第四章 函数的插值与拟合法.ppt

第四章函数的插值与拟合法 4 1引言4 2插值多项式的构造4 3分段低次插值4 4最小二乘法 定义4 1设y f x 在区间 a b 上连续 在 a b 内n 1个互不相同的点上取值 求一个性态较好的简单函数P x 使得 则称P x 为f x 的插值函数 a b 插值区间 插值节 结 点 f x 被插函数 4 1 插值条件 求插值函数P x 的方法 插值法 一 插值函数 4 1引言 插值 1 当P x 为次数不超过n次的代数多项式时 相应的插值法称为多项式插值 2 当P x 为三角多项式时 相应的插值法称为三角插值 3 当P x 为分段解析函数时 相应的插值法称为分段插值 其中三角插值主要用于处理周期函数 本章仅介绍最基本的多项式插值 定理4 1在n 1个互异点上满足插值条件 4 1 的次数不超过n次的插值多项式存在且惟一 所以 解存在且惟一 这说明由式 4 2 表示的存在且惟一 证毕 证 二 多项式插值的唯一性 4 2插值多项式的构造 一 基本插值多项式 定义下列表函数 的插值多项式叫做以为节点的基本插值多项式 由定义可知 4 2 1拉格朗日插值多项式 4 4 解 n次Lagrange插值基函数 注 1 n 1个节点n 1个基本插值多项式 2 仅与节点有关 与f x 无关 二 Lagrange插值多项式 求下列列表函数的多项式Ln x n次拉格朗日插值多项式 解 线性插值 n 1 抛物插值 n 2 注 1 是的线性组合 2 与节点的排列顺序无关 例 已知列表函数 并计算f 0 5 的计算值 解 三 Lagrange插值多项式的余项 定理4 2 误差估计定理 注 1 余项公式主要用于理论分析 实际使用时 代之以误差估计式 2 插值节点的选取应尽量靠近插值点 以使尽可能小 以减小误差 推论 例4 1给定函数表试分别用线性插值和抛物插值求ln1 46的近似值并估计误差 解 作线性插值得 作抛物插值 4 2 2牛顿均差插值多项式 一 均差 均差表 定义设f x 在 a b 上连续 及自变量 节点一阶均差二阶均差三阶均差 四阶均差五阶均差 例4 3试用列表法对下例表格函数求f 1 3 5 7 列表计算得 所以f 1 3 5 7 1 125 解 二 均差的性质 这性质又称为均差关于自变量对称 三 牛顿均差插值多项式 Nn x 称为牛顿均差插值多项式 证 例1 已知 00 400 4107510 550 578151 116020 650 696151 18600 280030 800 888111 27570 35830 19740 901 026521 38480 43360 2140 03451 051 253861 51560 52600 2310 0340 kxkyk一阶二阶三阶四阶五阶 解 1 2 与0 596最接近的三个节点 例4 4给定表格函数 1 试用二次牛顿均差插值法求f 2 8 的近似值 2 设f x 1 166已知 试用 1 中构造的插值多项式求x的近似值 解 1 选取节点x 2 3 4 4 3分段低次插值 略 4 4最小二乘法 4 4 1最小二乘法的提出 已知立表函数 函数插值问题 现在的问题 对上面立表函数求一近似函数 不要求插值 y P x 满足 1 反映立表函数的一般趋势 2 要求偏离立表函数很小 函数的拟合 插值 拟合 4 4 2数据的多项式最小二乘拟合 已知一组数据 解 这个多项式称为这组数据的最小二乘拟合多项式 它称为法方程组 或正规方程组 例1 数据x1345678910y278910111190试求一曲线 最好地拟合这组数据 解 1 描图 2 建立关于的正规方程组 解得 例4 5试对以下数据进行多项式拟合 解 注 例4 6用最小二乘法求形如y ax bx2的多项式 使与下列数据拟合 得数保留三位小数 解 例4 7给定数据试求形如y a bx2的拟合多项式 得数保留三位小数 解 4 4