不可微多目标数学规划的高阶对偶性.pdf

第20卷 第1期 重庆师范学院学报 自然科学版 2003年3月 Vol 20 No 1 Journal of Chongqing Normal University Natural Science Edition Mar 2003 不可微多目标数学规划的高阶对偶性 杨新民 重庆师范学院 数学与计算机科学学院 重庆400047 摘 要 引入了一类不可微多目标数学规划的高阶对偶模型 在广义凸性条件下 建立了弱对偶性定理 其结果 推广和统一了近期文献上出现的结果 关键词 不可微多目标数学规划 高阶对偶模型 广义凸性 对偶理论 中图分类号 O221 6 文献标识码 A 文章编号 100128905 2003 0120001204 Higher Order Duality in Nondifferentiable Multiobjective Mathematical Programming YANG Xin2min College of Mathematics and Computer Science Chongqing Normal University Chongqing 400047 China Abstract A class of higher order dual model in nondifferentiable multiobjective mathematical programming is introduced Weak du2 ality theorem is established under generalized convexity conditions The result extends and unifies the contents in latest Key words nondifferentiable multiobjective mathematical programming higher order dual model generalized convexity duality theory 对下面非线性规划问题 P min f x s t g x 0 其中f Rn R g Rn Rm是二次可微函数 Mangasarian 1 提出了下面二阶对偶模型 MD max f u yTg u 1 2 pT 2 f u yTg u p s t f u yTg u 2 f u yTg u p 0 y 0 通过引入二次可微函数h Rn Rn R k Rn Rn Rm Mangasarian 1 也提出了如下高阶对偶模型 HD max f u yT g u h u p yTk u p s t ph u p p y Tk u p y 0 其中 ph u p 表示h关于p的梯度 p y Tk u p 表示yTk关于p的梯度 2002年 Mishra和Rueda 2 考虑了下面不可微规划的高阶对偶性 NP min f x x T Bx 1 2 s t g x 0 其中f Rn R g Rn Rm是二次可微函数 B是一个n n半正定矩阵 Mishra和Rueda的主要工作是放宽Zhang在文献 3 中有关Mangasarian型和Mond2Weir型高阶对偶性的 凸性条件 在所谓的高阶I型函数条件下 建立这些对偶定理 在本文中 不仅考虑更一般的不可微规划 而 收稿日期 2003201218 资助项目 国家自然科学基金 批文号 10171118 教育部重点项目基金 教育部优秀青年教师基金和重庆市应用基础研究基金 作者简介 杨新民 19602 男 四川泸州人 教授 博士 主要从事数学规划研究 且是多目标情形 文中提出了一般不可微多目标规划的高阶对偶模型 在非常弱的条件下 给出了其对偶定 理 本文结果改进 推广和统一了Mishra Rueda在文献 2 中的多个结果 也推广了作者在文献 4 中的主要 结果 考虑下述不可微多目标规划问题 NMP min f 1 x s x C1 f 2 x s x C2 fp x s x Cp s t g x 0 x D 1 其中f Rn Rp g Rn Rm Ci 1 i p 是Rn中紧凸集 D是Rn中一个开子集 定义1 泛函F D D Rn R称为是次线性的 如果对任何x u D 下面两个不等式成立 i F x u a1 a2 F x u a1 F x u a2 a1 a2 Rn ii F x u a F x u a a Rn 0 1 对偶模型与对偶定理 现在对一般不可微多目标规划 NMP 提出下述高阶对偶模型 NMD max f1 u h1 u p pT ph1 u p u Tw1 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p fp u hp u p pT php u p uTwp 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p s t T ph u p 6 p i 1 T iwi p y Tk u p 2 6 i I y igi u yiki u p pT p y iki u p 0 1 2 3 y 0 4 wi Ci i 1 2 p 1 2 p 5 其中 Rp 0 Te 1 e 1 1 1 Rp w w1 w2 wp I M 1 2 m 0 1 2 具有 0 I M和当 时I I P 1 2 p 定理1 弱对偶性 设x是 NMP 的可行解 u w y p 是 NMD 的可行解 如果存在次线性泛函 F Rn Rn Rn R使得 6 i I y igi u yiki u p pT p y iki u p 0 F x u p 6 i I y iki u p d2 x u 1 2 6 并且下面三个条件之一成立 a 对任何i P F x u phi u p wi p 6 i I0 yiki u p id2 x u fi x xTwi fi u uTwi 6 i I0 yigi u hi u p 6 i I0 yiki u p pT phi u p p 6 i I0 yiki u p 0 fi x xTwi f i u uTwi 6 i I0 yigi u h i u p 6 i I0 yiki u p pT phi u p p 6 i I0 yiki u p 0 F x u phi u p wi p 6 i I0 yiki u p id2 x u 并且6 1 6 p i 1 i i 0 b 存在k P 使得 F x u phk u p wk p 6 i I0 yiki u p kd2 x u fk x xTwk f k u u Tw k 6 i I0 yigi u hk u p 6 i I0 yiki u p pT phk u p p 6 i I0 yiki u p 0 对任意i P fi x xTwi fi u uTwi 6 i I0 yigi u hi u p 6 i I0 yiki u p PT phi u 2重庆师范学院学报 自然科学版 第20卷 p p 6 i I0 yiki u p 0 F x u phi u p wi p 6 i I0 yiki u p id2 x u 并且6 1 6 p i 1 i i 0 c F x u T ph u p 6 p i 1 iwi py Tk u p d2 x u Tf x xT 6 p i 1 iwi Tf u uT6 p i 1 iwi yTg u Th u p yTk u p pT T ph u p pyTk u p 0 并且6 1 0 则下面两式不能同时成立 fi x s x Ci fi u uTwi 6 i I0 yigi u 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p i P 7 fk x s x Ck fk u uTwk 6 i I0 yigi u 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p 某k P 8 证明 由x是 NMP 的可行解 u w y p 是 NMD 的可行解 从 6 式 有 6 i I y igi u yiki u p pT pyiki u p 0 F x u p 6 i I y iki u p d2 x u 1 2 9 从F的次线性性 有F x u p 6 i M I0 yiki u p 6 1 d2 x u 10 根据 2 10 式和F的次线性性 得 F x u p Th u p 6 p i 1 iwi p 6 i I0 yiki u p 6 1 d2 x u 11 现在假设结论不成立 即 7 和 8 式同时成立 于是从xTwi s x Ci i 1 2 p 有 fi x xTwi fi x s x Ci fi u hi u p pT phi u p uTwi 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p i P 12 fk x xTwk fk x s x Ck fk u hk u p pT phk u p uTwk 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p 某k P 13 由条件a 获得下式 F x u phi u p wi p 6 i I0 yigi u id2 x u i P 14 F x u phk u p wk p 6 i I0 yigi u id2 x u 某k P 15 从 14 15 式和F的次线性性 得 F x u 6 p i 1 i phi u p wi p 6 i I0 yigi u 6 p i 1 i i d 2 x u 16 由6 1 6 P i 1 i i 0 从 16 式 得 F x u 6 p i 1 i phi u p wi p 6 i I0 yigi u 6 1 d 2 x u 17 它与 11 式矛盾 因此 7 和 8 式不能同时成立 在假设条件b 下 因 14 式成立且 12 式意味着下式成立 3第1期 杨新民 不可微多目标数学规划的高阶对偶性 F x u phk u p wk p 6 i I0 yigi u kd2 x u 某k P 18 又 18 和 14 式意味着 17 式成立 因此 与条件a 一样 7 和 8 式不同时成立 现在假设条件c 满足 由于从 12 和 13 式有 6 p i 1 i f i x x Tw i 6 p i 1 i fi u hi u p pT phi u p uTwi 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p 因此 由条件c 得 F x u 6 p i 1 i phi u p wi p 6 i I0 yigi u d2 x u 19 再由 6 1 0 19 式意味着下式成立 F x u 6 p i 1 i phi u p wi p 6 i I0 yigi u 6 1 d 2 x u 这显然与 11 式矛盾 因此 7 和 8 式不能同时成立 证毕 2 特殊情况 当考虑Ci Biw wTBiw 1 时 容易证明s x Ci x TB i x 1 2且 Ci i 1 2 p 是紧凸集 在此情况 下 原问题 NMP 和对偶问题 NMD 变为下面一对对偶问题 NMP 1 min f 1 x x TB 1 x 1 2 fp x xTBp x 1 2 s t g x 0 x D 和 NMD 1 max f 1 u h1 u p pT ph1 u p uTB1w 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p fp u hp u p pT php u p uTBpw 6 i I0 yigi u yiki u p pT pyiki u p s t T ph u p 6 p i 1 iBiw p y Tk u p y 0 wTBiw 1 i 1 2 p 1 2 p 显然 i 当p 1时 NMP 1和 NMD 1分别退化为文献 2 中 NDP 和 NDHG D ii 当p 1 I0 M I 1 时 NMP 1和 NMD 1分别退化为文献 2 中 NDP 和 NDHMD iii 当p 1 I0 I1 M I 2 时 NMP 1和 NMD 1分别退化为文献 2 中 NDP 和 NDHD iv 当h u p pT f u ki u p pT gi u i 1 2 m 则 NMP 1和 NMD 1分别退化为文献 4 中 VP 和 VD 由于当F x u u u T x u 时 其中 D D Rn是一个向量函数 定理1的条件退 化为文献 2 中高阶广义不变凸性 因此 本文定理1改进 扩充和统一了在文献 2 和文献 4 中的结果 参考文献 1 MANG ASARIAN O L Second and Higher Order Duality in Nonlinear Programming J J Math Anal Appl 1975 51 6072620 2 MISHRA S K RUEDA N G Higher Order Generalized Invexity and Duality in Nondifferentiable Mathematical Programming Problems J J Math Anal Appl 2002