6种情况：（A，a）,（B，b）,（C，c）；（A，a）,（B，c）,（C，b）；（A，b）,（B，c）,（C，a）；（A，b）,（B，a）,（C，c）；（A，c）,（B，a）,（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）. 2分其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）. 4分故田忌获胜的概率为. 7分（方法2）齐王与田忌赛马对局有6种可能：A B C5u.k.sa b ca c bb a c b c a c a bc b a 2分 其中田忌获胜的只有一种：（A，c）,（B，a）,（C，b）. 4分若齐王出马顺序还有ACB , BAC , BCA，CAB，CBA等五种；每种田忌有一种可以获胜故田忌获胜的概率为 7分 （2）已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c9分后两场有两种情形：若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）,（C，b）或（B，b）,（C，a）田忌获胜的概率为. 11分若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）,（B，b）或（C，b）,（B，a）田忌获胜的概率也为 13分所以，田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大14分答：（l）田忌获胜的概率（2）田忌按c , a , b或c , b , a的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为15分18. （本题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数，直线恒过定点F. 设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为. （1）求椭圆C的方程；（2）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置关系. 【解】（1）, 1分解得. 3分设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则由题设，知 于是a=2，b2=1. 5分所以椭圆C的方程为 6分（2）因为圆O：与椭圆C有4个相异公共点，所以，即 8分因为点（m，n）是椭圆上的点，所以.所以. 10分于是圆心O到直线l1的距离，12分圆心O到直线l2的距离. 14分故直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离.15分19. （本题满分16分）设数列an是由正数组成的等比数列，公比为q，Sn是其前n项和（1）证明； （2）设记数列的前n项和为Tn，试比较q2Sn和Tn的大小. 【证明】（1）由题设知a10，q0 1分 (i)当q=1时，Sn=na1，于是 SnSn+2=na1(n+2)a1(n+1)2=0， 3分 (ii)当q1时， 于是SnSn+2= 7分由(i)和(ii)，得SnSn+20所以SnSn+20， 15分所以Tnq2S 16分方法二：Tn=，11分由， 13分因为，所以（当且仅当，即时取“=”号），因为，所以，即Tnq2S. 16分20（本题满分16分）已知函数，且）（1）讨论函数的单调性；（2）若，关于的方程有唯一解，求a的值.【解】 （1）由已知得x0且当k是奇数时，则f(x)在(0,+)上是增函数; 3分当k是偶数时，则. 5分所以当x时，当x时，. 故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数7分（2）若，则.记g (x) = f (x) 2ax = x 2 2 a xlnx 2ax, ,若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解； 9分令,得.因为，所以（舍去），. 11分当时，在是单调递减函数；当时，在上是单调递增函数当x=x2时, ，. 12分因为有唯一解，所以.则 即 13分两式相减得因为a0，所以.14分设函数，因为在x0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得16分附加题部分21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤OAEBDFCA. 选修41：几何证明选讲如图，是的直径，是上的两点，过点作的切线FD交的延长线于点连结交于点. 求证：.【证明】连结OF因为DF切O于F，所以OFD=90所以OFC+CFD=90因为OC=OF，所以OCF=OFC 因为COAB于O，所以OCF+CEO=90 5分所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE因为DF是O的切线,所以DF2=DBDA所以DE2=DBDA 10分B. 选修42：矩阵与变换求矩阵的特征值及对应的特征向量.【解】特征多项式， 3分由，解得. 6分将代入特征方程组，得.可取为属于特征值1=1的一个特征向量 8分将代入特征方程组, 得.可取为属于特征值的一个特征向量 综上所述,矩阵有两个特征值；属于的一个特征向量为，属于 的一个特征向量为 10分C. 选修44：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数） （1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.【解】（1）曲线的极坐标方程可化为. 2分