2.质点动力学.ppt

质点动力学 共计 10学时 牛顿运动定律牛顿第二定律的应用动能定理势能机械能守恒定律动量定理动量守恒定律 主要内容 2 1牛顿运动定律 牛顿于1687年出版了伟大的科学著作 自然哲学的数学原理 提出了三大运动定律 牛顿运动定律 一 牛顿运动三大定律 第一定律 任何物体都保持其静止或匀速运动状态 直到它受到其他物体的作用力而被迫使改变这种状态 时 恒矢 包括零 即 力是物体运动状态变化的原因 意义 物体具有惯性 惯性定律 牛顿对 运动 的定义为物体的质量与速度的乘积 即动量 第二定律 物体受到外力作用时 它所获得的加速度的大小与外力的大小成正比 并与物体的质量成反比 加速度的方向与外力的方向相同 或者表述为 运动的改变和所加的动力成正比 且发生在力的作用线方向上 数学表达式为 表示运动状态的变化与力的瞬时关系 若m为常量时有 意义 质量是物体惯性的量度 惯性质量 有 力的作用是相互的 同时存在 同时消失 第三定律 每一个作用总有一个相等的反作用和它相对抗 或者说两物体彼此之间的相互作用永远相等 并且各自指向其对方 即 意义 二 关于牛顿定律的几点说明 力的概念 力是使物体运动状态发生改变的作用 获得加速度 这种作用是其它物体施给它的 实验表明 几个力同时作用等于一个力的作用 这个力与这几个力的矢量和相等 力的叠加原理 其中 只是数值上等于合外力 它本身不是力 它们同时存在 同时改变 同时消失 牛顿第二定律只适用于质点或可看作质点的物体 惯性定律成立的参照系为惯性参照系 牛顿定律只适用于惯性系 是各外力分别作用时所产生的加速度的矢量和 三 万有引力定律 万有引力常量 两质点连线上的单位矢量 内容 在相距为r 质量分别为m1和m2的两个质点间存在着万有引力 其方向沿着它们的连线 其大小与它们质量的乘积成正比 与它们之间的距离r的平方成反比 数学表达式 负号表示施力的方向始终与单位矢量的方向相反 四 基本力和常见力 自然界只存在四种基本的力 技术中常见力 1 重力 大小 方向 竖直向下 2 弹力 胡克定律 其中 1 负号表示弹力的方向总是与位移的方向相反 2 x表示弹簧的形变量 即x l l03 k表示弹簧的劲度系数 例2 1 皮带运输机运送质量为m的砖块 砖块与皮带的静摩擦系数为 皮带倾角为 求皮带向上匀速输送砖块时 它对砖块的静摩擦力多大 x方向 y方向 2 2牛顿定律应用举例 常见的力学中的三类问题 1 常力作用下的连接体问题 特点 多个物体用各种方式连接在一起 解决方案 利用隔离物体法解题 2 变力作用下的连接体问题 特点 多个物体连接在一起 在变力作用下运动解决方案 先隔离物体再利用高等数学的微积分解题 3 变力作用下的单体问题 特点 单个物体在变力作用下运动解决方案 利用高等数学的微积分解题 一 连接体问题 例2 2 在夹角 30 的斜面上有一质量为m1 4kg的物体A 用一跨过定滑轮的细绳与质量为m2 5kg的物体B相连 如图所示 已知物体A与斜面之间的滑动摩擦系数 0 6 不计滑轮的质量和轮轴的摩擦力 试问 物体将如何运动 绳中的张力是多少 解 1 选取地面为参考系 A B为研究对象 2 建立坐标系 隔离物体受力分析如图 由牛顿第二定律 得 对A 对B 由牛顿第三定律 得 联立以上各式 得 所以 物体A将沿斜面向上运动 B竖直向下运动 例题2 3 如图已知 当时系统保持静止 求t时刻m1 或者m2 的加速度和速度 斜面光滑且静止不动 解 1 选取地面为参考系 选取m1和m2为研究对象 2 建立坐标系 隔离物体受力分析如图 由牛顿第二定律 列方程得 由加速度的定义可得 所以 二 变力作用下的单体问题 解析法 牛顿第二定律的数学表达式有 根据加速度的定义有 则牛顿第二定律可以改写成 在直角坐标系中可以改写成 例2 4 质量为m的物体 最初静止在x0处 在力作用下沿着x轴作直线运动 试证明它在x处的速度为 证明 结合题意 由牛顿第二定律 得 即 将 1 式整理 得 对 2 式两边同时 得 即 命题得证 例2 5 质量为m的小球最初位于A点 然后沿半径为R的光滑圆弧面下滑 求小球在任一位置时的速度和对圆弧面的作用力 解 1 选取地面为参考系 小球为研究对象 2 建立自然坐标系 受力分析如图 由牛顿第二定律 得 法线方向 切线方向 由于弧长S等于半径R与转过的弧度 的乘积 即 所以 式可变形为 将 式两边同时积分 得 所以 代入 式 得 2 3动能定理 我们知道任何过程都是在时间和空间内进行的 因此 研究任何运动过程的都离不开时间和空间 力的空间累积作用 就是牛顿运动定律的积分形式之一 动能定理 首先我们先来了解一些新的概念 一 功的概念 当有一个大小和方向都不变的恒力作用在质点上时 质点作直线运动 位移为 且力与的夹角为 那么 我们就把力与位移的标积称为力对质点在该段位移上所作的功 用A表示 即 1 功的定义 我们把两个矢量的上述乘积叫做矢量的标积 或称为点积 标积的意思是乘积为一标量 只有大小没有方向 说明 1 功虽然是一个标量 但是它有正负号 正负号代表的是力对物体做的是正功和负功 而并不代表功具有方向 2 功的国际单位是N m 叫做J 焦耳 做正功 做负功 不做功 2 元功的定义 若物体在力的作用下发生一无限小的位移 称为元位移 时 此时力在位移方向的投影和此位移大小的乘积 称为元功 用dA表示 根据功的定义式 则元功的表达式为 其中 表示力与位移之间的夹角 3 变力的功 当质点在变力作用下沿曲线运动时 可将质点所经过的全部路程分成若干个微小位移 在每一个微小位移内 质点所受的力可近似看成是恒力 则力对质点所做的功为各个位移上的元功之和 即 或者 可表示为 变力做功的定义式 求证 合外力所作的总功等于各个分力所作的功之和 证明 二 功率的概念 1 平均功率 如果完成的功所需要的时间为 那么在时间内的平均功率为和的比值 即 当时 平均功率的极限值称为t时刻的瞬时功率 即 或表示为 力在单位时间内所作的功叫做功率 用P表示 功率也是标量 即 瞬时功率等于力在速度方向的分量和速度大小的乘积 功率用来表示力做功的快慢 在国际单位中功率的单位是J S 叫做W 瓦 三 动能定理 1 恒力情况 2 变力情况 当合外力为变力时 质点作曲线运动 由变力做功的定义式 故 合外力对质点所做的功数值上等于质点动能的增量 这一结论称为动能定理 上式可以改写为 动能定理表征了功与能之间的关系 3 能量 能量的概念最初是由19世纪初英国物理学家杨 T Young 引入的 它是一个用来反映各种运动形式的共性的物理量 可作为各种运动形式的一般量度 能量具有多种多样的的形式 但它们之间可以相互转化 能量与物体所处的状态有关 因此它是一个状态 位移和速度 函数 对应于物体的某一状态 有且只有一个能量值 动能定理的微分形式为 说明 1 动能是物体运动状态的单值函数 而功是物体能量变化的一种量度 动能是状态量 态函数 功是过程量 2 动能定理不是经典力学新的 独立的定律 仅是定义了功和动能之后 直接由牛顿第二定律导出了它们之间的关系 功与动能虽然都与坐标系的选择有关 但只要是惯性系 动能定理均成立 3 在某些情况下 动能定理比第二定律解决问题方便 它不必考虑物体复杂的运动过程 例2 6 如图 一长度为l 密度为 的细棒从下端紧贴水面的位置以零初速落入密度为 0 0l 的水池中 求细棒下端接触到水池底时的速度 解 1 以地面作为参考系 以细棒作为研究对象 进行受力分析 2 取竖直向下的方向作为x轴的正方向 建立直角坐标系如图 假设细棒的底面积为s 由受力分析可知 任意时刻细棒所受的合外力为 由功的定义可知 由动能定理得 例题2 7 如图所示 一个质量为m的小球被长为l 0 50m的细线悬挂起来 今将小球达到水平位置伸直后由静止放手 求小球摆角为 和摆到最低点时的速度 解 由分析可知 小球在下摆过程中只受到绳的拉力和重力的作用 拉力始终与位移方向垂直 而重力在位移方向上的分量为变力 故由变力做功的公式 得 由动能定理 得 小球摆到最低点时 代入上式得 2 4势能机械能守恒定律 一 保守力与非保守力 保守力的概念 功的大小只与物体的始末位置有关 而与所经历的路径无关 这类力叫做保守力 保守力有 重力 弹性力 万有引力 静电力等 作功与路径有关的力称为非保守力 非保守力有 摩擦力 拉力 牵引力 等 非保守力的概念 保守力做功的特点 物体沿闭合路径运动一周时 保守力对它作的功等于零 二 保守力做功 1 万有引力做功 从M指向m的单位矢量 2 重力做功 重力为恒力 方向竖直向下 大小为 从a b 无论经过何种路线 则重力做功均为 从b a 则重力做功为 所以 重力是保守力 从a b 则弹力所做的功为 3 弹力的功 弹簧劲度系数 k 平衡位置 O点 xa a点到O点的距离 xb b点到O点的距离 由胡克定律 弹力为 二 势能 1 势能的引入 势能的引入是以保守力做功为前提的 非保守力做功与路径有关 故而不能引入势能的概念 势能用Ep表示 重力系统 弹性系统 引力系统 r 时 引力势能为零 引入势能后 保守力做功可以写为 即 保守力做功等于势能增量的负值 三 功能原理 1 质点系统的动能定理 同样对质点2有 设系统由两个质点组成 它们的质量分别为m1和m2 系统的外力和分别作用在质点1和质点2上 两个质点之间的相互作用力 对系统来说是内力 分别用和表示 在这些力的作用下 质点1和质点2沿着各自的路径s1和s2分别发生了和的位移 对质点1应用动能定理有 对于系统 则有 等式左边表示系统外力和内力所作的功 等式右边表示系统动能的增量 可以写成 此式即为质点系统的动能定理 它说明系统的外力和内力做功的总和等于系统动能的增量 2 系统的功能原理 对系统的内力来说 它们有保守力和非保守力之分 所以 内力的功应分为两部分 即保守力的功Aic和非保守内力的功Aid 其中保守内力的功Aic总可用系统势能增量的负值来表示 这样 上式就可以表示为 式中 E为系统机械能的增量 上式表明 当系统从状态1变化到状态2时 它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和 这个结论就叫做系统的功能原理 注意 在应用功能原理解决动力学问题时 由于其中引入了势能 所以在计算功的时候 就不需再考虑重力和弹性力做功了 相反 如果计算了保守内力所做的功 那么就不必去考虑势能的变化 四 机械能守恒定律 机械能包括动能和势能 在前一节中我们讨论了它们与外力做功之间的关系 从这一节我们来研究机械能之间的相互转化关系 并由此推导机械能守恒的条件 根据系统的功能原理 利用机械能守恒定律解题 必须首先确定系统 并判断是否满足守恒的条件 例题2 8 如图所示 用一根细线悬挂着质量为m的小球 x线的长度为l 所能承受的最大的张力为T 1 5mg 现将线拉直至水平位置后放手 求悬线与水平线夹角 为何值时 细线断裂 细线不可伸长 各种阻力不计 解 假设绳子断裂瞬间小球的速率为v 对小球受力分析如图 由牛顿第二定律得 由分析可知 小球在下摆过程中拉力始终与位移方向垂直 故不做功 重力在位移方向的分力为变力 故为变力做功 由动能定理 得 联立 1 3 得 若利用机械能守恒解题 要先选取系统 再判断是否满足机械能守恒的条件 即在小球和地球构成的系统中 外力为拉力 做功为零 重力为保守内力 故满足机械能守恒的条件 选取断裂时所处的水平面为重力势能的零势能面 由机械能守恒 得 联立 3 4 得 例题2 9 以初速度v0 5km s 1由地面垂直向上发射一物体 若不计空气的阻力 此物体能上升的最大高度h为多少 已知地球的半径R 6370km 地球质量为M 5 98 1024kg 解 选取物体和地球为系统 由题意可知 此系统在上升的过程中 Ae 0 Aid 0 故系统的机械能守恒 取无穷远处的引力势能为零 则 初状态 末状态 由机械能守恒可得 即 利用动能定理解题 只有万有引力 变力 做负功 由动能定理得 2 5动量定理动量守恒定律 导课我们知道牛顿第二定律的数学形式 表示的是作用力与加速度的瞬时关系 若当一个力作用于物体并维持一段时间后 我们来求解物体的速度时 直接应用牛顿第二定律的数学形式通常会很不方便 往往要借助于积分才能求出想要的结果 为了解题方便 这里我们引入牛顿第二定律的另一种积分形式 动量定理 1 动量定理 对牛顿第二定律的微分形式进行变形 可得 两边在一时间段内 t1 t2 进行积分 得到 1 其中 等式的左边表示外力在此段时间内的累积量 称为力的冲量 一般用字母I表示 即 当为恒力时 则有 由此可见 物体在运动过程中所受的合外力的冲量 等于该物体动量的增量 这个结论就叫做动量定理 所以 1 式可以写成 质点的质量与某时刻速度的乘积称为动量 用p表示 动量是矢量 故上式可写成 动量的概念早在牛顿定律之间就建立了 它是由迪卡尔于1644年引入的 由于要想改变物体的运动状态 必须要同时考虑两个因素 质量和速度 为此而引入了动量 在国际单位中 冲量的单位是1N s 动量的单位是kg m s 两者等价 动量定理反映的是质点所受合外力对时间的积累效果 如果力是变力 则其冲量的方向和大小要由这段时间内所有微分冲量的矢量和来决定 但不管物体在运动过程中动量变化的细节如何 冲量的大小和方向总等于物体始末动量的矢量差 动量定理的表达式是矢量形式 在应用时 可按实际情况改写成分量式 如 2 平均冲力 量值很大 变化很快 作用时间又很短的力称为冲力 由于冲力是个变力 而且它随时间而变化的关系又难以确定 故常用动量定理来求解冲力作用一段时间的平均值 平均冲力 例2 10 以与水平面成 45 的仰角 大小为v0 20 0m s的初速度抛射一质量为m 1 0kg的物体 求经过t 1 0s时 此物体的动量 空气阻力不计 解 建立坐标系如图所示 物体的初动量为 物体的末动量为 根据抛体运动的性质 水平方向不受力 竖直方向受向下的重力作用 则分方向运用动量定理得 x方向 y方向 联立以上两式 得 3 质点系的动量定理 对于由n个质点组成的质点系 第i个质点受到系统内的其他质点对它的合力 即合内力 第i个质点系统外的物体对它的合力 即合外力 则对第i个质点应用牛顿第二定律 得 则对整个质点系 则有 此式表明 质点系的总动量对时间的变化率 等于作用在该系统上的外力的矢量和 这一结论称为质点系的动量定理 四 动量守恒定律 如果系统不受外力或所受外力的矢量和为零 即 则有 由此可见 当质点不受外力或所受外力的矢量和为零时 系统的总动量保持不变 这就是动量守恒定律 应用动量守恒定律时 常将其矢量形式改写成三个相互独立的分量式 即 当质点系所受到的合外力不为零时 虽然质点系的总动量不守恒 但若合外力在某个方向的分量为零 则可以在该方向上利用动量守恒定律 例题2 11 一小船质量为1