狂犬病模型中的行波分析.doc

狂犬病模型中的行波分析本课题得到国家自然科学基金 (项目编号：60771026); 新世纪优秀人才支持计划资助项目(项目编号：NCET050271); 高校博士学科专项科研基金（项目编号：20060110005）的资助。霍罡, 张芬芬, 靳祯中北大学理学院, 山西太原 (030051)E-mail：摘 要：本文建立了一类具有Logistic出生的狂犬病的S-I传染病模型. 在染病者的扩散远大于易感者的情况下, 分析了行波解的存在性条件, 进而给出了最小波速与产生单调和振荡行波解的条件, 并且进行了计算机仿真进一步验证了理论结果.关键词：传染病模型; 反应扩散方程; 边界条件; 行波解.中图分类号：O241.81引言狂犬病是一种人、兽（畜）共患的死亡率极高的传染病, 多由携带狂犬病病毒的犬、狼、猫、鼠等肉食动物咬伤或抓伤而感染。 临床表现为特有的狂躁、恐惧不安、怕风恐水、流涎和咽肌痉挛, 终至发生瘫痪而危及生命。 狂犬病是世界上病死率最高的疾病, 一旦发病, 死亡率几乎为100%。 目前, 全球167个国家中有87个国家有狂犬病报告, 流行区域以亚洲、非洲和拉丁美洲等发展中国家为主, 亚洲有四分之三发生在农村, 病例中绝大多数是儿童和青少年。 印度是世界上狂犬病流行最严重的国家, 每年死亡人数超过2万, 中国仅次于印度, 居世界第二位。我国除青海、西藏外, 全国各省区均有病例报告, 地理分布以长江为界南高北低, 南方的广西、湖南、广东、贵州、江苏、安徽等省近年来持续高发, 北部和西部地区较少, 从1998年开始我国狂犬病疫情呈现持续上升势头。 近年来, 随着养狗和家养宠物数量的增多及缺乏对犬和猫等宠物的严格管理, 加之对狂犬病防治知识的普及不够, 使我国狂犬病发病率已连续5年回升。据卫生部资料统计, 从2003年到目前狂犬病病死率居各类传染病之首。据新华社电据最新统计数字显示, 去年我国狂犬病发病393例。 比前年同期上升37, 死亡318人, 是10年前的两倍多1-5。 面对这一严峻的事实, 为了更好的控制和预防狂犬病, 我们有必要对狂犬病传染病的空间传播过程加以研究。传染病在空间中的动力学过程可以简单的看做是传染病的反应扩散系统在一个空间中的入侵, 而传染病在空间的入侵可用行波来描述。行波是一种在传播过程中不改变其波形的波6一般的反应扩散系统有如下形式: (1)其中是反应物浓度向量, 是非线性作用函数, 是扩散系数矩阵, 是拉普拉斯算子. 以一维为例, 如果上述反应扩散方程的解是一个行波解, 那么该解的形式不随时间变化并且波的传播速度是常数, 用速度来表示.用数学语言表达就是, 如果系统(1)的解有如下形式: (2)那么就是一个行波解, 它朝轴正向传播, 也称右行波;如果朝轴负向传播, 则称左行波, 解的形式为.有时称为波变量. 系统(1)有因此关于和的偏微分方程(1)就变成了关于的常微分方程组. 进而进一步分析关于z的常微分方程组其解的存在性. 早在上世纪90年代年Kallen7-8 、Murray9研究在狐狸之间狂犬病的空间传播时通过研究一个反应扩散系统的动力学性态而有效得控制了在欧洲狐狸之间狂犬病的空间传播, 因此在以后的狂犬病的研究中都是建立反应扩散系统, 进而研究传染病在空间传播的最小波速或在地方病平衡点上存在极限环. 在文献10 Ou &Wu研究了在易感者种群中有年龄结构的影响的情况下理论证明了在空间和时间有时滞的情况下系统存在行波解, 并且估计出来最小入侵波速.2预备知识在Kallen8假设狂犬病毒的传播一般是通过咬易感者；开始空间中易感者占主导地位, 但是如果病毒传入体内, 易感者马上变为染病者；特别地, 染病者失去了方向性, 随机的向各个方向扩散, 本文在文献8的基础上考虑更加实际的情况, 易感者是Logistic出生, 从而研究了新的模型的行波解的存在性条件及最小波速, 我们首先考虑了如下的具有扩散且易感者是Logistic出生的SI模型： (3)其中, 分别表示易感者和染病者的数量, 表示易感者的环境容纳量, 表示出生率, 表示自然死亡率, 表示传染率系数, 表示染病者的扩散系数, 是染病者的因病死亡率, 系数均为正常数.令 为了方便, 去掉系统(3) 可以转化为： (4)系统(4)对应的ODE方程的平衡点有, , , 其中 在非平凡的平衡点中, 没有生物意义, 现在就不再考虑。正平衡点存在的条件是, 即有：. 而当正平衡点存在时处的Jacobian矩阵：.由特征值, 可得, 当正平衡点存在时无病平衡点是一个鞍点。3行波解的存在性分析现在寻找系统(4)存在的行波解, 即在平衡点和之间或和之间存在一条连接两个平衡点的异宿轨线. 在本文中我们通过理论分析和计算机仿真来寻找两个平衡点之间的存在的异宿轨线, 即系统(4)所对应的行波解. 由于和之间的行波解与和之间的行波解存在原理相同, 在本文中只考虑了和之间的行波解的存在性.系统(4)的行波解存在的充要条件: 存在行波解形如, 的解, 满足系统(4), 其中, 波速是正的. 代入系统(4)则系统变为: (5)考虑到其生物意义, 限制行波解, 为非负, 且满足边界条件 (6)其中表示. 将(5)转化为上的一阶ODE方程组： (7)系统(7)在处所对应的Jacobian矩阵为：可得在处所对应的特征值为： , .如果, 那么和是一对具有正实部的复共扼虚根, 则在处存在一个二维的不稳定的子流形, 在这个不稳定流形上的轨线是螺旋的, 且当趋近于的轨线对于某些必定有, 即系统(7)满足边界条件(6)的非负解不存在, 所以系统(4)的行波解不存在.我们下面只需要考虑的情. 实际上, 当时, 系统(7)在附近的一个充分小的邻域内存在从这个邻域内出发的解轨线在满足一定的条件下趋向于.系统(7)在处所对应的Jacobian矩阵为：可得在处所对应的特征多项式为：通过Routh-Hurwitz判据与条件, 可以得到特征方程始终有一个具有正实部的特征根, 两个具有负实部的特征根, 并且在: I ). 时, 有两个负实部的实的特征根；在II). 时, 有两个具有负实部的复特征根. 所以在处有一个2维的稳定流形. 并且在附近的一个充分小的邻域内存在从这个邻域内出发的解轨线在满足一定的条件下, 当时, 趋向于. 说明对应于系统(7)满足边界条件(6)的非负解存在, 所以系统(4)的行波解存在.定理 1: 对于系统(4)行波解存在的条件是:并且I). 如果时, 有两个负的实特征根, 系统(7)的非负解在稳定流行上单调地渐近趋向于正平衡点, 对应的系统(4)的行波解关于是单调的趋向于正平衡点.II). 如果时, 存在实部为负的复特征根, 系统(7)的非负解在稳定流行上振荡地渐近趋向于正平衡点, 对应的系统(4)的行波解关于是振荡的趋向于正平衡点.图1：易感者的行波解在空间x上单调趋向于与不同时刻t易感者的行波解.Fig1:The travelling wave solutions of susceptible approachmontonely for large x and The travelling wave solutions of susceptible with different times t.图2：染病者的行波解在空间x单调趋向于与不同时刻t染病者的行波解.Fig2:The travelling wave solutions of infectious approachmontonely for large x and The travelling wave solutions of infectious with different times t.图3：易感者的行波解在空间x指数振荡趋向于与不同时刻t易感者的行波解.Fig3:The travelling wave solutions of susceptible approachexponential damped oscillately for large x and The travelling wave solutions of susceptible with different times t.图4：染病者的行波解在空间x指数振荡趋向于与不同时刻t染病者的行波解.Fig4:The travelling wave solutions of infectious approachexponential damped oscillately for large x and The travelling wave solutions of infectious with different times t.我们通过计算机仿真, 取不同的参数, 当波速比最小波速大时, 即时, 分别作出图1-4.说明了系统(4)行波解在所给的条件下是存在的. 图1-2中, , 分别说明了易感者和染病者的单调行波, 即易感者和染病者随着空间的变化, 从平衡点关于单调趋向于稳定的正平衡点. 同时给出了不同时刻的易感者和感染者的单调行波. 其中曲线从右向左分别对应的是时间每经过20个时间单位取值一次直到时的易感者和染病者的单调行波; 图3-4中, , 分别说明了易感者和染病者的振荡行波, 即易感者和染病者随着空间的变化, 从平衡点关于振荡的趋向于稳定的正平衡点. 同时给出了不同时刻的易感者和感染者的单调行波. 其中曲线从右向左分别对应的是时间每经过20个时间单位取值一次直到时的易感者和染病者的振荡的行波; 从而可以得到, 在预防和控制狂犬病中, 只要人们通过各种方式(如：接种、隔离等)控制传染病源的传播速度低于该狂犬病的行波解的最小波速小, 从而可以有效的控制狂犬病的爆发. 参考文献1 汤洪伟, 梁文佳. 狂犬病的预防与控制J, 华南预防医学. 2005, 31(6): 69-71.2 染秀梅, 于潜. 狂犬病病毒和狂犬病J, 生物学通报. 1994, 29(6).3 任仁. 狂犬病防治知识J, 中国健康教育. 2007, 023(001).4 王守良, 张淑莲. 我国狂犬病病原学和病理形态学观察J, 中华实验和临床病毒学杂志.1994, 8(1).5 杨玉兰, 方培. 狂犬病的预防及其影响因素J, 医学动物防制. 2003, 19(10).6 J.D.Murray, Mathematical Biology II Spatial Models and Biomedical ApplicationsM, Springer-Verlag, Berlin, 1990.7 A. Kallen, Thresholds and travelling waves in an epidemic model for rabies, Nonlinear Anal. 1984, 8: 651-856.8 A. Kallen, P. Arcuri and J. D. Murray, A simple model for the spatial spread and control of rabies, J. Theor. Biol. 1985, 116: 377-393.9 J. D. Murray, E. A. Stanley and D. L. Brown, On the spatial spread of rabies among foxes, Proc. R. Soc. Lond. 1986, B229(1255): 111-150.10 C. Ou and J. Wu, Spatial spread of rabies revisited: influence of age-dependent diffusion on nonlinear dynamics, SIAM J. Appl. Math. 2006, 67: 138-164.Travelling wave analysis of the Rabies modelGang Huo, Fen-Fen Zhang, Zhen Jin College of Science, North University of China, Taiyuan , PRC, (030051) Abstract：This paper we study a type of SI epidemic model of Rabies with birth rate of Logistic. When the spread of infection is far greater than that of susceptible, we analyze the existence of trav