61数理统计的基本概念.pdf

对随机现象进行观测 试验 以取得有代表性的观测值 对已取得的观测值进行整理 分析 作出推断 决策 从而 找出所研究的对象的规律性 数数 理理 统统 计计 的的 分分 类类 描述统计学 推断统计学 第六章第六章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 参数估计 第七章 假设检验 第八章 回归分析 第九章 方差分析 第九章 推断 统计学 总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个 或某些 数量指 标的全体 它是一个随机变量 或多维随机 变量 记为X X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征 总体和样本 6 1 基本概念基本概念 样本样本 从总体中抽取的部分个体 称 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值 或称样本的一个实现 21n xxx 21n XXX 用 表示 n 为样本容量 样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合 个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标 可看作随机 变量 X 的某个取值 用 表示 i X 若总体 X 的样本 满足 21n XXX 一般 对有限总体 放回抽样所得到的样 本为简单随机样本 但使用不方便 常用 不放回抽样代替 而代替的条件是 n XXX 21 1 与X 有相同的分布 n XXX 21 2 相互独立 21n XXX 则称 为简单随机样本 简单随机样本简单随机样本 N n 10 总体中个体总数总体中个体总数 样本容量样本容量 设总体 X 的分布函数为F x 则样本 n i in xFxxxF 1 21 总 若总体X 的密 d f 为 f x 则样本 n i in xfxxxf 1 21 总 的联合 d f 为 21n XXX 的联合分布函数为 例如例如 设某批产品共有N 个 其中的次品 数为M 其次品率为 NMp 若 p 是未知的 则可用抽样方法来估计它 所取的产品不是次品 所取的产品是次品 0 1 X X 服从参数为p 的0 1分布 可用如下表示 方法 1 0 1 1 xpppxf xx 从这批产品中任取一个产品 用随机变量 X来描述它是否是次品 设有放回地抽取一个容量为 n 的样本 21n XXX 21n XXX 的联合分布为 n i i n i i xnx n i in pp xfxxxf 11 1 1 21总 21n xxx 其样本值为 2 1 1 0 21 nixxxx in 样本空间为 若抽样是无放回的 则前次抽取的结果 会影响后面抽取的结果 例如 1 1 11 12 N M XXP 1 01 12 N M XXP 所以 当样本容量 n 与总体中个体数目N 相比很小时 可将无放回抽样近似地看作 放回抽样 p p N N N 1 1 1 p p N N 1 1 设 是取自总体X 的一个 样本 21n XXX 21n rrrg 21n xxxg 为一实值连续函数 且不含有未知参数 21n XXXg 则称随机变量 为统计量统计量 若 是一个样本值 称 21n XXXg 的一个样本值 为统计量 定义定义 统计量统计量 21n xxx 例例 是未知参数 22 NX 若 已知 则为统计量 是一样本 21n XXX n i i n i i XX n SX n X 1 2 2 1 1 1 1 是统计量 其中 2 NX i 则 但 不是统计量 n i i X 1 2 2 1 常用的统计量常用的统计量 n i i X n X 1 1 1 为样本均值样本均值 n i i XX n S 1 2 2 1 1 2 为样本方差样本方差 n i i XX n S 1 2 1 1 为样本标准差样本标准差 21n XXX 设 是来自总体 X 的容量 为 n 的样本 称统计量 为样本的k 阶原点矩原点矩 n i k ik XX n B 1 1 4 为样本的k 阶中心矩中心矩 例如 2 1 2 2 2 1 11 n n i i SXX n S n n B XA n i k ik X n A 1 1 3 5 顺序统计量与极差顺序统计量与极差 设 为样本 为样本值 且 当 取值为 时 定义 r v 则称统计量 为顺序统计量顺序统计量 其中 称 为极差极差 max min 1 1 1 k nk nk nk XXXX 1 XXD nn 2 1 n XXX nkxX kk 2 1 21n xxx 21n xxx 2 1n xxx 21n XXX 21n XXX 注注 样本方差样本方差 与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 的不同的不同 n i n i i n i i XXXX 1 2 11 2 2 22 1 2 2XnXnX n i i 2 1 2 XnX n i i 2 2 XAn 故 2 2 2 2 1 1 n S n n XA n n S 2 22 XAB n i ii n i i XXXXXX 1 2 2 1 2 2 推导推导 关系式关系式 1 22 1 n S n n S 2 n S 2 S 推导推导 设 2 XDXE则 n i i X n EXE 1 1 2 1 n XD 2 2 2 2 XEEASE n XEXDX n E n i i 2 1 2 1 2222 1 n 2 1 n n 22 1 n S n n ESE 22 1 n ES n n 22 SE 22 1 n n SE n 例例1 1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取 10件 测得其重量为 单位 公斤 210 243 185 240 215 228 196 235 200 199 求这组样本值的均值 方差 二阶原点 矩与二阶中心矩 解解 1021 xxx 令 199 200 235 196 228 215 240 185 243 210 43 433 9 1 10 1 22 i i xxs 10 1 2 2 5 47522 10 1 i i xA 0 390 10 1 10 9 10 1 22 2 i i xxsB 19 217 199200235196228 215240185243230 10 1 x则则 例例2 2 在总体 中 随机抽取一个容量 为36的样本 求样本均值 落在50 8到53 8 之间的概率 X 解解 36 3 6 52 2 NX 故 6 3 6 528 50 6 3 6 528 53 8 538 50 XP 8239 0 1429 1 7143 1 3 6 52 2 NX 例例3 3 设总体X 的概率密度函数为 10 1 x xx xf 为总体的样本 求 5021 XXX 1 1 X 的数学期望与方差 2 2 SE 3 02 0 XP 解解 1 0d 1 1 xx