（应用数学专业论文）集值变分不等式及其推广.pdf

摘要 集值变分不等式是现代数学中一个非常重要的研究领域 被广泛地应用到数 学 经济 机械和控制论等方面 是研究多目标规划和多层规划的重要基础和工 具 也是目前应用数学中备受关注的热点之一 对这一问题的研究涉及到凸分析 线性与非线性分析 非光滑分析 集值分析 图收敛理论等数学分支 有重要的 学术研究价值和相当的难度 本文主要从算法和理论两方面较为系统地研究了集值变分不等式及变分包含 问题 统一和推广了大量的最新结果 本文讨论的问题包含许多已有的变分不等 式和变分包含问题作为特例 一方面运用一些分析的技巧直接讨论集值变分不等 式及变分包含问题的解的存在性 给出了一些比较新的迭代算法 并证明了新算 法的收敛性 另一方面通过给出新的例外族的定义 说明了一般变分不等式解的 存在性与例外族的存在性之间的关系 给出了解的存在性判定定理及相关的一些 等价条件 关键词 集值变分不等式预解算子 迭代算法例外族收敛性 a b s t r a c t s e t v a l u e d v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y i sa n i m p o r t a n t r e s e a r c h s p a c e i nm o d e m m a t h e m a t i c s a n dw a sw i d e l ya p p l i e dt om a t h e m a t i c s e c o n o m i e s m e c h a n i c s c o n t r o l t h e o r y a n ds o o n t h e y b e c o m ea n i m p o g a n t f o u n d a t i o na n dt o o lf o r s t u d y i n g m u l t i o b j e c t i v e a n dm u l t i l e v e l p r o g r a m sa n d o n eo ff o c a l p o i n tp r o b l e mp a i dc l o s e a t t e n t i o n b y s c h o l a r si nt h ef i e l d t h er e s e a r c ho nt h i s t o p i c t o u c h u p o ns u c h m a t h e m a t i c a lb r a n c h e sa sc o n v e x a n a l y s i s p a r t i a l l y o r d e r e d t h e o r y a n d g r a p h i c a l c o n v e r g e n c et h e o r y i n v o l v em a t h e m a t i c a l e c o n o m i c s f i n a n c e c o n t r 0 1 t h e o r y m e c h a n i c s p h y s i c sa n ds oo n t h e r e f o r et h er e s e a r c hf o rt h e mh a si m p o r t a n tl e a r n i n g v a l u ea n dc e r t a i nd e g r e eo fd i f f i c u l t v t h i sp a p e ri sd e v o t e dt o s t u d ys y s t e m a t i c a l l y ac l a s so fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s w h i c hi sau n i t ya n de x t e n s i o no fal a r g en u m b e ro f k n o w nv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sf r o mt h e o r ya n da l g o r i t h m s 0 n ea s p e c ti st od i s c u s sd i r e c t l yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sb yu s i n ga n a l y t i c a lm e t h o d s f o rs e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s w eg i v es o m en e w i t e r a t i v ea l g o r i t h m sa n dp r o v e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m s t h eo t h e ri sb yu s i n g t h et o p o l o g i c a ld e g r e eg i v ean e wc o n c e p to fe x c e p t i o n a lf a m i l yo fe l e m e n t s s h o wt h e e q u i v a l e n c e b e t w e e nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o na n dt h a to f e x c e p t i o n a lf a m i l y o f e l e m e n t sa n d s o m ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sw e r e g i v e n k e yw o r d s s e t v a l u e d v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yr e s o l v e n to p e r a t o r e x c e p t i o n a lf a m i l y o f e l e m e n t s c o n v e r g e n c e 创新性声明 y 5 8 3 4 7 3 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外 论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 申请学位论文与资料若有不实之处 本人承担一切相关责任 本人签名 磊宣 迸 日期 丝竺 圭 兰墨 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定 即 研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学 本人保证毕业 离校后 发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学 学校 有权保留送交论文的复印件 允许查阅和借阅论文 学校可以公布论文的全部或 部分内容 可以允许采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 保密的论文在解 密后遵守此规定 本人签名 盔室 选 导师签名 刻三仝旦 日期 2 2 0 f l v 汀 日期 砌多 力 2 第一章绪论 第一章绪论 本章首先介绍了集值变分不等式理论的背景及其研究状况 其次简述了集 值变分不等式理论的一些基本定义及本文的数学模型 最后说明了全文的主要 内容及具体安排 1 1 集值变分不等式问题的背景及其发展概况 变分不等式问题是数学规划中一个十分重要的研究领域 数学规划中的许 多基本问题都可以归结为一个变分不等式问题 它不仅本身是一类重要问题 而且与互补问题 凸规划问题都有着紧密的联系 同时与其它数学规划也有着 极其密切的关系 近年来 变分不等式被广泛的应用于经济学 力学 控制论 对策论 经济平衡理论等领域 1 9 6 4 年 f i c h e r a 和s t a m p a c c h i n a 在研究偏微分方程问题时 首次提出了 变分不等式的概念 1 9 6 7 年 s t a m p a c c h i n a l i o n s 和s t a m p a c c h i n a 等将变分不 等式的概念和理论进行了一系列的完善和推广 1 9 7 2 年 d a v o u t 和l i o n s 研究 了变分不等式在机械和物理两方面的应用 b r e z i s 研究了它在数学中的应 用 1 9 7 5 年 n o o r 在其博士论文中详细研究了变分不等式的一些基础理论问题 随后变分不等式问题受到越来越多的关注 9 0 年代以后 变分不等式问题逐渐成了一个新的研究热点 引起了许多学 者浓厚的研究兴趣 无论理论研究还是算法研究都取得了长足的进展 1 9 9 1 年 s h i l l 2 1 和r o b i n s o n l 3 1 首先引进并介绍了w i n e r h o p f 方程技巧 讨论了该方程与 变分不等式问题之间的等价关系 这一方程被广泛的用来研究变分不等式及互 补问题的各种数值解法 关于w i n e r h o p f 方程的各种应用可以参看 4 1 0 变分不等式的一个极为有用的推广是带有非线性项的混合变分不等式 由 于非线性项的存在 投影方法及w i n e r h o p f 方程对于混合变分不等式的求解已 经失效 受这一情况的启发 m a r t i n e t j 和b r e z i s 1 2 发现 当非线性项是真凸下 半连续函数时 它的次微分是一个极大单调集值映射 因此可以利用集值映射 的预解算子来代替投影算子 h a s s o u n i 和m o u d a f i 1 3 将这一技巧加以改进和完 善 研究了一般的混合变分不等式问题 之后 n o o r 9 1 4 番1 j 用预解算子和预解 方程技巧将变分不等式问题的许多研究结果推广到了混合变分不等式问题 并 针对非线性项不可微这一情况提出了辅助原理方法 或称辅助变分不等式 法 h u a n g 和d e n g i 又将此法加以改进 提出了新的辅助原理法和其他迭代算 法 n o o r 1 6 埽0 用辅助变分不等式提出了求解一般集值混合变分不等式的三步迭 代 预估校正迭代算法 2 西安电子科技大学硕士论文 集值变分不等式及其推广 对于一般的集值变分不等式 集值混合变分不等式问题 目前已有许多研 究成果 这些研究成果基本上采用以下两种方法 一是在集值映射极大单调的 前提下利用投影算子 预解算子 预解方程 w i e n e r h o p f 方程技巧以及它们的 各种变形来研究集值变分不等式问题解的存在性 并给出算法及收敛性分析 相关参考文献见 1 7 2 2 2 7 及其中引用的参考文献 二是利用辅助原理技巧研究 一些特殊类型的集值混合变分不等式问题 给出迭代算法及算法的收敛性分析 见文献 2 1 5 2 1 2 2 1 9 9 3 年 n o o r 3 0 在s h i p 口1 提出的基于投影算子的 w i e n e r h o p f 方程法的基础上提出了集值变分不等式基于投影算子的一个 w i e n e r h o p f 方程算法 但这两个算法在构造及收敛性证明上是相互独立 的 2 0 0 1 年 n o o r 冽通过利用一个辅助变分不等式给出了集值变分不等式的三 步预估 校正算法 由这一算法产生的迭代序列能够较快的收敛到集值变分 不等式的解 此外关于集值变分不等式问题的求解还出现了连续可微最优化法 非光滑法等等 有兴趣的读者可以参看文献 3 0 3 2 及所引用的参考文献 关于 集值 混合 变分不等式问题唯一解的灵敏性分析 读者可以参看文献 5 3 3 3 6 变分不等式的另外一个极为有用的推广是变分包含问题 混合变分包含 隐 拟 变分包含 非线性集值拟变分包含 广义集值拟变分包含等都是经典变分 不等式的一些重要推广 关于变分包含的应用广泛的见于工业 物理 社会 理 论与应用科学等领域 许多学者还研究了这一问题的一些特殊形式 如 n o o 一3 m 川 等 且这一问题被广泛的用来研究大量的线性无关问题和非线性问题 在极大单 调性的背景下 a d l y 4 0 埘一类特殊集值变分包含问题提出了m a n n 型扰动迭代算 法 c h a n g 4 1 对b a n a c h 空间中的变分包含问题提出了变参数i s h i k a w a 型迭代法 l i u 和l i 4 2 对一般变分包含问题提出了变参数的i s h i k a w a 型扰动迭代算法 当今对变分不等式问题的研究主要是从理论 算法和应用三个方面进行 的 理论方面的研究焦点集中在变分不等式问题解的存在性 唯一性 全局误差 界等方面 而算法方面主要是研究如何引进和借助于各种技术 概念和思想等以 建立各种类型的变分不等式问题的具体求解方法 同时广大中外学者还将变分不 等式问题加以推广 形成了混合变分不等式 集值变分不等式 变分包含问题 互补问题等一系列相互关联的问题 众所周知 经济 金融 控制 运输等领域 内的许多实际问题都可以转化为变分不等式问题来求解 首先 许多学者将变分 不等式问题与实际问题结合起来 而且取得了显著的成就 如d u p u s e 和 n a g u r n e y 6 3 讨论了动力系统与变分不等式之间的关系 m p a p p a l a r d o 和m p a s s a c a n t a n d o 删中 作者成功的将变分不等式理论应用到解决动力系统平衡问题 的稳定性中 取得了比较理想的结果 d e w a r d 和gm l e e l 65 j 将向量优化问题 与向量变分不等式结合起来考虑讨论了两者之间的关系 关于变分不等式在实际 第一章绪论 问题中的应用是一个非常有价值的研究课题 通过定义新的例外族来判定变分不 等式问题的解的存在性也是一个比较新的研究领域 而此方面的文献主要集中在 经典变分不等式及一般变分不等式问题上 因此 关于此问题可以进行深一步的 研究 推广到更一般的变分不等式中去 如 混合变分不等式 集值变分不等式 变分包含问题等 另外还可以尝试将解决优化问题的某些比较成熟的方法和思想 运用于解决变分不等式问题中去 例如 广义 梯度投影法 罚函数法等等 还 可以尝试采用s q p 方法或序列线性方程组等技巧来研究变分不等式超线性收敛 算法 本文是作者在攻读硕士学位期间所做工作的一个总结 主要研究了集值变 分问题的几个模型的算法 在已有结果的基础上进行了不同程度的创新和推广 由 于作者水平有限 文中难免出现错误 恳请读者批评指正 1 2 基础知识及基本理论 首先介绍一些在本文中将用到的基本概念 并提出几个新的连续的概念及命 题 为以后各章节中研究各种类型的集值变分不等式做准备 设h 为一实的h i l b e r t 空间 其上内积与范数分别定义为 l i 2 u 和c h 分别为h 的所有非空子集和非空有界闭子集构成的集合 k 为h 上的闭凸集 为恒等映射 h 为c 日 上的h a u s d o r f f 度量 给定单值映射g h h 日 非 线性映射 e e c h h h 集值映射t v h c h 定义1 2 1 1 3 8 对任意的 u 2 日 i 称集值映射r h c 日 关于 的第一个变量是强单调的 若存 在常数a 0 使得 n w 1 1 一 一 za l 卜 一 9 2 对任意的w 1 t w r i i 称算子 关于第一个变量l i p s c h i t z 连续 若存在常数卢 0 使得 以l i n u 洲s 卢她 一 注1 2 1 称集值映射t 关于 的第一个变量是单调的 若对任意的 1 2 h 有 西安电子科技大学硕士论文 集值变分不等式及其推广 嵋 n w 2 一 苫0 对任意的w 1 e t u w e t u 注1 2 2 同理我们可以定义矿关于 的第二个变量的 强 单调性及 关于第二个变量的l i p s c h i t z 连续性 定义1 2 2 4 3 1 称单值映射g h h 是强单调和l i p s c h i t z 连续的 若存在常 数 0 d 0 使得 g x g y x y 盯忙一y lj2 i 陋一罟 l s6 忙一y l i 对任意的z y c h 定义1 2 3 4 4 1 称集值映射t h c 日 关于 的第一个变量是l i p s c h i t z 连续的 若存在常数卵 0 使得 i i n w 一n w 2 s 叫b 一u 2 l i 对任意的w r w r 注1 2 3 同上我们可以定义集值映射v 关于 的第二个变量的l i p 蹿h i t z 连续 性 定义1 2 4 称集值映射t h c h 是l i p s c h i t z 连续的 若存在常数 s 0 使得 h t u r u s5 她 一u 2 其中h 为c h 上的h a u s d o r f f 度量 定义1 2 5 h 3 1 集值映射丁 h c h 称为关于n 的第一个变量是松弛 l i p s c h i t z 连续的 若存在常数材 0 使得 w 1 一 w 一 s 一町 一 n 对任意的h r h w e t u 定义1 2 6 1 2 1 若映射爿为h 上的极大单调映射 则对于常数p 0 定义彳的 预解算子为 j i 础 1 对任意的 注1 2 4 a 为极大单调映射 当且仅当预解算子j 为定义在整个空间上的函 数 而且预解算子是一个单值非膨胀映像 即对任意的u ve h 有 i p 一 v 0 墨l l u v 1 1 第一章绪论 注1 2 5 正常的凸的下半连续函数妒 h r u h 的次微分a 妒是一个极 大单调映射 定义a 妒的预解算子为 一 p a q 0 对任意的 e h 定义1 2 7 4 5 1 映射f h 一2 称作是毒一压缩映射 若6 f z 毋 s 言 o y 对任意的五y e h 这里亭 f o 哟满足毒o c t 对任意t 乒一 0 f 为 p 弘仁y k y 田的闭包 定义1 2 8 设 及 都是极大单调映射0 0 1 2 那么序列 称为 图 收敛于缈 记为 一二 若对任意的0 y g r a p h w 存在一4 r 芋y o x y g r a p h w 使得 工 一工 y 一y 引理1 2 1 1 2 1 对于给定的z 日 u h 满足不等式 u z v 一 p 伊0 一j d 妒 苫o 对任意v h 当且仅当 j z 这里j 冈妒 一1 为预解算子 p 0 y b 撒 为恒等 映射 引理1 2 2 1 4 6 1 设 及 都是极大单调映射印一0 1 2 那么 w 当且仅当对任意的x p 0 有j 0 一j 了o 命题1 2 1 若z 关于 的第一个变量是单调的 则对所有的x h t 关 于映射 虮 n w 口 一x 的第一个变量是强单调的 w e t u a 0 为 一常数 证明对任意u a h 曰 w 2 曰 由丁关于 的第一个变量的单调 性知 n w 1 一 w 一 w 一 w 一 a 0 一m 1 1 2 i a 悼 一 4 2 因而t 关 t n 的第一个变量是强单调的 1 3 集值变分不等式问题的数学模型 西安电子科技火学硕士论文 集值变分不等式及其推广 设日为一实的h i l b e r t 空间 r 是一个n 维欧式空间 日上的内积与范数分别 定义为 与 2 和c 日 分别表示h 的所以子集构成的集簇和所有非空有界子 集构成的集簇 k 为h 上的闭凸集 为恒等映射 给定单值映射占 h h h 非线性映射m e x e c 日x 月一h 集值映射丁 y h c 饵 爿 b c d e h c 片 均为集值映射 w h h 一2 为集值非线性映射 c h p 0 为一固定常数 下面给出集值变分不等式以及变分包含问题的 相关模型 求 h w r y 矿0 使得对任意g v 日 有 j v w y 9 0 一9 0 妒 9 0 一妒 9 0 芑0 1 1 我们称此模型为广义混合非线性集值变分不等式问题 关于此模型我们在第 三章中进行了详细的研究 将此模型进行稍微的简化 我们则可以得到广义单调 集值混合变分不等式问题 求 e h w e i u y e v u 使得 对所有的v h 有 n w j l v 一占 妒 v 一妒值以 0 1 2 在第二章中我们详细研究了这一模型 给出了其迭代算法以及收敛性分析 这 两类问题可衍生出许多已有的 混合 变分不等式问题 本节我们只列举一部分 i 令m u 一 一g u 显然 e h 为 1 2 的解 当且仅当对任意的y e h 有 n w y i y h 舻 y r e u 一妒 r e u 苫0 1 3 这里我们用到一个变形y m v m u 这一问题经常应用来解决平衡问题 关于其 它应用可以参看n o o r 和o e t t l i 的文献 4 7 i i 若g i 为单位映射 则问题 1 2 等价于求 h w e l u y v u 使得 对于任意的v e h 有 n w y v 一 垆 一妒 z 0 1 4 n 0 0r 9 4 8 1 曾运用辅助原理技巧和预解方程技巧对此进行过研究 第一章绪论 1 1 1 若ts v n 0 x a x 则问题 i 2 转化为求 e h 使得 0 g v 一g 以 妒 g v 一尹 g 0 对任意的g v h 1 5 1 5 型的变分不等式称为 般混合变分不等式或者是第二类一般变分不等 式 n o o r 2 1 通过利用预解算子技巧建立了此变分不等式与不动点问题 预解方程 之间的等价关系 给出了一些非常著名的迭代算法 理论与应用数学中的许多问 题都可以归结为这一模型 若t y u x x 一爿 z g 为恒等映射 则问题 1 2 等价于下述问题 求 h 使得 0 v u 妒 v 一妒 20 对任意的v h 1 6 此问题称为单调混合变分不等式 n o o r t l 4 曾经对此进行过研究 z h a n g x i a n 4 9 通 过运用预解方程技巧给出了此问题的一些比较新的算法 如 多步迭代算法等 v 若妒为h 中的闭凸集彤的指示函数 即 州叽 鬻 i o仕眦u 则问题 1 5 等价于求 e h g k 使得 爿 占 v 一9 0 0 对任意的g p e k 1 8 这一模型称作一般变分不等式 n o o r 5 0 最早在1 9 8 8 年就对此进行过研究 而且 许多奇序 非对称问题 无边界障碍问题 平衡问题等都可以用一般变分不等式 来加以研究 若k 一 e h v o 对任意v k 为凸锥k 在h 中的极 对偶 锥 则问题 1 8 等价于 求u 日 使得 g k 爿 k 0 使得 一 占 z g z u s 扫l 一 i i l l z u 1 注2 1 1 若映射g 关于常数0 0 是l i p s c h i t z 连续的 则g 关于映射2 是 0 一l i p s c h i t z 连续的 下面回顾一下n o o r l 中的算法及定理 算法2 1 1 对于给定的 e 曰啊 y o v u o 由以下迭代格式计算 扛 l k 和饥 w e t u m w n l 忙h r u r y y i l y y 忙n v u v u 1 一a 十z j 一p n w y u 一g u n 0 1 2 引理2 1 1 令集值映射丁关于映射 的第一个变量是强单调的 常数取 为a 且 关于第一个变量为卢一l i p s c h i t z 连续 关于第二个变量叩一l p s c h i t z 笙三童 墨壅笪塑鱼銮坌至箜茎塑二鲞堑墨鎏一 旦 连续 令g h h 关于常数盯 0 是强单调的 关于常数6 0 是l i p s c h i t z 连 续 集值映射丁 v h c f f 分别为5 t l i p s c h i t z 连续函数 若 p 一嚣挚1 c 4 c t 1 k r l t 2 k f l z s 2 r 1 2 t 2 2 k 卢 s 一叩2 t 2 a 1 一啪 4 k f 1 2 s 2 r 2 t2 2 k p 叫c 1 k k 2 酊i 孑 则存在 y e h 满足广义集值混合变分不等式 2 1 且由算法2 1 1 产生的 序列缸 l 如 y 在h 中分别强收敛到 w y 2 2 算法 由引理2 1 i 算法2 1 1 以及命题1 2 1 知 1 问题 求 e h w e t u y y 使得对所有的v 日有 w v g 十妒 v 一妒 占 z0 2 2 是一个强单调型变分不等式 记为w g 妒 2 若引理2 1 1 中的条件满足 o j v 1 n g 伊 可以通过算法2 1 1 求解 把这个解记为 z 工 z z 0 下面我们建立广义集值混合变分不等式 2 1 和不动点问题的等价关系 引理2 2 1 令n v t g 如引理2 1 1 所述 若y a 盯 a y 町t 6 加 1 2 盯 6 2 则以下叙述等价 1 m w 是变分不等式 2 1 的一个解 n e e h w r y e v u 2 是映射z 1 的一个不动点 即 z w 一z 2 u y z 0 证明 1 一 2 令h 为变分不等式 2 1 的一个解 则 w y 占 z 一g m 妒臼 z 一q o g u 0 2 3 这里w t u y le v u 耍窒皇兰壁垫奎兰婴圭笙奎 生堕奎坌至竺茎墨基笙 一一 注2 2 1 由以上算法我们可以得到以下结论 1 变分不等式的子问题可以统一用算法2 1 1 求解 2 算法2 2 1 的复杂度取决于它的子问题 3 我们可以运用其他算法来解予问题 这样可以形成许多新的算法 2 3 收敛性分析 在给出收敛定理之前 我们首先需要证明以f 两个弓l 理 引理2 3 14 u t v g 如引理2 1 1 所述 若占 关于映射z l 是口一l i p s c h i t z 连续的 则对任意x y e h 不等式眩c y 一z 蚓l h t l y 一硎成立 这里 a o 2 a c t 6 s f l r l t 证明由映射z 的定义 我们有 w y z 0 一工 g z y g z o 妒 g z 一v g z 苫o 这里w 丁 z 0 y y z o 2 9 w y 口 z y 一y g z 工 一占 屯 y 妒 g z z 一妒 占 z y 2 o 这里w e t z y y e v z y 2 1 0 结合 2 9 和 2 1 0 并由映射g 的强单调性知 w y 一n w y g z y 一g z o a y z g z y 一g z 0 z a y x g z y 一占 z a 盯 y 一z 0 8 2 2 1 1 因为v t 为m l i p s c h i t z 连续函数 所以 i i u y 一n w y 忙i i w y 一n w y l l 肌w y 一n w y e l l z 0 一z y 卜硼z x 一z y s f l 班 恢0 一z y 2 1 2 从而由 2 1 1 2 1 2 和假设g 关于映射z g o l i p s c h i t z 连续性可知 第二章广义集值混合变分不等式的一类新算法 1 5 6 s 卢 叩f l z x z 1 y 1 1 2 a o ll y x l l l l z y z 1 z i la o l l z y z 0 2 即 l p y 一z z j s 五7 j 孑a i i o 丽l j y 一工1 1 引理2 3 2 令t v g n 如引理2 3 1 所述 则映射z z 和7 3 连续 1 i e n 由引理2 3 1 知 恢 y 一z 1 0 忙h l l y z 即z 1 是l i p s c h i t z 连续的 从而知z 是连续函数 义凼为 l f z y 一z 2 f is h t z y r z ss 恢 y z 所以z 连续 同理可以证明乃 连续 定理2 3 1 令t v g n 如引理2 3 1 所述 若参数满足ot 芦 y a 仃 a 且 卜筹刮c 巫幽掣筹掣塑 1 一 叼f i i j j j i j i 丽 p 叩fc 1 一k hc 1 k 2 丘 j i 丽 譬 乏 二 i a i o i 丽 y 甚叩f 6 工二 三五丽 贝u 存在 日 w r y s v 满 足广义混合集值变分不等式 2 1 且由此算法产生的序列0 l k 和 y 分别强 收敛到h 中的 w 和y 证明由算法2 2 1 及引理2 3 1 可得 忆 一 1 z l 一z 忙 一 因为 c l 所以z 是一个压缩 映射 由压缩映像原理知 存在 日 使得z 1 u u 取w 丁 y v u 则 以 w y 是玎 g o o 的一个解 即1 4 tz 2 丁0 y 毛0 y 由引理 2 3 1 知 一 卜慨0 z o 忙h l t u 一 忙慨 4 1 2 1 3 这说明舡 一 肛是一个递减数列 且0 是它的一个下界 所以2 i m l 一 存在 令 j 觋她 一 0 一九 则由 2 1 3 知a 0 即缸一 在h 中强收敛到 一因为 1 6 西安电子科技大学硕士论文 集值变分不等式及其推广 忱 一y ijs h v u v u s t l l u 一 所以 y 在h 中强收敛到 同理我 们可以证明 在h 中强收敛到w 证毕 注2 3 1 定理2 3 1 改进了n o o r 1 4 t h 4 1 1 及n o o r l 9 d 8 j 5 崩 中的许多相关结论 另 外本文的证明方法与n o o r 9 1 4 5 5 5 6 以及h e 5 2 中的证明方法有着本质的不同 而且 我们考虑的模型比它们广泛的多 因而应用面更广 若ga 为恒等算子 则由定理2 3 1 可知 推论2 3 1 令 圪r 如引理2 1 1 所述 若y a o p 2 蒜 t i t t 2 p 彬 1 o 为常数 证明一若u e h 为 3 1 的解 则对任意的p o 有 p n w y l g v 一占 p 伊 占p 一p 妒b 0 0 从而有 g 一 g 一j 甜 r w y g v 一9 0 p 妒 g v 一p 妒 9 0 0 故由引理1 2 1 知 g tj b 一p w y j 一因为9 0 9 0 一p n w y j 反推以上过程即得证 证毕 1 8西安电子科技大学硕士论文 集值变分不等式及其推广 若g 逆 则 3 2 口 改写为 g o j k y 一州 w y j g y j b w 一 2 w y j 3 3 g w l g v 一 口 w y j 3 4 g p j k 0 一卢 w t j 3 5 定义ru 1 为残向量 r u g u 一j g y 一p n w y y 3 6 由引理3 1 1 知 e h 为广义混合非线性变分不等式 3 1 的解 当且仅当它是 方程 3 6 的一个零点 即r u 0 对于常数y e o 2 此式可以写为 9 0 p g w y g u 十p g w y 一r n u 由此我们可以给出 3 1 的下述迭代算法 算法3 1 1 对于给定的 y e o 2 为参数 由以下迭代格式计算 9 0 g 十p 二 y 一p 二 y r r u lz 0 1 2 3 7 当p s p 时 我们得到以下算法 算法3 1 2 对于给定的 h 由以下迭代格式计算u 9 0 一g u p h y 一p y 一皿 h l 0 1 2 3 8 若妒为h 中的闭凸集k 上的指示函数 则预解算子 厂 一最为h 到k 上的投 影算子 因此关系式 3 6 可写为r u g u 一只 g y 一p v w y 则算法 3 1 2 变为 算法3 1 3 对于一个给定的 h g u k 由以下迭代格式计算 g u g u p y 一p 峨 y 一皿 u 1 l 一0 1 2 注 r 时 算法3 1 2 即n o o r l 5 7 l 中的算法3 3 第三章广义混合非线性集值变分不等式的预解分裂算法和多步迭代算法1 9 3 2 收敛性分析 引理3 2 1 令盯 h 为 3 1 的一个解 当z y 关于n 日 h 日的第一 二个变量均为g 一单调算子时 对任意 有 占 一g 每 p w y 一 歹 r 0 乏l l r u l l 2 证明令盯 h 为 3 1 的解 则存在两 r 何 歹 y 何 使得对任意的 g v 1 h 有 面 y g y 一g 厅 妒 g v 一妒 g 订 之0 在上式中取g v i k y 一 w y 则有 p 万 罗 g y 一卢 w y 一g 百 p c p j g y 一p n w y y 一p 6 p g 口 乏0 在引理1 2 1 中取z 9 0 一p g w y u 一 k o 一p n w y y y v 占何 得 g 一p n w 一j g 一p n w y j g y p n w y 一占 盯 p 妒 占 一p c p j p g y 一p n w y y y 土0 两式相加可得 g 一p w y j g y 一卢 y 州 面 刃 j v g y 一p v y y y 一占 厅 0 由r u 1 的定义 上式可化为 似 一p o v w y 一 面 歹 g 以 一g r u 2 0 由映射t v 关于 的g 一单调性知 g 一g 订 p w n w 歹 r z p n w 一n w 歹 占 一 i l r u 1 1 2 一p n w 一n w g 一g 厅 p 雨 一 茚 歹 9 0 一g 订 i 陋 0 2 2 0 西安电子科技大学硕士论文 集值变分不等式及其推广 i r i i 2 所以 9 0 一g f i p m y 一 万 罗 x r 0 芑l 陋0 2 引理3 2 2 f f e h 为 3 1 的解 u 为由算法3 1 1 得到的近似解 则以下不 等式成立 i i g u 一g 仁 p n w y 一n w 歹 2 s l i g u 一g 何 以 一 歹 2 一r 2 一r l l r t 1 2 证明设订 日为 3 1 的解 因为 是由算法3 1 1 得到的近似解 则由 引理3 2 i 知 l l g 一g 盯 p j v 二 y 1 一 万 y 1 1 2 一l l g 一g 订 p w y 一 万 歹 一r r u 1 1 2 4 9 一g 万 p h y 一n w y 1 1 2 2 r l 陋 u 2 r2 i i r u 1 1 2 i i g u 一g 厅 p y 一n w 歹 2 一r 2 一r t l r u 1 1 2 定理证明完毕 定理3 2 1 令g h h 可逆 hx h h 分别为关于第一 二个变 量的6 r 一l i p s c h i t z 连续函数 集值映射t v h c h 分别为关于常数 卢 口 0 的g l i p s c h i t z 连续函数 关于n 的第一 二个变量为g 一单调算子 若 参数满足冉 芒艄 2 c o 则由算法 上 产生的近似解 一收敛到 3 1 的解 证明设盯为 3 1 的解 张j r f f 0 所以由算法3 1 1 知 恬 m 一g 盯1 1 2 i i g u n p y 一p n w y 一皿 一g 每 2 i i g u 一占 盯 p n w y 一p n w y 1 1 2 y2 i i r u 1 2 篓三里 墨塑鱼i 垡堡叁堕壅坌至筻塞箜塑堡坌型簦鲨塑童望垄垡簦鲨 型 一2 y 9 0 一g 缸 以 w 一p 一 歹l 尺 2 y p w y 一 万 罗l r 0 令a 恬0 一g 伍 十以 r y 一以 w 2 b 2 y p h o y 一 面 歹 r 0 a y 2 l i r 2 2 y i i r u 1 1 2 b 由引理3 2 1 a 恬0 一g 扛扩 p l l n w y n w y 一胪 2 p 括0 一g 缸l y n w y s 恬0 一g 每 2 j d 0 m y 一 万 歹 j 2 i i g 万 歹 一 y 2 j 2 p k y 一 一 罗x 罗 一 y 2 p 9 0 一g x y 一 吧 y 由算法3 1 1 知 r r u 9 0 一g u p 州 虬 y 一p y 故 b 2 p r y 一j 歹 g 一g 每 2 p n w y 一 歹 g 何 一9 0 2 p 二 y 一 p 歹l h y 一 面 罗 2 p 三 m y 一 万 办 矾罗 一 y 由n 关于第一 二个变量的连续性以及丁 v 的g l i p s c h i t z 连续性知 j i n w y 一 面 歹 is i i 2 v w y 一 y i i i i n w 罗 一 一 罗 s 叩i i y 一y l l 6 l l w 一霄0s a 叩 卢6 帖 一g 缸孙 同理可得 w y 一 谛 y 量缸t 7 鼬帖0 一g 拓l l 所以 i g u 一g 盯1 1 2s i 2 p k 叩 芦6 p 五b 叩 芦6 2 j 9 0 一g 每 2 一 p 二 a 野 卢6 2 2 p a t 卢6 k 一g 盯1 1 2 y 2 i i r u 1 2 2 r l i r c u 2 西安电子科技大学硕士论文 集值变分不等式及其推广 即l l g 一g 扛 2s 删 2 i l g 一占扫 1 2 1 p a 7 卢d 一2 r 2 一y l i r u 2 s s n 揣 2 i i 占 一g 每 2 一r 2 一r 壤斑 1 p k 删 2 忡 矿 由已知彝 兰嬲 2 其中g h 一日为单值映射 a b c d e 一c 日 为集值映射 n m h h h 为非线性映射 w 日 日一2 为集值非线性映射 c 旧 通过恰当的选取算子和空间 一系列已知的变分不等式和变分包含问题 1 3 1 4 1 5 4 都可作为我们所研究模型的一个特例 在此我们就不一 列举 4 2 顸解算子算法及收敛性分析 引理4 2 1 令口 0 为一个正的参数 则以下两个命题等价 第四章完全广义集值强非线性拟变分包含 第四章完全广义集值强非线性拟变分包含 本章我们详细研究了完全广义集值强非线性拟变分包含问题 通过利用极大 单调映射的预解算子技巧建立此变分包含问题与不动点问题 预解方程问题之间 的等价关系 给出了一些比较新的具有概括性的迭代算法及收敛性证明 并且我 们还给出了一个比较有效的三步迭代算法 其次 给出了带f u z z y 映象的完全广 义集值强非线性拟变分包含的扰动迭代算法 证明了算法的强收敛性 4 i 理论概述 由于理论上的重要性和实际应用中的广泛性 近年来关于变分包含的研究 已经引起了广泛的兴趣 1 9 9 6 年a d l y 5 4 通过运用极大单调映射的预解算子技 巧研究了一类单值映射的一般变分包含问题 之后h u a n g 5 8 和m a n o o r 3 8 将 这一技巧扩充应用到集值映射的完全广义变分包含和一般紧集值映射的变分 包含问题上 最近s h i me ta l t 5 9 j 将文献 3 8 中的结论推广到无紧约束的广义集值 非线性拟变分包含 z c q i n g l i u 4 3 在 3 8 5 4 5 9 6 0 的基础上研究了一类新的完全 广义非线性拟变分包含问题 将模型进一步推广 基于上述研究 本章我们研 究了一类更加广泛的模型 完全广义集值强非线性拟变分包含 首先给出模 型 求u e h 工e 爿白l y b i z c l v d x e 仁 使得 g u h w e d o m w 而且有 厂 n y 一m 0 v w g u h w u 4 1 其中g h 日为单值映射 a b c d e 日一c h 为集值映射 m 日 一日 为非线性映射 w h h 一2 为集值非线性映射 c h 通过恰当的选取算子和空间 一系列已知的变分不等式和变分包含问题 3 14 15 4 都可作为我们所研究模型的一个特例 在此我们就不一一列举 4 2 预解算子算法及收敛性分析 引理4 2 1 令p 0 为一个正的参数 则以下两个命题等价 2 4 西安电子科技大学硕士论文 集值变分不等式及其推广 a 变分包含 4 1 有解u e h z 爿屿y 且屿z c k v d w 皿而且 g u h w d o m w m b 存在 h x e a u y 口 z c v e d u w 乳满足 尝h g u 王w 岁 j g u h w i z v x y p m z v f 扩 证明若条件 a 成立 即 h 工 爿屿y b 屿2 c k p d 地w 肋为 4 1 的 解 且g u h w e d o m w 则我们显然可知 0 t 一m z v w g u h w g u h w j a 工 y p m z v 舟r e x p h 7 g 一h w 9 g u h w j 占 一h w p n x p m z v f 矿 一g u h w i g 一h w p n x y p m z v 舟r 所以等价性成立 假设4 2 1 设存在常数g o 使得对任意的葺j z 固有 l 眇斗z j z 1 d x y 1 1 根据引理4 2 1 的等价性我们建立以下算法 算法4 2 1 对于给定的 o 日 e a u o y oe b u o z o c u o v o 上m o w c e e u o p o 为一常数 由以下迭代格式计算岳 k x l l 扣 k 玎 o l 一 一g u h w j 4 g 一 1 w 二一p n x y p m z i n f 旷 4 2 x i k 一工 l ls 1 1 珂 一 h a u a u y b u l l y 一y n l i ls 1 1 n 1 h 8 b 毛e c u 恢一屯 忙 1 1 n h c u c u 一 4 3 k d u 忙 一1 n 18 s 1 1 n h d u d u 1 w 勘 1 1 w w n 18 s 1 1 1 h e u e u 1 算法4 2 2 对于给定的u oe h x o 爿 o y o b o c h o v o d o w o e o 由以下迭代格式计算缸 仁 y l 扛 1 0 饥 n 0 第四章完全广义集值强非线性拟变分包含 g u 1 h w j 孑 g u 一 一p n x y p m z v 这里仁 x l