关注高等数学中的形式和意义.pdf

第 2 6卷 第 9期 2 0 1 0年 9月 贵州师范学院学报 J o u rna l o f Gu i z h o u No r ma l C o l l e g e Vo 1 2 6 No 9 S e p 2 0 1 0 关注高等数学 中的形式和意义 曹荣荣 青岛大学数学科学学院 山东 青岛 2 6 6 0 7 1 摘要 数学形式可以看作是表达个体头脑已有数学意义的工具 更为重要的是能用形式来建构数学意义 这是数学家基本的数学活动 也是数学思想产生的重要源泉 高等数学大都是从 已知的性质建构思维对象 正是这种建构给学生的学习造成了很大的困难 针对数学系大三学生进行了问卷 结果表明学生总是倾向于 单独地考虑意义或是单纯地关注形式 而没有真正把数学意义和形式结合起来 也就是很 少同时关注到句法 和语 义知识 关键词 形式 意义 高等数学 过渡 A P O S理论 中图分类号 0 1 3 文献标 识码 A 文章 编号 1 6 7 4 7 7 9 8 2 0 1 0 0 9 0 0 1 3 0 4 On t h e m e a n i ng a n d f o r m o f a dv a nc e d ma t h e ma t i c s CAO Ro n g r o n g C o ll e g e o f Ma t h e m a t i c s Q i n g d a o U n i v e r s i t y Q i n g d a o S h a n d o n g 2 6 6 0 7 1 C h i n a Ab s t r a c t T h e f o r m o f a d v a n c e d ma the ma t i c s c a n b e r e g a r d e d a s a t o o l for e x p r e s s i n g the me a nin g tha t e x i s t s i n a n i n d i v i d u a l mi n d a n d u s i n g the form t o c o n s t r u c t the me an i n g i s n o t o n l y a n i mp o r t a n t a c t i v i t y f o r ma t h e ma ti c i an s b u t a l s o a s o u r c e o f m a the m a t i c a l i d e a s A d v a n c e d ma the m a ti c s i s c h a r a c t e r i z e d b y c o n s t ruc t i n g o b j e c t s f r o m p r o p e r t i e s w h i c h i s v e r y d i ffi c u l t for s t u d e n t s Th e q u e s ti o n n a i r e s h o ws tha t the s t u d e n t s a r e i n t e n d e d t o U S e the me a nin g o r for m s e p ara t e l y the y s e l d o m c o m b i n e t h e me a n i n g w i t l l t h e f o r m tha t i s 山e y s e l d o m s h o w c o n c e m for s y n c ti c a n d s e ma n t i c s a s p e c t s s i mu l t a n e o u s l y Ke y wo r d s f o r m me a n i n g a d v a n c e d ma the ma t i e s tr a n s i t i o n AP OS the o r y 0 引 言 在数学发展过程 中 形式化和符 号化是表达 数学思想的重要载体 对数学的发展产生了巨大 的推动作用 形式主义的数学哲学 通过希 尔伯 特 的 几何基础 戴德金的实数理论等渗入数学 课程 使得 公理化思想方法 深入人心 成为数 学哲学的主流 而布尔 巴基学派的结构主义数学 哲学则是形式主义数学哲学的精致化和具体化 它不再停留在数学整体 的公理化认识 而是用公 理化方法处理具体的数学学科 高等数学大都是从已知的性质建构思维对 象 而初等数学却是从已知的对象建构性质 这表 明高等数学思维与初等数学思维的区别 从结构 化的视角看 初等数学中的结构往往是指视角化 的对象 而高等数学 的结构往往指布尔 巴基 形式 化结构 在这两个不 同的数学 领域 中 形式化 的 作用是完全不 同的 正是如此 在 由初等数 学思 维向高等数学思维转变的过程 中 学生面临着认 识论和认知上的诸多障碍 转变中的关键就是要 利用形式去建构意义 尽管利用形式来构造意义 是学生学习数学 最困难 的一个方法 但却是学 习 高等数学唯一途径 一 般说来 意义将 涉及 到个体理解 的诸多方 面 包括物质世界 熟悉的体验 联系 计算和思维 表象等 而形式化则是通过外在手段如符号和图 收稿 日期 2 0 1 0 0 6 2 8 基金项目 青岛大学校级教学研究项 目 基于高水平数学技能的课堂教改研究 J Y 0 9 4 2 作者简介 曹荣荣 1 9 7 5一 女 汉族 讲师 硕士研究生 研究方 向为大学数学教育 一 1 3 表来对数学对象和运算进行表征 从这个意义上 来说 这里的形式和意义类似于 T a l l 提出的概 念定义和概念表象的区别 概念表象是指与所说 的概念直接相联系的各种心理成分的总和 包括 相应的心智图像 对其性质及相关过程的记忆等 与我们所提到的意义相对应 而概念定义则和形 式想对应 同时 与语义学 中的句法和语义 的研 究 2 也有密切联系 句法知识是和符号 尤其 是量词 的使用密切相关的 它对定义数学抽象 概念 建立形式化的论证等都是非常有用的 1 理论背景及相 关研 究 高等数学思维的一个重要特点就是对于概念 定义的和逻辑推理 的突 出强调 也就是说它的直 接表现形式已切断了与感知或运作的直接联系 已经超出了 客体型教学 以客体 为基 础 的数 学 和 运作型教学 以运作为基础的数学 的范 围 T a l l 指出从初等数学思维向高等数学思 维转变包含 由 描述 向 定义 由 确信 到 证 明 的转变 这个转变包括一个 困难 即从概念 可以凭经验直观地建立转变到概念用正规的定义 加以阐述 而其性质则是通过逻辑演绎加以构造 在这一思维转变期间 头脑里将会 同时存在着早 期的经验及其性质 连同不断增长的演绎的知识 就会造成大量的各种各样的认知冲突 关于过渡问题 的研究在文 6 给出了总结概 括性 的描述 涉及到个体视角 社会文化视角和制 度政策视角三个方面 研究是从学生困难 出发 教师则要执行教学行为 从 而提 出过渡观点 个 体视角主要是关注思维模式和知识组织 一方面 从数 学 内容 建 立 学 生 的 困难 特 别 提 到 了从 A P O S理论进行分析和教学设计 另一方面则把 数学家的思维方式和知识组织当作参考来建立学 生的困难 社会文化视角是从数学证明和数学交 流等方面进行分析 涉及数学家团体的实践 如学 生困难体现在不正确的使用符号 不正确的句法 等等 本文中关注数学的形式和意义也表达了这 个意思 文 也对刚入学的大学生的思维方式 数学学习情况进行 了调查研究 提出了在这个过 渡阶段的一些教学建议 文 也提到 了过渡 问 题的其他相关研究 一是数学学习的柏拉图主义 理论和建构主义理论 柏拉 图认 为数学 的对象不 论是初等的还是高等的有其自己的存在 存在于 思维之外的外部世界 数学的学习就是个体把这 1 4 些对象吸收到 自己的大脑的过程 然而 反对柏 拉图的观点的认为数学思想仅存在于个体的大脑 中 可以被分享 是属于社会 的知识 个体可以来 构造这些思想 建构主义认识论认为一个人理解 数学概念 的思维建 构是处在一定 的社会情景 中 的 要受到来 自教师 和同伴学生 的干预 再一个 就是从人类活动到数学概念 数学思想是来 自于 人类 的实 践 然 后 发展 为 更抽 象 的数 学概 念 文 指出个体获得新数 学意义的关键机制是为 他构造直接经验的思维表征 在这个 观点下对较 复杂的数学概念就是要发展较复杂的可表征的人 类体验 M a c L a n e l 就初等数学来 说是 同意 文 叫 的观点 但是对高等数学而言 他认为形式 化才是最重要的机制 2 研 究 目标 为了让学生顺利地从初等数学思维过渡到高 等数学思维 我们期望学生对数学意义和形式有 一 个全面的把握 即要同时关注句法和语义知识 也要特别关注形式构造意义的方法 初等数学的作用就是让学生反思他们的日常 体验 并依此来发展知识 促进对初等数学概念和 程序的理解 但对高等数学来说 除了这些之外 某些概念并不是 日常知识 也不可能由 日常的社 会互动来提供 实践证明许多学生并不能参与到 M a c L a n e 1叫 所说的活动中 个体如何从 日常经验 过渡到复杂数学活动 发展这些能力 的机制是什 么 为了帮助学生发展复杂概念 和程序学习 应 如何提高学生的某些活动呢 实际教学的教学策 略又是什么呢 3方 法和 结 果 为了更好地了解学生对数学形式和意义的理 解 我们针对有关内容进行了问卷调查 调查对象 是数学专业大三学生 数据整理分析表 明 学生 的理解表现出两种突出的类型 3 1 单纯意义 型 数学开始于人类的直接实践 然而许多人就 停止在这个认识而已 思维方式毫无例外地会单 独使用意义 他们在理解一个情景时 是完全按照 个人所想象或记忆的经验 针对辨别命题差别的 题 目即 对每一个正数 a 存在一个正数 b 使得 b a 和 存在一个正数b 使得对每一个正数 a 有 b 0 N E P 1 7 I f I 0 V D N P t 怕l 一 I 0 N P I L l 0 V D N P 凡 1 T t 2 P l n 2 j I 一 I 0 艿 0 I 一 2 I l 一 l 0 6 0 I 一 l I L I 0 j N E P E 7 n 峙f 一 m I 0 j O m n N I 7 一t l 6 If m i f I 0 V 0 0 J 凡 1 一n 2 I j L I 0 0 1 N V 1 2 D f 1 一 2 艿 l 争 l 1 一 2 l 0 与 无关 N P j l 一 I 0 与 无关的 N P 儿 l 一 I 0 I 一 I I 一 J i v 递归的一个 过程 对这些 n中的每一个 学生建立 l 一 l 数并来验证是否小于 这样就建构了一个作为过程的函数 对每一个 n 都有布尔值 正确与错误 这样一个 一 5 一 过程被凝聚为一个对象 这个对象就是依赖于 N值的布尔值 学生在头脑中就构建了一个从 N到卢 钿E 确 错误 的函数 研究数据表 明 引 学生进行这种思维建构是可能 的 学生能 够反思整个过程 对 一致收敛 概念来说 不是 按照 N的顺序进行递归的 而是运用序列 占 N 如果没有这种思维过程构建 那 么来讨论 点收敛 和 一致 收敛 概念 的差别就显得没有 什么意义 其次 教师在学生困难基础上应当开发和设 计基于理论的教学法 让学生形成对数学概念的 真正理解 帮助学生发展 操作内化为过程 的能 图 1 纯形式演绎 参考文献 1 T a l l D V i n n e r S C o n c e p t i m a g e a n d c o n c e p t d e fi n i t i o n i n ma t h e ma t i c s wi th p a r t i c u l a r r e f e r e n c e t o l i mi t s an d c o n t i n u i t y J E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n Ma the ma t i c s 1 9 8 1 1 2 2 1 5 1 1 6 9 2 S e l d e n J S e l d e n A U n p a c k i n g t h e l o g i c o f m a the m a t i c al s t a t e m e n t J E d u c a ti o n al S t u d i e s i n Ma t h e m a t i c s 1 9 9 5 2 9 1 2 3 1 5 1 3 We b e r K A l c o c k L S e ma n ti c a n d s y n t a c ti c p r o o f p r o d u c t i o n s J E d u c a ti o n a l S t u d i e s i n Ma the ma ti c s 2 0 0 4 5 6 2 0 9 2 3 4 4 郑毓信 肖柏荣等著 数学思维与数学方法论 M 成 都 四川教育出版社 2 0 0 1 5 T a l l D A d v anc e d Ma the m a t i c al T h i n k i n g K l u w e r M D o r d r e c h t 1 9 9 1 6 G u e u d e t G I n v e s ti g a t i n g the s e c o n d a r y t e r t i a r y t r a n s i t i o n J E d u c a t i o n a l S t u d i e s i n Ma the mati c s 2 0 0 8 6 7 2 3 7 2 5 4 7 季素月 钱林 大学与中学数学衔接问题的研究 J 数学教育学报 2 0 0 0 9 4 4 5 4 9 8 D u b i n s k y E d M e a n i n g and f o r m a l i s m i n m a th e m a ti c s J I n t e r n a t i o n a l J o u r n al o f C o m p u t e r s f o r Ma the mat i c al 一 1 6 一 力 过程凝聚为对象 的能力 以及最后把 对象 分解为过程 的能力 让学生分析数学 中复杂形 式命题 要在形式的基础上去建构意义 也就是在 运用 操作 过程 对象和图式 中学会使用形式 命题的句法知识 按照高等数学思维发展水平框架 单纯意义 型 类的学生仅仅是从概念表象来解决数学任务 也就是 纯直觉演绎 模式 即图 2 而 单纯形式 型 类则属于 纯形式演绎 水平 即图 1 但是这两 种水平和 直觉和形式演绎 水平还有很大差距 重要的是需要在两水平之间进行恰当地过渡 图 2 纯直觉演绎 L e a r n i n g 2 0 0 0 5 2 1 1 2 4 0 9 D a v i s R B Ma h e r C A H o w s t u d e n t s t h i n k the r o l e s o f r e p r e s e n t a ti o n s M I n L D E n g l i s h E d M a the m a ti c al r e a s o n i n g A n al o gi e s M e tap h o r s and i m a g e s Ma h w a h NJ E r l b a r u m 1 9 9 7 1 0 Ma e L a n e S Ma the m a ti c a l m o d e l s A s k e t c hf o r the p h i l o s o p h y o f m a the m a t i c s J A m e r i c a n Ma the m a t i c a l mo n t h l y 1 9 8 1 4 6 2 4 7 2 I 1 B r e i d e n b a e h D D u b i n s k y E H a w k s J N i c