第一章 直角三角形的边角关系.doc

第一章 直角三角形的边角关系1.1 从梯子的倾斜程度谈起学习目标:1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.2.理解正切、正弦、余弦等锐角三角函数的意义,并能够举例说明.3.能够运用tanA,sinA,cosA表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单计算.学习方略:一.关于正切1.在直角三角形中,一个锐角A的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.这里的对边、邻边都是指直角边,通常与一个锐角相邻的边有两条,一条是斜边,一条是直角边.这里的邻边是直角边,记作tanA,用式子可表示成:tanA= .2.一个锐角正切值的大小与这个锐角的大小有关,在090间角度越大,正切值越大.如果这个角是梯子与地面所成的角,则梯子越陡;如果这个角是梯子与墙所成的角,则梯子越平缓.3.当不知道一个锐角的大小,而又要求这个角的正切值时,通常用这个锐角的对边与邻边的比来刻画,即用正切的定义去求.一个锐角的正切值,与这个锐角的对边与邻边大小无关,只与对边与邻边的比值有关.即当角度一定时,这个角的对边变大,正切值还是不变,因为这个角的邻边也相应变大了;这个角的对边变小,正切值还是不变,因为这个角的邻边相应会变小.反过来,如果一个锐角的对边与邻边的比确定,也就是这个锐角的正切值也就确定了,这个锐角也就是一定的,不变了.二.关于正弦、余弦1.一个锐角A的正弦用sinA表示,即sinA= 一个锐角A的余弦用cosA表示,即cosA= 2.正弦、余弦的学习可以用学习正弦的方法类比来学习.如果A是表示梯子与地面所成的锐角,则锐角A越大,sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小, 梯子越陡.反过来也是对的,梯子越陡,sinA的值越大,cosA的值越小,锐角A越大.当锐角A确定,A的对边与斜边的比随之确定,邻边与斜边的比随之确定;反过来也成立.3.正弦与余弦有关系:sinA=cos(90-A),cosA=sin(90-A).特别在RtABC中, C=90,sinA=cosB,cosA=sinB.sin2A+cos2A=1.这两个关系都可通过正弦、余弦的定义较易地得到证明.三.关于三角函数1.锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数.因为我们可以把A看作自变量,三个比值看作因变量,当A确定时,三个比值分别唯一确定;当A变化时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.2.sinA、cosA、tanA之间有关系:tanA= ,因为 = : = =tanA.四.典型例题:例1:如图,ABC中,高BD、CE交于点H,在不增加其它的字母和线段的情况下,写出所有等于A的正切和正弦的线段比. A解: A位于RtABD、RtACE中, EEHB=DHC=A D tanA= HsinA= B C例2:已知 为锐角,sin = ,求cos 、tan .解:如图,把 放在RtABC中,设 的对边BC=4 ,斜边AB=5 ( 0),则 的邻边AC= =3 B cos = , A tan = C自我测评:1.1(一)一.填空题1.RtABC中,C=90,AC=1,AB=2,则tanA=_2.RtABC中,C=90,BC=3,tanB=3,则AC=_3.等腰三角形的周长为36,一边长为10,则底角的正切值为_4.直角三角形中,一锐角的正切值为 ,周长为24,则斜边长=_二.选择题1.在RtABC中,各边的长度都扩大两倍,那么锐角A的正切值( )A.扩大两倍 B.缩小到一半 C.不变 D.不能确定2.如图,在直角ABC中,CD是AB边上的高,在不增加其它的点和线段的情况下,表示A的正切的线段比有( )种 CA.一种 B.二种 C.三种 D.四种 A D B3.若 、 表示甲、乙两把梯子与地面所成的锐角,且 ,则下列说法正确的是( )A.乙梯子更陡 B.tan tan C.tan tan ,则下列各式中错误的是( )A. B.sin sin C.cos cos D.cos cos 3.已知A为锐角,cosA= ,那么tanA的值等于( )A. B. C. D. 三. 解答题1.如图,RtABC中,C=90,D为AC上一点,CD=3,AD=DB=5,求sinABC和sinA的值. C D A B2.直角三角形的斜边和一直角边的比为5:3,设较大锐角为 ,求sin 、cos 、tan .3.如图,ABC中,AB=AC=3,BC=2,求sinB、sinA的值. A B C拓展探究:1.在RtABC中,C=90,若sinA+cos